Гіпотетична таблиця істинності, що показує поєднання трьох причин падіння військових режимів

	Умови		Падіння режимів	Число прикладів
А	В	С	F
0	0	0	0	9
1	0	0	1	2
0	1	0	1	3
0	0	1	1	1
1	1	0	1	2
1	0	1	1	1
0	1	1	1	1
1	1	1	1	3

У представленій таблиці цифрою 1 закодовано наявність умови А, В, С і слідства F, цифрою 0 - відсутність відповідних умов і слідства. Цифра 1 у стовпці «число прикладів» не є кодом істинності, а просто свідчить про те, скільки прикладів припадає на відповідну комбінацію умов А, В, С. У даному випадку неважливо, що число прикладів в кожній комбінації різному, значимо лише те, що всі ряди таблиці істинності (за винятком першого) показують наявність слідства. Звичайно, насправді може бути й так, що з трьох прикладів третього ряду один або два можуть не містити слідства. Тоді слід було б взяти до уваги частоту прояву слідства або використовувати іншу процедуру кодування суперечливого результату. Але в даному випадку ми вважаємо, що всі приклади в кожному ряді мають однаковий зміст - або відсутність падіння режимів для дев'яти прикладів першого ряду, або наявність падіння режимів для всіх інших прикладів. Поки ми не можемо проаналізувати таблицю істинності, тому що не знаємо операцій, які можна робити над простими висловлюваннями. Не зрозуміло також, що робити з безліччю комбінацій умов, які виробляють один і той же наслідок.

3. Логічне додавання (диз'юнкція). Логічне додавання, або диз'юнкція позначає операцію з'єднання двох або більше висловлювань за допомогою логічного союзу «або» для виробництва більш складного висловлювання. Позначається воно спеціальним знаком V, або знаком +. Союз «або» не передбачає тут зв'язку між висловлюваннями за змістом, а лише за їх істинності чи хибності. Якщо з двох висловлювань хоча б одне є істинним, то й отримане складне висловлювання є так само істинним. Тобто, якщо A + # = F, то F = l при Л = 1 і В = \ або при А ~ \ і В = 0, або при А = 0 і В = \. Іншими словами в булевої алгебри 1 +1 = 1, 1 +0 = 1, 0 +1 = 1. Висловлення A + B = F читається: якщо А істин ¬ но АБО У істинно, то F так само істинно. При двох помилкових висловлюваннях отримане вислів є так само помилковим, тобто якщо 0 +0 = 0. За традицією великими (прописними) буквами позначаються істинні висловлювання (або наявність ознаки, якості), а маленькими (малими) - помилкові висловлювання (або відсутність ознаки, якості).

У нашому гіпотетичному випадку з крахом військових режимів спрощене булево рівність, що показує взаємозв'язок між трьома умовами і наслідком, буде виглядати наступним чином: F = A + B + C, тобто, військовий режим падає, якщо будь-яке одне (або які -які два, або всі три) умови спостерігаються. Це висловлювання відображає загальну ситуацію, відображену в гіпотетичній таблиці істинності. Легко помітити, 'що ряди таблиці з істинним наслідком (F = l), особливим чином відтворюють цей результат. Скрізь присутня та чи інша причина краху військових режимів (або дві, або всі три). Разом з тим, рівність F = A + B + C не представляє опис кожного окремого ряду, воно є результативною сумою всіх комбінацій простих висловлювань. Більш ясним це стане після розгляду інших операцій, що використовуються в булевої алгебри. Підкреслимо також, що в даному випадку союз «або» має не виключає значення (тобто, або одна умова, або інше), а сполучно-розділову (одна умова небудь інше).

4. Логічне множення (кон'юнкція). У булевої алгебри під логічним множенням розуміється операція з'єднання двох або більше висловлювань за допомогою логічного союзу «і».

