Часть I. Теоретические основы оценки инвестиционных проектов

та с интенсивностью 1 руб. в год, неэффективен¹. Смысл этой аксиомы в соответствии с [58] в том, что "нецелесообразно производить большие затраты ради относительно небольшой по величине ежегодной экономии в будущем, сколь продолжительным бы ни был процесс получения этой экономии". Наоборот, при невыполнении данной аксиомы постоянным получением 1 руб. доходов в течение неограниченного времени можно было бы оправдать сколь угодно большие первоначальные инвестиции — вряд ли такое оправдание было бы приемлемо для бизнесменов.

Для формализации этой аксиомы обозначим через Д„ длительность га-го шага в годах или долях года и заметим, что интенсивности получения дохода в 1 руб. в год соответствует получение дохода на га-м шаге в размере Д_п руб. Теперь с помощью формулы (6.19) можно определить интегральный эффект проекта, требующего единовременных затрат С руб. и обеспечивающего на каждом п-м шаге получение дохода Д„ руб. Этот эффект оказывается равным -С + а^₀ + а₁Д₁ + _ + а_ТАА_Т__у Тот факт, что эта величина будет отрицательной при любом Т, означает, что ряд а₀Д₀ + а₁Д₁ + ™ сходится. Отсюда следует, в частности, что если длительности шагов ограничены снизу положительной величиной (например, все Д„ не меньше 1 месяца), то коэффициенты дисконтирования а_п должны убывать быстрее, чем 1/га, так что, например, применение коэффициентов а_п = 1/(га +1) будет противоречить здравому смыслу.

10. Обычно в популярных пособиях рассматривается ситуация, когда длительность всех шагов одинакова и равна одному году, и приводятся соответствующие формулы для определения интегрального эффекта типа (6.3). Обоснование этих формул требует введения дополнительных требований к правилам рационального экономического поведения. Одно из таких требований можно формализовать в виде следующей аксиомы — в отличие от предыдущих она "менее универсальна" и не всегда должна соблюдаться.

Инвариантность к сдвигу во времени (тьапапсе 1о Ыюе $Ьф). Если два денежных потока равноэффективны, то они останутся равноэф^ фективными при сдвиге начала реализации соответствующих проектов на год вперед². Как будет показано ниже, данная аксиома дает возможность оценивать эффективность проектов, не "привязывая" их начало к какой-либо конкретной календарной дате. Выясним, какая динамика коэффициентов дисконтирования согласуется с данной аксио-

¹ Данную аксиому можно сформулировать и "наоборот": единовременные затраты не окупа ются непрерывно получаемыми достаточно малыми доходами, т. е. существует такая положитель ная величина О, что проект, предусматривающий единовременные затраты 1 руб. и последующее непрерывное получение дохода с интенсивностью й руб. в год, неэффективен.

² Обратите внимание, что сформулировать такую аксиому в ситуации, когда длительности шагов различны и отличаются от 1 года, довольно затруднительно.

Глава 6. Теоретические основы Дисконтирования

217

мой. Для этого рассмотрим вектор К_п = (0,...,0, -а_п, а„_₁, 0,..., 0), все компоненты которого, кроме относящихся к (п - 1)-му и п-му годам, равны нулю. В соответствии с формулой (6.19) интегральный эффект этого проекта равен -сс„а_гг_₁ + а_гг_₁а_гг = 0, поэтому данный вектор равноэффек-тивен с вектором О. При сдвиге начала реализации проекта на год вперед нулевой вектор останется нулевым, а ненулевые компоненты вектора К_п передвинутся на год вперед.

В силу аксиомы инвариантности к сдвигу во времени эффект для полученного вектора также будет нулевой. Используя формулу (6.19), это условие можно записать в следующем виде: -а„а_п + о._п1а_{п +} , = 0,

откуда следует, что —й- = —й±1_. Таким образом, отношения соседних

^ап-\ ^ап

коэффициентов дисконтирования равны, так что эти коэффициенты образуют геометрическую прогрессию. Более того, поскольку последовательность {се_п} монотонно убывающая, знаменатель прогрессии меньше единицы. Обозначив его через 1/(1 + Е) и учитывая, что начальный член прогрессии а₀ = 1, получим общее выражение для коэффициентов а„, совпадающее с формулой (6.2): а_п = 1/(1 + Е)^п. При этом выражение для интегрального эффекта принимает вид (6.14), обычно используемый в практических расчетах (обоснование этой формулы на основе иной системы аксиом см., например, в [49]). Обратим внимание, что здесь норма дисконта Е имеет иной смысл, отражая уменьшение значимости для субъекта более поздних доходов (интенсивность межвременных предпочтений). Одновременно она имеет смысл "ставки отсечения" фигсИе га1е), поскольку позволяет "отсечь", признать неэффективными проекты с более низкой доходностью.

Указанная формула обладает следующим преимуществом. Предположим, что оценка эффективности некоторого проекта производится в постоянных ценах. Тогда, -если в качестве момента приведения выбран момент начала реализации проекта, величина Ф_инт не зависит от того, в каком именно календарном году начнется проект. В противном случае при сдвиге начала проекта вперед или назад некоторые технические проектные решения могли бы оказаться неоптимальными.

Выше мы указали, что рассматриваемая аксиома "менее универсальна" и считаться с ней можно не всегда. Это обусловлено вытекающим из нее условием неизменности нормы дисконта во времени. Между тем имеется ряд обстоятельств, обусловливающих динамичность этой нормы (подробнее см. раздел 7.4). Поэтому в-общем случае норма дисконта должна рассматриваться как переменная во времени. Отсюда, однако, вытекает, что такая динамичность приводит к нарушению аксиомы инвариантности эффектг:равноэффективность двух проектов нарушается от (одного и того же для обоих проектов) переноса сроков ихреализа-

218