§194. Арифметична середина

Якщо маємо ряд з рівноточних вимірювань будь-якої величини, дійсне значення, якої дорівнює, а її виміряні значення:;..., то дійсні помилки кожного результату вимірювання будуть;

(1)

.................

Додаючи почленно рівняння (1) одержимо: або, приймаючи скорочені позначення сум

Звідси визначимо дійсне значення виміряної величини

; (2)

На підставі четвертої властивості випадкових помилок другий член правої частини рівняння (2) приблизно дорівнює 0, тобто дуже малий і ним можна знехтувати. Перший член правої частини рівняння (2) є середнім арифметичним із всіх результатів вимірювань, або арифметичною серединою, тобто, якщо.

Арифметична середина із всіх рівноточних вимірювань однієї і тієї вели чини дорівнювала би дійсному значенню, якби проводилось нескінчене число вимірювань. На практиці виконують певне число вимірювань, тому арифметична середина буде відрізнятись від дійсного значення на невелику помилку. Середнє арифметичне із результатів вимірювань називається найімовірнішим значенням вимірюваної величини і позначається буквою, ; тобто.

§195. Середня квадратична помилка арифметичної середини

Допустимо, що ми маємо результати рівноточних вимірювань будь-якої величини ;.... Обчислимо її арифметичну середину

, де

–постійне число.

Розглядаючи рівняння (1) можемо сказати, що арифметична середина є функцією виду

де

Середня квадратична помилка цієї функції обчислюється за формулою

,

але вимірювання рівноточні, тоді

Позначимо середню квадратичну помилку арифметичної середини через, одержимо:(2)

тобто, середня квадратична помилка арифметичної середини (найімовірнішого значення) з результатів рівноточних вимірювань дорівнює середній квадратичній помилці одного вимірювання поділеного на корінь квадратний з числа вимірювань.

З формули (2) виходить, що арифметична середина точніша від будь-якого окремого вимірювання в раз.

Середня квадратичне помилка одного вимірювання служить критерієм для оцінки точності даного ряду вимірювань, а– середня квадратична помилка арифметичної середини служить критерієм точності виведення середнього із даного ряду вимірювань.

§196. Ймовірніші помилки та їх властивість

На практиці, в більшості випадків, дійсне значення вимірюваної величини невідоме, тому невідомі також дійсні помилки “”. В таких випадках замість дійсного значення вимірюваної величини беруть середнє арифметичне із результатів вимірювань, тобто найімовірніше її значення. Потім знаходять відхилення від середнє арифметичного значення вимірюваної величини і кожного безпосередньо виміряного значення. Різниця між найімовірнішим значенням вимірюваної величини і даним результатом, одержаним із вимірювань, називається ймовірнішою помилкою. Якщо ми маємо виміряні значення величини,, ...,, дійсне значення якого невідоме, то для знаходження ймовірніших помилок “” необхідно визначити найімовірніше значення цієї величини, а потім знайти різницю між кожним виміряним і найімовірнішим її значенням.

(1)

(2)

................

Різниці “” є ймовірнішими помилками.

Додамо почленно всі ймовірніші помилки системи рівнянь (2), одержимо

, або з урахуванням позначень сум

(3)

Поділимо рівняння (3) на “n” одержимо

(4)

але є арифметичною серединою, тобтоі рівняння (4) можна записати

; тобто, або.Виходить сума ймовірніших помилок дорівнює “0” при будь-якому числі вимірювань.

Цю властивість ймовірніших помилок використовують для контролю правильності обчислення арифметичної середини і помилок “”.