§215. Основні формули сферичної тригонометрії

Сферичний трикутник (Рис.204) можна розв’язати за одною із формул сферичної тригонометрії.

Теорема синусів для сферичного трикутника

Синуси сторін сферичного трикутника пропорціональні синусам протилежних кутів.

Формула косинуса сторін сферичного трикутника

Косинус сторони сферичного трикутника дорівнює добутку косинусів двох інших його сторін доданого до добутку синусів тих же сторін на косинус кута між ними.

Формула косинуса кута сферичного трикутника

Косинус кута сферичного трикутника дорівнює добутку косинусів двох інших кутів, взятого з протилежним знаком, доданого до добутку синусів тих же кутів на косинус сторони між ними.

Формула п’яти елементів

Добуток синуса сторони на косинус прилеглого кута дорівнює добутку косинуса протилежної цьому куту сторони на синус третьої сторони без добутку синуса протилежної сторони на косинус третьої сторони і на косинус кута між ними.

Формула котангенсів або формула чотирьох елементів.

В формулу входять дві сторони і два кути (Рис.205).

Д

Рис.206

обуток котангенса крайньої сторони на синус внутрішньої дорівнює добутку косинусів внутрішніх елементів, доданого д

Рис.205

о добутку синуса внутрішнього кута на котангенс крайнього

Формули для розв’язання прямокутних сферичних трикутників. Якщо в сферичному трикутнику (Рис.206) кут , тоді

, ,

Для розв’язання прямокутного сферичного трикутника замість катетів “” і “” беруть їх доповнення до 90°, тобтоі, прямий кутне враховують. Тоді прямокутний трикутник можна розв’язувати за одним із таких правил:

І. Косинус окремого елемента прямокутного сферичного трикутника дорівнює добутку синусів елементів не суміжних з ним.

Косинус середнього елемента прямокутного трикутника дорівнює добутку котангенсів крайніх , суміжних з ним елементів.

В прямокутному сферичному трикутнику відношення тангенса одного із катетів до тангенса протилежного кута порівнює синусу другого катета

і

§216. Корткі відомості про Всесвіт

Для визначення астрономічних широт, довгот і азимутів астрономічними методами спостерігають Сонце або зорі. Величини зірок домовились характеризувати числами, при цьому найслабші, які видно неозброєним оком, це зорі шостої величини.

Всі зорі, різні за величиною на небесній сфері об’єднані в сузір’я, назви яких нагадують персонажі або події античної міфології.

Окремі зорі в сузір’ях позначають буквами грецької азбуки або просто номерами.

Видимі форми сузір’їв і взаємне розташування зірок залишаються постійними, не дивлячись на рух Землі по орбіті, рух всієї Сонячної системи і на власний рух зірок. Знайти на небі ту чи іншу зірку досить важко навіть озброєним оком, але спостерігач повинен бути впевнений в тому що зірка, яку він спостерігає є тою, яка намічена програмою його спостережень. Для цього спостерігачеві необхідно знати в момент спостереження азимут і зенітну віддаль цього світила. Таблиці , в яких на певні моменти часу приведені азимути і зенітні відпалі небесних світил називаються ефемеридами.

§217. Небесна сфера і її елементи

Внаслідок обертання Землі навколо своєї осі небо здається спостерігачу у вигляді сфери, яка обертається з сходу через південь на захід, на внутрішній поверхні якої розташовані небесні світила. В дійсності, ніякої матеріальної сфери немає, і зорі, Сонне, Місяць, планети знаходяться на різних відстанях від Землі, але в астрономії користуються поняттям “небесна сфера” тому, що воно спрощує опис небесних явищ і математичних розрахунків. Небесного сферою називається уявна сферична поверхня, описана радіусом довільної довжини з центром в точці стояння спостерігача або центром Землі, на поверхню якої начебто спроектовані всі зорі, які спостерігаються.

За радіус небесної сфери приймають нескінченість. Положення світил на небесній сфері визначається координатами, які беруть свій початок від конкретних точок і ліній на небесній сфері.

Визначимо на небесній сфері основні точки і лінії, пов’язані з добовим обертанням Землі, пунктом спостереження і видимим рухом Сонця.

Точки та лінії, пов’язані з видимим обертанням небесної сфери.

