Анализ корреляционный

степеней свободы; 2) нарушение равен­ства дисперсий в ячейках возможно, ес­ли число наблюдений в ячейках равное; 3) нарушение независимости наблюде­ний в ячейках недопустимо.

Лит.: Шеффе Г. Дисперсионный ана­лиз. М., 1962; Гласе Дж,, Стэнли Дж, Стат. методы в педагогике и психологии. М., 1976; Стат. методы анализа инфор­мации в соц. иссл-ях. М., 1979; Гмур-ман В.Е. Теория вероятности и матем. статистика. М., 1998; Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Матем. статистика. М., 1998; Крыштановсшй А.О. Анализ соци­ал. данных с помощью пакета SPSS. Μ., 2006.

Г.Г, Татарова

АНАЛИЗ КОВАРИАЦИОННЫЙ - со­вокупность методов матем. статистики, относящихся к анализу моделей зависи­мости среднего значения нек-рой слу­чайной величины Уот набора неколиче­ственных факторов F и одновременно от набора количественных факторов X, По отношению к К переменные X называ­ются сопутствующими; факторы F зада­ют сочетания условий качественной природы, при к-рых получены наблюде­ния Υ и X, и описываются с помощью т.н. индикаторных переменных; среди сопутствующих и индикаторных пере­менных могут быть как случайные, так и неслучайные (контролируемые в экспе­рименте); если случайная величина Υ явл. вектором, то говорят о многомер­ном А. к.

Осн. теор. и прикладные проблемы А.к. относятся к линейным моделям. В части., если анализируются н наблю­дений Κι, ..., Υ„ с ρ сопутствующими пе­ременными (х - (х<¹>, ..., дДО))> ^к возмож­ными типами условий эксперимента (F⁼ (fi, —,/k)), то линейная модель со­отв. А.к. задается уравнением

где г = 1, ,.., п, индикаторные перемен­ные/^ равны 1, если /-е условие экспе-

римента имело место при наблюдении ίί, и равны 0 в ином случае. Перемен­ные fa могут соответствовать рез-там ди-хотомизации номинального признака F с градациями/[, ...,fk (см. Признак одно­мерный); номинальный же признак мо­жет быть сложным: каждой его градации может отвечать сочетание значений нек-рых первичных, напр. взятых из ан­кеты, признаков; коэффициенты θ оп-ред. эффект влияния у'-го условия; х', — значение сопутствующей переменной x^^s\ при к-ром получено наблюдение J/, /= 1, ..., л; 5= 1, ..., Ρ, p_s (fi) — значения соотв. коэффициентов регрессии Υ по χΜ (см. Анализ регрессионный, Корреля­ция), зависящие от конкр. сочетания ус­ловий эксперимента, т.е. от вектора f = Oil, ».,/й); ε, if) — случайные ошиб­ки, имеющие нулевые средние значения. Осн. назначение А.к. — использование в построении стат. оценок (см. Оценива­ние статистическое) й_;, ...,Θ_Λ.; β,, ...,β^, и стат. критериев для проверки разл. ги­потез относительно значений этих пара­метров. Если в модели (1) постулировать априори β, = ... = β = 0, то получится модель анализа дисперсионного; если из (1) исключить влияние неколичествен­ных факторов (положить θ, =... = θ* = 0), то получится модель анализа регрессион­ного. Своим названием А.к. обязан тому обстоятельству, что в его вычислениях используются разбиения ковариации (см. Показатели корреляции) величин К и X точно так же, как в дисперсионном анализе используются разбиения суммы квадратов отклонений Υ.

Лит.: Кендалл М.Дж., Стъюарт А. Многомерный стат. анализ и временные ряды. М., 1976; Шеффе Г. Дисперсион­ный анализ. М., 1980.

А.А. Мирзоев

АНАЛИЗ КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ - со­вокупность методов статистики мате­матической, позволяющих оценивать ко­эффициенты, характеризующие корреля­цию между случайными величинами (см. Величина случайная) и проверять гипоте­зы об их значениях на основе расчета их

23

АНАЛИЗ ЛАТЕНТНО-СТРУКТУРНЫЙ

выборочных аналогов (см. Проверка статистических гипотез, Показатели корреляции).

