§99. Визначення площ

Визначення площ ділянок на місцевості виконують на підставі геометричних і тригонометричних формул обчислення площ різних геометричних фігура Для цього ділянку місцевості розмічають на прості геометричні фігури і міряють елементи цих фігур, які необхідні для обчислення їх площі. Наприклад, в трикутнику міряють основу “а” і висоту “h” або дві сторони “а” і “в” і кут  між ними в трапеціях – основи “а”, “b” і висоту “h” і застосовуючи відповідно формули: ;;обчислюють площі.

В більшості випадків площі ділянок місцевості визначають користуючись картами або планами.

Площу за допомогою карти або плану можна визначити чотирма способами: графічним, за допомогою палетки, аналітичним і механічними.

Графічний спосіб

Д

Рис.114

ля визначення площ графічним способом її розмічають на простіші геометричні фігури – трикутники, прямокутники і трапеції. Якщо контури криволінійні, то площу необхідно поділити на простіші фігури з таким розрахунком, щоб сторони фігур, які збігаються з цими контурами, практично можна було вважати прямолінійними (Рис.114). Потім мі-

ряють на плані необхідні елементи для обчислення площ окремих фігур. Площу всієї фігури одержують, як суму площ окремих фігур,

Визначення площі за допомогою палетки

В

Рис.115

изначення площі цим способом виконується за допомогою приладу-палетки. Палетка представляє квадрат, або прямокутник з прозорого матеріалу (наприклад, целулоїд або пластик) на якому нанесена сітка квадратів, площа яких повинна бути відома (Рис.115).

Для визначення площі контура на нього накладають палетку і підраховують кількість повних квадратів N₁ в середині контура. Потім визначають кількість неповних квадратів N₂ вздовж межі контура, утворюючи “на око” цілі квадрати.

Загальну площу контура обчислюють за формулою S=S(N₁+N₂), де S – площа одного квадрата.

Аналітичний спосіб

К

Рис.116

оли необхідно визначити площу контура, утвореного сторонами зімкнутого теодолітного ходу, координати вершин яких відомі, можна застосовувати аналітичний метод. Якщо маємо координати вершин чотирикутника (Рис.116). 1(Х₁;Y₁); 2(X_2;Y₂); 3(Хз;Yз); 4(X₄;Y₄), то

для визначення площі чотирикутника беремо алгебраїчну суму площ трапецій S=S_1-2ab+S_2-3bc-S_3-4dc-S_4-1ad. Визначаючи площу кожної трапеції, як півсуму основ на висоту, визначимо подвоєну площу

2S=(X₁+X₂)(Y₂-Y₁)+(X₂+X₃)(Y₃-Y₂)-(X₃+X₄)(Y₃-Y₄)-(X₄+Х₁)(Y₄-Y₁)

Після перемноження і приведення подібних членів одержимо

2s=X₁(Y₂-Y₁)+X₂(Y₃-Y₁)+Х₃(Y₄-Y₂)+X₄(Y₁-Y₃)

Або в загальному випадку при довільній кількості вершин маємо , де n – кількість вершин. Для контролю обчислень користуються формулою. Якщо в приведених формулах різниці координат обчислити навпаки тобто (y_i-1-y_i+1) і (x_i+1-x_i-1), то результат буде зі знаком мінус. Для обчислення площ користуються відомістю, приведеною в таблиці 8.

Таблиця 8

S=1755896 м²=175,59 га

Механічний спосіб визначення площ

Визначення площ механічним способом виконується за допомогою приладу – планіметра. Широкого розповсюдження набув полярний планіметр (Рис.117).

Рис.117

Він складається з двох важелів – полюсного 1 (Рис.117,а) і обвідного 6. Полюсний важіль на одному кінці має вантаж 2 з голкою, якою наколюється важіль на папір і ця точка називається полюсом, а на другому кінці – штифт 15 з кулястою головкою, за допомогою якої полюсний важіль з’єднується з обвідним.

На обвідному важелі пересувається каретка відлікового механізму 8, 9, 10, 11. Від положення каретки залежить довжина обвідного важеля, яка відраховується від обвідного шпиля 5 до шарніра і визначається на шкалі важеля за допомогою верньєра 14. На кінці обвідного важеля розташована ручка 3, обвідний шпиль і штифт 4. Штифт є опорною точкою планіметра, його довжина регулюється з таким розрахунком, щоб вістря обвідного шпиля при обвідці контура фігури не пошкодило паперу. Гвинти 12, 13 використовують для установки перпендикулярності площини обідка відлікового колеса до осі обвідного важеля.

Відліковий механізм (Рис.117,б) складається з відлікового колеса 10, яке має 100 поділок, обідка 9 відлікового колеса, верньєра 11 з десятьма поділками, які дозволяють брати відліки з точністю 0.1 поділки колеса і циферблата 8, по якому беруть відліки повних оборотів колеса. Одному оборотові колеса відповідає зміна відліку на 10000 поділок планіметра. На рис.117,б зображено відлік 4565, який відповідає 4.565 обороту колеса від початку відліку. Для визначення площі користуються двома положеннями полюса відносно фігури при полюсі поза фігурою (Рис.118,а) і полюсі в середині фігури (Рис.118,б).

В

Рис.118

першому випадку площу фігури (в м² або га) визначають за формулою S=(n₂-n₁), в другому S=(n₂-n₁)+g;  – ціна поді-

лки планіметра (в га), яка відповідає одній поділці планіметра; n₁, n₂ – відліки до і після обведення контура; g – постійна планіметра.