Глава 5. Первоклашки, которым нужны дроби

Известно, что одна из первых проблем, на которых ломается сознание ребенка, переходящего на уровень среднего звена обучения, это проблема восприятия дробного числа. Нетрудно заметить, однако, что проблема эта в значительной степени искусственно предуготавливается всем процессом преподавания математики в начальных классах средней школы.

В самом деле, три года им усиленно объясняли, что один - это один, и только один. И вдруг выясняется, что "один" содержит в себе ... бесконечно много. Что один может содержать в себе сто, тысячу, миллион частей - столько, сколько будет угодно. Весь трехлетний опыт освоения математики оказывается в одночасье перечеркнут... Но, может быть, иначе и нельзя? Может быть, абстракция дроби настолько сложна, что ее просто не имеет смысла вводить раньше, чем в пятом классе?

Одна из парадоксальных вещей, к которой мы пришли в результате наших экспериментов, состоит в том, что наиболее целесообразно начинать обучение математике не с операции сложения, а с операции... деления. Именно графическая работа с операцией деления в течение первых двух четвертей первого класса позволяет ребенку выйти на качественное понимание и феномена сложения, и феномена "вычитания", и феномена умножения. Но что самое удивительное, оказалось, что в результате систематической графической работы с операцией деления обыкновенные семилеточки и восьмилеточки легко и непринужденно выходят на идею дробного числа и начинают осуществлять операции с дробями, демонстрируя отчетливое понимание сущности дроби и удерживая в своем сознании абстракцию дробного числа как части целого.

Но как это возможно уже в первом классе, когда даже у пятиклассников идея дробного числа вызывает нередко тяжелые приступы головной боли?

Начнем с того, что сама операция деления вводится во втором классе традиционной школы наиболее абсурдным способом из всех, которые можно себе вообразить. Словно сам методический замысел заключается в том, чтобы разрушить у ребенка весь его жизненный опыт, который он накопил к семи годам по поводу того, что есть деление. Буквально с самого момента введения операции деления в программу второго класса ребенка начинают последовательно убеждать, что арифметическая операция деления не имеет ровным счетом никакого отношения к тому делению целого на равные части, коим каждый ребенок к семи-восьми годам неоднократно и с успехом занимался.

В самом деле, много ли найдется детей, которые к восьми годам ни разу не решали задачу деления, скажем конфеты или шоколадки напополам или ни три или на четыре равные части? Следовательно, им превосходно известно, и они чувствуют этот образ "на кончиках пальцев", что есть деление целого на части, и что получается в результате этого деления. А, значит, они находятся в полушаге от идеи дроби.

"Ты разделил шоколадку на две равных части. Что у тебя оказалось в каждой руке?" "По половинке!" "Из скольких половинок состоит ОДНА целая шоколадка?" "Из двух!". И ни для одного ребенка нет никакой сложности в том, что один состоит из двух. Все прекрасно понимают.

Или дайте семилетнему ребенку, не прошедшему еще никакой школьной премудрости, двадцать одну конфету, и предложите разделить эти конфеты на три равных части. И он с уверенностью произведет это деление и скажет вам, сколько у него оказалось конфет в КАЖДОЙ части, а, следовательно, снова успешно выполнит все ту же операцию деления целого на равные части, не зная еще никакой таблицы умножения.

А вот что касается третьеклассника, то он безусловно и твердо знает, что, если 21 разделить на три, получится семь. Однако для него это - просто заученное предложение. И если попросить его представить эту задачу предметно, с помощью конфет, то чаще всего его предметное решение этой задачи будет выглядеть следующим образом: он разложит двадцать одну конфету на кучки по... три конфеты в каждой! То есть к концу третьего класса он уже принципиально не слышит разницы между выражениями "разделить НА три" и "разделить ПО три". Для него это уже - что в лоб, что по лбу.

И корень этого смешения в том, как операция деления вводится во втором классе: будто по специальному умыслу, делается все возможное, чтобы внимание детей не фиксировалось на принципиальной разнице между двумя операциями: делением НА и делением ПО.

