Глава 12. Расчеты ожидаемой эффективности проекта

481

фект которого может принимать значения 1, 2 и 4. Если ожидаемый эффект действительно такой "хороший", как мы предположили, то проект Б должен стать более эффективным, чем В: Э(Б) > Э(Г) = Э(В). Однако тот же проект Б можно получить и иначе — уменьшив второе из возможных значений проекта Д. При этом проект должен стать менее эффективным: Э(Б) < Э(Д) = Э(В). Таким образом, Э(В)<Э(Б)<Э(В), что невозможно. То же самое будет и с проектом А. Эти противоречия доказывают, что "хорошего" в указанном смысле критерия ожидаемого эффекта не существует.

Подтвердить это можно и иначе (та же идея используется ниже, в п. 12.4.3). Предположим, что по некоторому критерию проект А с возможными эффектами 1, 3 и 4 оказался более эффективным, чем Б (с возможными эффектами 1, 2 и 4). Пусть М — проект, эффект которого может принимать только значения 1 или 2. Тогда реализовать совместно проекты А и М выгоднее, чем Б и М. Но этого не может быть, так как проекты АФМ и Б©М обеспечивают получение одних и тех же эффектов (2, 3, 4, 5 или б), стало быть, и ожидаемый эффект у них одинаков.

В интересной работе [159] доказано, что даже при весьма слабых допущениях критериев ожидаемого эффекта, растущих с ростом возможных результатов проекта, не существует.

12.4.3. **Обоснование формулы Гурвица

Аксиоматические обоснования данной формулы и ее обобщения применительно к оценкам эффективности инвестиционных проектов рассмотрены в [24, 67, 104—1 Об, 134]. Приведем один из вариантов такого обоснования, базирующийся на том, что критерий ожидаемого эффекта удовлетворяет аксиомам согласованности, монотонности и независимости от дополнительных проектов и, следовательно, как это было доказано в разделе 6.8, обладает свойством аддитивности.

Рассмотрим вначале проект, об эффекте которого известно только, что его возможные значения лежат в интервале от К до 5, где 5 > К (о вероятностном распределении этих эффектов в интервале [К, 5] нет данных). Такой проект обозначим через А(К, 5), а его ожидаемый эффект — через Э(К, 5). Установим некоторые свойства этой функции:

• если К = 5, то эффект проекта становится детерминированным. Поэтому в силу аксиомы согласованности ожидаемый эффект проекта совпадает с его возможным эффектом: Э(К, К) = К;

482

Часть I. Теоретические основы оценки инвестиционных проектов

• если величина К или 5 увеличивается, то в силу аксиомы монотонности ожидаемый эффект проекта не уменьшается. Это значит, что функция Э(К, 5) не убывает по обеим переменным. В частности, Э(й, 5) > К;

• рассмотрим два независимых проекта указанного типа — А(К, 5) и А(^_1; 5^. При одновременной реализации обоих проектов, очевидно, будут получены эффекты, лежащие в интервале от К + К_г до 5 + 5_Г Отсюда, учитывая свойство аддитивности, получаем, что Э(К + К_г, 5 + 5^ = Э(К, 5) + Э^, 5^. Таким образом, функция 3 — аддитивна (при суммировании аргументов ее значения также суммируются).

Нетрудно доказать, что любая аддитивная и монотонная функция двух переменных обязательно линейна,- Э(К, 5) = |х/? + А5, причем коэффициенты ц и X здесь неотрицательны. Кроме того, из условия 3(7?, К) = К вытекает, что \л + X = 1, так что ц. = 1 - А. Но величина К неотрицательна, и поэтому X < 1. Таким образом, для проектов рассматриваемого типа формула (12.6) доказана.

Докажем, что эта формула верна и для любых других проектов. Рассмотрим, например, проект Б, у которого наименьший возможный эффект равен К, наибольший возможный эффект равен 5, а другие возможные значения эффекта (их может быть конечное или бесконечное число) лежат между К и 5. Докажем, что проекты Б и А(К, 5) имеют один и тот же ожидаемый эффект. Для этого реализуем их одновременно. Нетрудно убедиться, что в результате такой реализации можно получить любое значение эффекта, лежащее в пределах от 2К до 25, причем никакой дополнительной информации о распределении эффекта в этих пределах не будет. Это значит, что одновременная реализация проектов Б и А(К, 5) эквивалентна реализации проекта А(2К, 25), так что ожидаемый эффект последнего проекта равен сумме ожидаемых эффектов первых. Но тогда ожидаемый эффект проекта Б будет равен разности Э(2К, 25) -- Э(Д 5), которая, как доказано выше, равна Э(Д 5) = (1 - Х)Я + А5. Таким образом, ожидаемый эффект проекта Б зависит только от минимально и максимально возможных, но не от промежуточных значений его эффекта, и эта зависимость выражается формулой (12.6), что и требовалось доказать.