Позначається логічне множення по-різному: знаком, точкою множення (.), Простим зі становищем висловлювань (АВ) і т.д. У подальшому викладі буде використовуватися просте зі положення висловлювань. Булево множення, як і додавання, не є арифметичним. Воно являє собою з'єднання ряду суджень, які можуть бути істинними або хибними. При використанні логічного множення в соціальному порівнянні воно позначає з'єднання висловлювань про наявність чи відсутність відповідних умов, ознак чи якостей. Так, якщо ми подивимося на гіпотетичну таблицю істинності, то її другий ряд може бути представлений логічним вираженням Abe, яке говорить про те, що тут поєднуються висловлювання, що говорять про наявність умови А (конфлікт між старими і молодими офіцерами) та про відсутність умов Ь ( смерть диктатора) і з (невдоволення сил безпеки).

Використовуючи логічні додавання і множення, можна записати сумарне вираз для F наступною формулою:

F=Abc + аВс + аЬС + АВс + АЬС + аВС + ABC

Формула говорить про те, що падіння військових режимів (F) спостерігається при семи комбінаціях включених до дослідження умов А, В, С, кожне з яких або присутній (присутність позначається великими літерами), або відсутня (відсутність позначається маленькими літерами). У принципі виданої формулою представлений весь набір можливих комбінацій умов, при яких спостерігається падіння військових режимів. Тут присутнє те різноманіття поєднання умов, з яким має справу дослідник-компаративист і яке є ще «сирим» з точки зору теоретичного узагальнення. Використання методу статистики змусило б говорити не стільки про можливі комбінаціях умов, скільки про кількість випадків, яким характеризується кожна комбінація. Узагальнення б будувалися перш за все на основі частотності комбінацій умов. Використання алгебри логіки дозволяє проводити аналіз, спираючись не на кількості, а на якості комбінацій умов.

5. Комбінаторна логіка. Як розділ математичної логіки комбінаторна логіка займається вивченням таких понять і методів, які при побудові формальних логічних систем приймаються зазвичай не потребують подальших пояснень. Однак Рейджін використовує це поняття для того, щоб підкреслити значення поєднання умов при визначенні співвідношення сукупності причин і наслідків, тобто в сенсі об'єднання висловлювань. Так, формула F = Abc не означає що тільки А (конфлікт між молодими і старими офіцерами) сприяє падінню військового режиму. Ця умова необхідно брати разом з виданням і з, тобто разом з відсутністю таких умов, як смерть диктатора і невдоволення таємною поліцією. Те ж саме слід сказати і про інших складових складного висловлювання F. У цьому сенсі «при якісному порівнянні, заснованому на булевої алгебри, причини не розглядаються в ізоляції, але завжди всередині контексту наявності та відсутності інших каузально релевантних умов» (Ragin, 1987, р. 93).

6. Булева мінімізація. Техніка булевої мінімізації дозволяє скоротити число висловлювань таблиці істинності, що відносяться до якого-небудь слідству. Отримується в результаті висловлювання є більш компактним за рахунок спрощення складності шляхом скорочення висловлювань.

Основне правило мінімізації, що використовується в якісному порівняльному дослідженні, полягає в наступному: Якщо два булевих вирази, які говорять про одне й те ж слідстві, різняться між собою тільки однією умовою, тоді воно може бути розглянуто не релевантна і може бути скасоване при побудові більш простого об'єднаного вираження . (Зауважимо, що в основі цього простого правила лежать деякі закони математичної логіки, застосовані до виразів, записаним в досконалої диз'юнктивної нормальної формі). Нехай є два вирази Abe і АВС, які обидва виробляють результат F. При порівнянні цих виразів видно, що вони відрізняються наявністю і відсутністю одного і того ж умови - В і Ь \ всі інші умови подібні. Правило мінімізації дозволяє скомбінувати новий вираз: Ас, яке буде більш простим і скороченим за кількістю термінів. Слідство F відбудеться в будь-якому випадку при поєднанні Ас, і неважливо буде в наявності чи ні умова В. Вираз Ас покриває два вирази Abe і АВС.

Дослідники, які використовують булеву алгебру в порівняльному аналізі, підкреслюють подібність процедури мінімізації з логікою експерименту, при якому у випадку, коли при включенні в експеримент якої-небудь змінної та її виключення результативні змінні не змінюються, то дану змінну можна вважати не релевантна для даного експерименту.