Лит.: Корреляция // Матем. энцик­лопедия. Т. 3. М., 1982; Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Теория вероятностей и прикладная статистика. М., 2001. См. также Анализ регрессионный.

Ю.Н. Толстова

АНАЛИЗ ЛАТЕНТНО-СТРУКТУРНЫЙ,

концепция амер. социолога П. Лазарс-фельда, отмечавшего, что на формирова­ние осн. идей А,л.-с. существенное влияние оказали логический эмпиризм (Р. Карнап. К, Гемпель и др.) и практи­ка социол. иссл-й. Для решения пробле­мы соотношения теорет. и эмпирическо­го Лазарсфельд предложил: использовать идею диспозиции, логическую операцию частичного определения, или редукции; признать, что отношения между эмпи­рическими индикаторами (признаками) и диспозиционными предикатами (клас­сификационными понятиями), являю­щимися теорет. терминами, наиб, близ­кими к эмпирическим, носят вероятно­стный характер.

Согласно Л а заре фе льду параметры исследуемых объектов, к-рые характери­зуются разнообразными индикаторами, явл. латентными и должны быть вы­явлены из наблюдений. Проблема изме­рения заключается в том, чтобы вывести латентные параметры из явных данных. Отбор признаков — сложный процесс, т.к. каждому классификационному по­нятию соответствует «универсум призна­ков», из к-рого при применении конкр. инструмента измерения могут быть вы­браны разл. опред, наборы, объединяе­мые в индексы и приводящие к разли­чающимся рез-там классификации. Ла­зарсфельд ввел правило взаимозаменяе­мости индексов, неизбежной платой за практические достоинства к-рого явл. невозможность достижения «чисто й*> классификации. Но прогресс в теор, ос­мыслении реальности и эмпирической работе позволяет надеяться на разработ­ку со временем более тонких и точных инструментов классификации.

Данные теор, и практические пред­посылки предопределили концептуально непреходящее значение А.л.-с. Для оп­ределения соотношения между класси­фикационным понятием и индикатора­ми, объединенными в индекс Лазарс-фельдом, была введена аксиома локаль­ной независимости, к-рая постулирует, что при фиксированном значении ла­тентной переменной индикаторы долж­ны быть независимыми. Первоначально в А.л.-с, рассматривались лишь дихото­мические признаки. Если задано и дихо­томических признаков, определяющих явное пространство, и предполагается существование т латентных кл., то име­ются след. латентные параметры:

1) латентные вероятности принад­ лежности каждого из признаков i, /, к и т.д. к латентному кл. α

ρ? (i =1, 2, ..., и; α =1, 2, ..., т);

2) относительные частоты латентных

кл.

ν" (α = ί, 2, ..., т).

Система расчетных уравнений для модели т латентных кл. опред. след. об­разом:

т

• ι = Σ*"•

т

н Χ⁴ -ιι^α «^и

Pi = Σ ^ν л'

α = |

/>*=Σ^νΒ##Α^β• '\Α* = 1.2,.-.,«,

где pi, рц ρφ и т.д. — явные вероятности, определяемые на полной совокупности объектов; р, — вероятность принадлеж­ности признака /' всей совокупности ис­следуемых объектов; р^ — вероятность принадлежности и признака / и призна­ка/ всей совокупности объектов и т.д.

Детерминантный метод, используе­мый для доказательства существования решения данной системы расчетных уравнений, установил след, соотноше­ние между пространством эмпирических

24

АНАЛИЗ ЛОГЛИНЕЙНЫЙ

признаков и латентным пространством: η > 2т - ί. В данном случае можно гово­рить о достаточном для целей классифи­кации количестве признаков. В части., в случае модели двух латентных кл. необ­ходимо использование не менее трех признаков для задания латентной струк­туры и получения единственного реше­ния. Это — рез-т фундаментальной важ­ности, устанавливающий существенное отличие А.л.-с. от факторного анализа и др. методов многомерной классифика­ции, использующих информацию лишь о парной корреляции признаков.