Открываем учебник для второго класса на 41й странице - именно там, где операция деления впервые появляется перед глазами изумленного второклассника. В качестве примеров, которые должны пояснить второкласснику смысл операции деления, здесь сразу же предлагаются задачи на деление по группам (разбиение по группам), и лишь спустя 20 страниц впервые появляется задача, которую можно было бы охарактеризовать как задачу деления на части. Однако ни слова про принципиальную разницу двух этих типов задач не говорится. А непрерывно проводится мысль, что, мол, нет разницы: что в лоб, что по лбу.

"8 апельсинов разложили на тарелки, по 2 апельсина на каждую. Сколько раз по два апельсина положили? Сколько тарелок потребовалось?" - это как раз та задача, на которой детям объясняют суть операции деления. И далее по тексту: "Такие задачи решают действием деления. Две точки (:) - знак деления. Решение задачи можно записать так: 8:2=4. Ответ: 4 тарелки".

И на протяжении последующих трех страниц операция деления последовательно представляется как операция разбиения по группам, по схеме: есть некоторое количество чего-то, и это "что-то" требуется разбить на равные группы определенного объема. Требуется определить, сколько групп или сколько частей при этом образуется.

В сущности говоря, если быть филологически точным, это есть задача группировки, а вовсе не задача деления" Фактически в такого рода задачах к детям обращаются вовсе не с просьбой разделить, а с просьбой сгруппировать, и определить, сколько в результате образуется групп или частей.

Как раз обратной к задаче группировки выступает задача деления, суть которой заключается в том, что некоторое целое надо разделить на некоторое количество частей, и определить, чему будет равна каждая отдельная часть. То есть, что будет из себя представлять частное от целого, после того, как целое будет разделено на равное количество частей.

Иначе говоря, только в результате операции деления на части получается то, что можно было бы охарактеризовать словом частное. А что касается операции разбиения на группы или группировки, то там результатом является, разумеется, никакое не частное от целого, а нечто прямо противоположное, а именно: количество частей.

Увы, ни о чем таком второкласснику не говорится. На протяжении десятков страниц авторы учебника снова и снова предлагают задачи на группировку множеств, называя их задачами... деления, и, утверждая, что в результате этих задач дети получают, якобы, частное. А когда на страницах учебника появляются-таки время от времени действительные задачи на деление, это никоим образом не комментируется как появление совершенно нового типа задач.

Разумеется, что посредством такого рода введения в деление в сознании ребенка провоцируется жесточайшая сшибка. Здравый смысл, который позволяет ребенку, не прошедшему обучение в школе, с легкостью осуществлять практическую задачу деления на части, разрушается, и ребенок, вместо того, чтобы попытаться понять смысл предлагаемых ему задач и операций, начинает их учить наизусть и тупо запоминать.

Немудрено, что, когда настает время изучения дробных чисел, он никак не может постичь их смысл, потому что сама операция деления на части оказывается совершенно не представлена в его сознании, и оттого выражения типа 2:5=2/5 совершенно им не воспринимаются. Ведь за два года он совершенно не сумел постичь смысл операции деления в отличие от операции разбиения по группам, и это становится одним из непреодолимых барьеров на пути вхождения в мир дробных чисел.

Другим не менее коварным барьером оказывается то, в течение трех лет у него формировали искаженный, штучный образ числа, в соответствии с которым один никак не может состоять из двух, из трех, или четырех, а, следовательно, и выражение типа 1/4+1/4+1/4+1/4=1 должно выглядеть в глазах вполне успешного ученика третьего класса, перешедшего в среднее звено, сущим абсурдом, который противоречит всему предварительному опыту его знакомства с математикой.

Где же выход? Возможно ли такое построение математического обучения в начальной школе, которое бы не вступало в жесточайший конфликт с программой среднего звена, и в то же время было бы доступно сознанию любого младшего школьника?

В данном разделе вниманию читателя предлагается целый класс задач на графическую интерпретацию математических действий, что позволяет сформировать у ребенка-семилетки глубокое понимание идеи деления и идеи дробного числа и позволяет уже на самых ранних ступенях математического обучения вводить операции с дробями.