§202. Середня квадратична помилка одиниці ваги і загальної арифметичної середини

Маємо ряд результатів нерівноточних вимірювань будь-якої величини, дійсне значення якої “”, а вимірювання проводились групами:

–середнє арифметичне з вимірювань

–середнє арифметичне з вимірювань

........................................................................

–середнє арифметичне з вимірювань

Дійсні помилки цих груп вимірювань будуть:

...................

, , ...,–випадкові помилки середнього арифметичного даних груп вимірювань, а їх середні квадратичні помилки ,, ...,обчислюються за формулою(1)

Якщо середня квадратична помилка одного такого рівноточного вимірювання дорівнює , то на підставі формули (1) можна написати:

,, ...,(2) тобто,

середня квадратична помилка будь-якого результату вимірювання дорівнює помилці одиниці ваги, поділеній на корінь квадратний з ваги цього результату.

Якщо вага якого-небудь з наведених вище результатів вимірювань, наприклад у “” дорівнює 1, тоді, тобто “” є середньою квадратичною помилкою результату вимірювання вага якого дорівнює одиниці, або іншими словами, “” є середньою квадратичною помилкою одиниці ваги.

Рівняння (2) можна записати:

; , ...,(3)

Піднесемо систему рівнянь (3) до квадрата і додамо, одержимо:

, або

(4)

але середня квадратична помилка при багаторазових вимірюваннях буде близькою до дійсної, тобто , якщо, тоді

, , ...,

і формулу (4) можна записати:

(5)

За цією формулою обчислюють середню квадратичну помилку одиниці ваги коли відомі дійсні помилки вимірювань.

Для обчислення середньої квадратичної помилки загальної арифметичної середини в формулі (1) потрібно замість “” підставити, а замість “” вагу загальної арифметичної середини, тобто

§203. Середня квадратична помилка одиниці ваги і загальної арифметичної середини, обчислені за ймовірнішими помилками

Маємо ряд результатів нерівноточних вимірювань будь-якої величини:

з вагою

з вагою

......................

з вагою

Дійсне значення цієї величини “”.

Обчислимо випадкові помилки

(1)

...................

Найімовірніше значення цієї величини обчислюється за формулою

(2)

а ймовірніші помилки даних результатів нерівноточних вимірювань будуть дорівнювати різниці між кожним з одержаних результатів вимірювань і найімовірнішим значенням, тобто:

(3)

...................

Віднімемо від рівняння (1) відповідно рівняння (3), одержимо:

(4)

...................

Різниці є дійсними помилками загальної арифметичної середини, позначимо їх через і систему рівнянь (4) перепишемо:

(5)

...................

Систему рівнянь (5) піднесемо до квадрата, помножимо кожне рівняння на відповідну вагу і додамо.

...............................................

(6)

Для спростування рівняння (6) помножимо систему рівнянь (3) на відповідну вагу і додамо:

............................

але згідно з формулою (2) , тоді, тобто сума добутків ймовірніших помилок на відповідну вагу дорівнює нулю. Цю властивість використовують для контролю правильності обчислення найімовірнішого значенняі імовірніших помилок результатів нерівноточних вимірювань.

На підставі викладеного вище другий член правої частини рівняння (6) дорівнює “0”, тоді

(7)

Рівняння (7) поділимо “” і одержимо:

, але тоді(8)

Дійсна помилка найімовірнішого значення при багаторазових вимірюваннях буде близькою до середньо квадратичної помилки загальної арифметичної середини, тобто;.

Враховуючи значення , рівняння (8) запишемо:

або

Розв’язуючи це рівняння відносно , одержимо формулу Бесселя для нерівноточних вимірювань:

За цією формулою обчислюють середні квадратичні помилки одиниці ваги коли відомі ймовірніші помилки, а середня квадратична помилка загальної арифметичної середини обчислюється за формулою

.