Процедура мінімізації використовується до тих пір при спрощенні сукупності висловлювань, поки це можливо. Таким чином, вона носить ступінчастий характер і дозволяє переходити від одного рівня спрощених висловлювань до іншого. Якщо зробити мінімізацію складного висловлювання F, то в результаті редукції складових його висловлювань отримаємо наступне:

Abe об'єднується з АВс та виходить Ас

Abe об'єднується з АЬС та виходить АЬ

аВс об’єднується з АВс та виходить Вс

аВс об’єднується з аВСта виходить аВ

аС об’єднується з АС та виходить bС

аС об’єднується з аВС та виходить аС

У даному випадку була проведена мінімізація термінів, де одне або дві умови були в наявності. Але можна мінімізувати і висловлювання з наявністю двох і трьох умов.

АВС об'єднується з ABC та виходить АВ.

АС об'єднується з АВС та виходить АС.

аВС об'єднується з АВС і виходить ВС.

Результати першого та другого мінімізації так само можуть бути піддані подальшій редукції. Отримаємо наступне:

А об’єднується з АВ та виходить А

Ас об’єднується з АС та виходить А

аВ об’єднується з АВ та виходить В

Вс об’єднується з ВС та виходить В

аС об’єднується з АС та виходить С

С об’єднується з ВС та виходить С.

В остаточному варіанті процес мінімізації виробляє до рівність:

F= A+B+C.

Вище вже йшлося про те, що простий огляд таблиці істинності щодо трьох умов можливого падіння військових режимів дає нам таке рівність. Але не завжди можливо його отримання без спеціальної техніки мінімізації виразів. У даному випадку необхідно мати на увазі простоту самої таблиці істинності. Важливо підкреслити, що той результат, який був отриманий спочатку, був скоріше гіпотезою, ніж певним висновком. Необхідно було перевірити його правомірність та істинність. Техніка булевої мінімізації дозволяє здійснити логічну перевірку вихідної гіпотези.

7. Тупикова мінімізація виразів. У принципі мінімізація виразів може закінчуватися і на вище означеної процедурою. Проте у ряді випадків, коли отримана формула все-таки досить складна, виробляють подальшу мінімізацію з використанням певної процедури формування висловлювання, що має тупикову скорочену нормальну форму вираження. Тут використовуються правила поглинання висловлювань. При використанні даної процедури в порівняльних дослідженнях вона отримала назву «вибір істотних основних імплікантой» (Ragin, 1987, р. 94-98; Romme, 1995, р. 324). Ромм пише: «Істотні основні імпліканти конституюють логічно мінімальні умови залежної змінної. Тобто, вони включають в себе достатні та / або необхідні умови для цієї змінної. Цей крок є важливим, коли досягнуту на попередньому етапі редуцированное з таблиці істинності висловлювання включає так звані циклічні комбінації. Циклічні комбінації увазі комплекс пересічних основних імплікантой, які не всі необхідні для мінімального покриття таблиці істинності. Якщо досягнуте раніше редуцированний вираз не включає циклічних комбінацій, комбінації умов в цьому виразі відповідають істотним основним импликантами »(ibid). У гіпотетичному прикладі щодо катастроф військових режимів отримані вирази в остаточній формулою і є основними імплікантами, подальша їх мінімізація не представляється можливою.

У даному випадку сенс мінімізації допомогою процедури отримання основних імплікантой може бути викладено досить просто. Кажуть, що логічне вираз включає інше, якщо другий вираз є під структурою першого. Наприклад, якщо А передбачає Abe, то останній вираз є під структурою А і при скороченні може бути останнім замінено. Для визначення основних імплікантой використовується процедура побудови спеціальної таблиці, яка дозволяє не включати в остаточний вираз деякі його надлишкові складові.

Для прикладу візьмемо деяку вихідну формулу, що підлягає мінімізації:

К = АЬС+АЬс+АВС+аВС

Здійснимо її мінімізацію за відомою нам процедурою.

Отримаємо:

К = АЬ+АС+ВС

Цей вираз може бути далі мінімізовано за допомогою таблиці (див. табл. 2), в якій показується взаємовідношення вихідних і отриманих виразів з точки зору можливості їх поглинання.

Таблиця 2