Уявна пряма(Рис.207), паралельна по осі обертання Землі, навколо якої відбувається видиме добове обертання небесної сфери, називається віссю світу. Вісь світу перетинає небесну сферу в точкахі, які називаються відповідно північним і південним полюсами світу. Північний полюс світу з

Рис.207

находиться поблизу Полярної зірки. Площина, перпендикулярна до осі світу, яка проходить через центр небесної сфери, називається площиною небесного екватора, а лінія перетину, цієї площини і сфери називається небесним екватором.

Переріз небесної сфери площиною, яка проходить через вісь світу і будь-яку точку, наприклад через світило , називається кругом схилення цієї точки.– круг схилення світила. Внаслідок видимого обертання небесної сфери кожне світило за добу описує коло, в площині паралельній до екватора. Коло, називається добовою паралеллю світила . Миттєве положення світила на небесній сфері визначається перетином круга схилення і паралелі, які проходять через дане світило.

Точки та лінії, пов’язані з розташуванням спостерігача.

Вискова лінія(Рис.208), яка проходить через точку спостереження, перетинає небесну сферу в двох діаметрально протилежних точках: в точці зеніту, яка знаходиться над головою спостерігача, і в точні надиру, яка знаходиться під його ногами. Площина, яка перпендик

Рис.208

улярна до вискової лінії і проходить через центр небесної сфери, називається площиною небесного (дійсного) горизонту, а перерізцією площиною небесної сфери називається небесним (дійсним) горизонтом. Площина, яка проходить через вискову лініюі вісь світу, називається площиною астрономічного, або дійсного, меридіана, а перерізцією площиною небесної сфери – астрономічним, або дійсним, меридіаном точки спостереження.

Очевидно, що кожній точці на земній поверхні відповідає свій меридіан. Площини меридіана і горизонту в перерізі утворюють полудневу лінію . Точкиіперетину цієї лінії з небесною сферою називаються точками півночі і півдня.

Площини, які проходять через вискову лінію , називаються вертикальними площинами, а їх переріз з небесною сферою – вертикалами, або кругами висот. Вертикал, площина якого перпендикулярна до площини небесного меридіана, носить назву першого вертикала. Він перетинає горизонт в точках сходуі заходу. По лініїперерізуються три площини: горизонту, екватора і першого вертикала. Перераховані точки, лінії і площини (Рис.208) не беруть участь у видимому добовому обертанні небесної сфери. Вони складають начебто нерухомий каркас, всередині якого обертається небесна сфера.

Точки та лінії, пов’язані з видимим рухом Сонця по небесній сфері.

К

Рис.209

ожне світило рухається з великою космічною швидкістю, але відстані від Землі до зірок настільки великі, що кутові переміщення зірок, які рухаються навіть з такою великою швидкістю, незначні. Тому взаємне положення зірок на небесній сфері в період спостережень можна вважати постійним. Але видиме положення Сонця і планет на небесній сфері відносно зірок змінюється досить швидко.

Земля, є супутником Сонця, обертається навколо нього по орбіті, яка має вид еліпса. Повний оберт відбувається впродовж одного року. Спостерігачу з Землі здається, що Сонце рухається відносно Землі роблячи повний оберт протягом року. Тому в сферичній астрономії прийнято вести мову про видимий річний рух Сонця. Шлях видимого річного руху Сонця по небесній сфері утворює собою коло (Рис.209) великого круга, яке називається екліптикою, а площина, в якій воно розташоване, площиною екліптики. Площина екліптики нахилена до площини екватора на кут 23°27. Екліптика і небесний екватор перетинаються в точках(Овен) і(Терези), які відповідно називаються точками весняного і осіннього рівнодення.

В першій з них – Сонце буває весною, 21 березня, коли воно перетинає екватор, проходячи із південної півкулі небесної сфери в північну, а в другій – восени, 23 вересня, при зворотному переході.

Ці дати називаються днями весняного і осіннього рівнодення. Верхню і нижнюточки екліптики, найбільш віддалені від екватора, називають точками, відповідно літнього і зимового сонцестояння. Екліптика і небесний екватор також належать небесній сфері, і всі їх точки, включаючи і , беруть участь в її добовому обертанні разом з іншими точками сфери.