Концептуально изящный А.л.-с. на практике столкнулся с вычислительны­ми и стат. трудностями и сначала ока­зался неприемлемым для большинства соц. исследователей. В 1960—1970-е гг. об этом свидетельствовало отсутствие убедительных рез-тов анализа соц. дан­ных, несмотря на признание рядом ис­следователей громадных потенциальных возможностей латентно-структурной техники как яз. для выражения соц. теории. Однако прогресс и достижения 1980—1990 гг. в разработке численных алгоритмов (Е.В. Andersen, T.W. Ander­son, С.С. Clogg, LA Goodman, SJ. Haber-man и др.) и вычислительной техники сде­лали А.л.-с. более доступным.

Лит.: Лазарсфельд П.Ф. Логические и матем. основания латентно-структурного анализа // Матем. методы в совр. буржу­азной соц-и. М., 1966; Он же. Латентно-структурный анализ и теория тестов // Матем. методы в соц. науках. Пер. с англ. М., 1973; Дегтярев Г, П. Построе­ние типологии с помощью модели ла­тентных кл. // Матем. методы в социол. иссл-и. М-, 1981; ЬцяфМ ¥.F., Henry N.W. Latent Structure Analysis. Boston, 1968; Goodman L.A. Analizing Qualitative Categorial Data: Log-Linear Models and Latent Structure Analysis. Cambridge (Mass.): Abt Books, 1978; Haberman S.J. Analysis of Qualitative Data. V. 2. New Developments. N.Y., 1979; Andersen E.B. Latent Structure Model a Survey // Scandinavien Journal of Statistics. 1982. V. 9. P, 1-12; Idem. A General Latent Structure Model // Principals of Modern

Psychological Measurement / Eds. by H. Wainer, S. Mesnich. Hillsdale, 1983; Clogg C.C., Goodman L.A. Simultaneous Latent Structure Analysis in Several Groups // Sociological Methodology. San Francisco, 1986.

Г.П. Дегтярев

АНАЛИЗ ЛОГЛИНЕЙНЫЙ (англ. loglinear analysis) — метод анализа много­мерного статистического для изучения многомерных табл. сопряженности. А.л. позволяет стат. проверять гипотезу о системе одновременно имеющих место парных и множественных взаимосвязей в гр. признаков, измеренных по номи­нальным шкалам.

Матем. модель А.л. основана на мультипликативном определении поня­тия взаимосвязи, к-рое записывается обычно в виде разложения логарифма частоты в каждой клетке табл. сопряжен­ности многомерной на сумму эффектов от учтенных в гипотезе взаимосвязей (по значениям признаков, соответ. данной клетке). Это разложение по форме ана­логично модели анализа дисперсионного. Предполагается иерархичность взаимо­связей: если имеется множественная взаимосвязь признаков Х\, Х>, ..., Хь, то должны быть взаимосвязаны и любые их подгруппы. Так, для четырех признаков X), Хг, Аз, Ха гипотезе о множественной взаимосвязи Х\, Χι и Хъ и парной взаи­мосвязи Χι и Ха будет соответствовать разложение: 1пп_т = «о + u\(i) + u₂<J)+ m(k) + щ(!) + + u_l2(ij) + un(ik) + K_2J(/A) + И24(/7) + + щ-adjk), где щ — среднее; щ(г) — вклад в частоту Щы признака Χι по градации ι, ..., un(ij) — вклад признаков Х\ и Χι по гра­дациям / и у, ..., «ш({/£) — вклад множе­ственной взаимосвязи признаков Х\, Χι, Χί_ Вычисление макс, правдоподобных оценок miji проводится по маргинальным табл., соотв. «старшим» взаимосвязям в гипотезе, на основании того, что при случайной выборке макс, правдоподоб­ные оценки для этих маргиналов равны соотв. выборочным. Критерий сходства

25