Гіпотетична таблиця основних імплікантой

Члени скороченої форми	Члени вихідного вираження
	АЬС	Abe	АВС	аВС
АЬ	*	*
АС	*		*
ВС			*	*

Знак «*» в таблиці зазначає відповідне поглинання одного висловлювання іншим. Так, ясно, що АЬС і Abe поглинаються.

Ab, ABC і АЬС поглинається AC, ABC і аВС поглинаються ВС Але

так як АВС поглинається двома виразами АС і ВС, а АЬС так

ж двома - Ab і АС, то при мінімізації вибирається той вираз, що поглинає більше число виразів, і мінімізована формула повинна покривати всю сукупність вихідних виразів. Отже, остаточна редукована формула буде представляти наступне:

К = АЬ+ВС

Слід сказати, що при використанні техніки мінімізації виразів досягається логічна економія виразів, тобто спрощення складності первісного висловлювання. Щоправда, завжди підкреслюється, що процедури та етапи мінімізації не повинні відбуватися механічно.

8. Використання законів де Моргана. Рейджін запропонував використовувати закони де Моргана в тому випадку, коли необхідно аналізувати комбінації умов, які не дають досліджуваного результату, тобто закодовані 0. Але для цього не обов'язково починати все спочатку: будувати вихідну формулу, проводити мінімізацію виразів, використовувати таблицю основних импликантой. Можливо застосувати закони де Моргана до вже здобутій рішенням для позитивного результату, щоб досягти рішення для негативних результатів.

У цьому випадку використовуються два закони Огастеса де Моргана:

1) Заперечення кон'юнкції висловлювань рівнозначно диз'юнкції заперечень цих висловлювань. Цей закон записується такою формулою (риса над вираженням позначає заперечення, знак «» - логічне додавання, або диз'юнкцію, відсутність знака між виразами - логічне множення, або кон'юнкцію, знак «=» - рівнозначність, або еквівалентність):

АВ=А+В

2) Заперечення диз'юнкції висловлювань рівнозначно кон'юнкції заперечень цих висловлювань. Цей закон записується такою формулою:

А+В=А В

Мовою тих позначень, які вже застосовувалися раніше в цьому розділі, використання цих законів може бути представлене в наступному виді. Відбувається перекодування елементів рівності, отриманого при редукції (мінімізації) даних таблиці істинності з готівковим результатом, тобто закодованих 1. Нехай це буде гіпотетичне рівність з розділу, присвяченого основним імплікантами: К=АЬ+ВС.

Елементи, які закодовані великими літерами (наявність умови), перекодовуються маленькими літерами (відсутність умови), і навпаки - закодовані маленькими літерами перекодовуються великими. Потім логічне множення за ¬ змінюється логічним складанням, а логічне додавання - множенням. У результаті отримуємо наступне рівність:

К=(а+В) (b+c)= ab+ac+Bc

У дужках зауважимо, що тут ще використовуються деякі теореми математичної алгебри. Так, 56 = 0, а 0 плюс який-небудь вираз рівнозначно цього виразу). Інтерпретація отриманих двох формул дається наступна: Якийсь гіпотетичний результат трапляється (К), якщо АЬ ИЛИ ВС] якийсь гіпотетичний результат не трапляється (к), якщо аЬ АБО ас АБО ВС. Закони де Моргана забезпечують найкоротший конвенціональний шлях для мінімізації даних таблиці істинності з відсутніми наслідками.

9. Основні теореми однієї змінної. Так як при мінімізації булевих виразів доводиться мати справу з деякими основними теоремами, наведемо тут основні теореми однієї змінної:

А+0=А

А 1 =А

1+А=1

О А=0

А+А=А

А А=А

а+А=1

а А=0

Для доказу даних теорем використовують метод повного перебору, коли всім аргументам дається певний набір значень (в булевої алгебри тільки два значення - 0 або 1) і перевіряється істинність теореми згідно системі вихідних булевих постулатів, типу 00 = 0, 1 +1 = 1 і т . д.

10. Необхідні і достатні причини. У комбінації умов, що визначають появу результату, важливо встановити значимість цих умов для заподіяння слідства. Для цього використовуються поняття необхідних і достатніх причин (умов). Визначення необхідних і достатніх причин не може бути відірване від теорії, яка специфікує відповідні умови. Причина визначається в якості необхідної, якщо вона повинна бути в наявності для того, щоб певний результат стався. Причина визначається як достатньою, якщо вона здатна заподіяти результат сама по собі.

Рейджін дає наступну класифікацію причин по поєднанню їх необхідності і достатності:

S=B (В є необхідною і достатньою причиною). Причина є необхідною і достатньою, якщо вона єдино виробляє наслідок, тобто відсутня комбінація причин.

S=A+Bc (А є достатньою, але не необхідною причиною). Причина є достатньою, але не необхідною, якщо вона здатна зробити слідство, але не є єдиною причиною з подібною здатністю.

S=AC (А и С є необхідними, але недостатніми причинами).

S=AC+BC (С є необхідною, але недостатньою причиною). Причина є необхідною, але недостатньою, якщо вона здатна зробити слідство в комбінації з іншими причинами і з'являється у всіх таких комбінаціях.

S=AC+Bc (ні одна причина не є ні необхідною, ні достатньою). Причина не є ні необхідною, ні достатньою, якщо вона з'являється тільки в подструктуре комбінації умов, які виробляють слідство.

/ /. Факторизація булевих виразів. Для з'ясування того, яка причина є необхідною і в якому положенні знаходяться причини одна по відношенню до іншої (чи є вони еквівалентними чи ні), використовується процедура факторизації. Так, якщо S=AB+AC+AD, то провівши факторизацию, тобто S=A(B+C+D), отримаємо, що А є необхідною причиною, а В, С і D є каузально еквівалентними відносно слідства S.

Факторизация може використовуватися, якщо необхідно прояснити рівність навіть шляхом його ускладнення. Нехай є деякий наслідок S, яке виникає в результаті наступних комбінацій умов:

S=abc+AbC+abd+E

Аналізуючи це рівність, відзначаємо в ньому, наприклад, наявність і відсутність у різних комбінаціях причини А. Щоб дізнатися, які комбінації умов потребують наявності цієї умови, а які - відсутності, виробляємо факторизацию вираження і отримуємо:

Дане рівність є більш складним, ніж вихідне, але дозволяє вирішувати поставлену теоретичне завдання щодо умови А. Відсутність даної причини поєднується з умовами be, bd і Е, її наявність поєднується з bС і Е.