Часть I. Теоретические основы оценки инвестиционных проектов

Интегральный эффект проекта теперь должен быть представлен как некоторая функция от функции накопленного эффекта Ф(/) (подобные "функции от функции" в математике называются функционалами) — будем обозначать ее через Э(Ф). Ее аналитическое выражение можно вывести из той системы аксиом, которым она должна удовлетворять. Будем считать, что критерий интегрального эффекта удовлетворяет аксиомам монотонности, согласованности, независимости от дополнительных проектов и предпочтительности более ранних доходов, перечисленным в предыдущем разделе. Помимо этого мы потребуем выполнения следующей аксиомы, которая в дискретном случае просто не имеет смысла.

Непрерывность во времени. При небольшом изменении момента осуществления затрат или получения результатов (но при том же объеме этих затрат и результатов) интегральный эффект проекта меняется мало.

Смысл этой аксиомы также очевиден — если бы небольшие изменения моментов осуществления затрат и/или получения результатов существенно сказывались на эффективности проекта, его реализация требовала бы очень точной синхронизации действий участников, а оценка была бы очень жёстко привязана к определенным календарным срокам. На практике же редко бывает так, чтобы моменты осуществления затрат и получения результатов задавались очень точно. Более того, во многих случаях начало проекта вообще не привязывается к какой-либо календарной дате. Данная аксиома и является в некоторой степени оправданием такого поведения.

В то же время нельзя понимать данную аксиому так, что небольшие изменения графика реализации проекта должны мало влиять на его эффективность.

ПРИМЕР 6.10. Проект предусматривает создание и запуск космического аппарата для наблюдения за кометой. Если немного нарушить график реализации такого проекта, благоприятное время для наблюдения за кометой может быть упущено.

Именно для того, чтобы исключить подобные ситуации, в аксиоме говорится только о малых изменениях времени осуществления затрат или достижения результатов, но не об изменении величины этих затрат или результатов. В рассмотренном же примере результаты не только получаются позднее, но и в существенно меньшем объеме.

Обозначим по аналогии с формулой (3.9) через а(?) интегральный эффект проекта, не требующего никаких затрат и обеспечивающего получение единичного дохода в момент времени I В силу аксиом монотонности, предпочтительности более ранних доходов и непрерывности во времени функция а(/) будет положительной, монотонно убы-

Глава 6. Теоретические основы дисконтирования

221

вающей и непрерывной, а в силу аксиомы согласованности а(0) = 1. Таким образом, 0 < а(1) < 1.

Рассмотрим теперь некоторый произвольный проект А со сроком реализации Т лет, характеризуемый функцией накопленного эффекта Ф(*). Обозначим через Э(Ф) его интегральный эффект. Аналитическую формулу для Э(Ф) можно получить следующими рассуждениями.

В конце реализации данного проекта — в момент Т — величина а(7) положительна и меньше 1. Разобьем отрезок [а(7),1] на п частей (отрезков), вставляя между а(7) и 1 точки деления а_р а₂,..., а_пА, и положим для общности а₀ = 1, а_п = а(7), так что 1 = а₀ > с^ > а₂ > ... > а_я_₁ > а_п = а(7). Обозначим такое разбиение через Я, а длину наибольшего из отрезков разбиения — через \,{Я).

Каждой из точек а_к отвечает некоторый момент времени 5^ (а(5_й) = = а_к), причем с увеличением к величины 5^ возрастают: 0 = 5₀ < 55 <...< 5„ = = Т. Рассмотрим теперь отрезки времени Д₂ ■= [5₀,5^,..., Д„_₁ = [5„_₂,5„_₁). Д„ = [5„_₁, 5„]. Прежде всего обратим внимание, что эти отрезки в совокупности покрывают весь период реализации проекта. Заметим далее, что на каждом из них имеют место какие-то денежные потоки. Обозначим поэтому для отрезка А_к приток реальных денег через П^; отток реальных денег — через О^; поток реальных денег — через ДФ,, (он, очевидно, равен разности П^ - О^ или приращению накопленного сальдо реальных денег от момента 5^ до момента 5^).

Мы не знаем пока, чему равен интегральный эффект рассматриваемого проекта, однако можем получить границы, в которых он лежит. В этих целях наряду с данным проектом А построим следующим образом два других дискретных проекта Б и В.

Для каждого к затраты О^, которые по проекту А осуществлялись на протяжении отрезка времени А_к, по проекту Б осуществляются в том же объеме, но единовременно — в начале этого отрезка, т. е. в момент 5^__г Наоборот, доходы П_к, которые по проекту А получаются на протяжении отрезка времени А_к, по проекту Б осуществляются в том же объеме, но единовременно — в конце этого отрезка, т. е. в момент 5^. Проект В строится обратным способом — затраты каждого отрезка "переносятся" в его конец, а доходы — в начало.

В силу аксиомы предпочтительности более ранних доходов перенос затрат на более ранний срок, а результатов — на более поздний не увеличивает эффективность проекта. Это означает, что проект А не менее эффективен, чем Б, и, аналогично, не более эффективен, чем В. Но проекты Б и В дискретны, и их интегральный эффект может быть рассчитан по формуле (6.19). Отсюда получаем следующие неравенства:

Э_н(Ф,Я)=ХП,а(5,)-0,а(5,.₁)<Э(Ф)<ХО,а(5,_₁)-П,а(₅,)=Э_в(Ф,Я).

*=1 *=1

222