§192. Оцінка точності результатів безпосередніх вимірювань

Оцінку точності результатів багаторазових безпосередніх вимірювань одної і тої величини можна виконувати різними способами.

1. Середня помилка вимірювань.

Якщо маємо ряд рівноточних вимірювань будь-якої величини ,, ...,і її дійсне значення “”, то дійсні помилки результатів цих вимірювань будуть ,, ...,.

Для висновку про точність вимірювань можна користуватись середньою помилкою “”.

Середньою помилкою називається середнє арифметичне із абсолютних значень випадкових помилок рівноточних вимірювань однієї і тієї величини, тобто

Наприклад: За результатами рівноточних вимірювань одної і тої величини одержали наступні дійсні помилки: +1, +2, 0, -6, -1, 0; то ;

2. Середня квадратична помилка.

Щоб збільшити вплив окремих великих помилок на результат оцінки точності ряду спостережень, користуються середньою квадратичною помилкою.

Ця формула відома в літературі під назвою формули Гаусса. Цією формулою користуються в тих випадках коли відомі дійсні помилки, а вимірювання рівноточні.

Для доведення викладеного вище порівняємо два ряди вимірювань і виконаємо оцінку точності користуючись формулами середньої і середньої квадратичної помилок

№	1-й ряд		2-й ряд
1 2 3 4 5 6	+1 +2 0 -6 -1 0	1 4 0 36 1 0	-2 +3 -3 +1 +2 +1	4 9 9 1 4 1

Чим менша середня квадратична помилка, тим точніший ряд вимірювань. Крім нього дослідженнями доведено, що , а гранична помилка, яка може виникнути в ряду вимірювань при однакових умовах дорівнює потроєній середній квадратичній помилці, тобто

Іноді при підвищених вимогах до точності вимірювань величину граничної помилки беруть рівною:

3. Абсолютна і відносна помилки.

Випадкову, середню квадратичну і середню помилки інколи називають абсолютними помилками.

За величиною абсолютної помилки важко оцінити точність лінійних вимірювань. Тому на відміну від абсолютних, застосовують відносні помилки, які зображують відношенням абсолютних помилок до значення відповідних величин. Відношення середньої квадратичної помилки до виміряного значення величини називається відносною середньою квадратичною помилкою. Відносною помилкою користуються для оцінки точності лінійних вимірювань. Відносні помилки прийнято виражати дробами, чисельники яких дорівнюють одиниці.

Наприклад: довжина лінії м поміряна з середньою квадратичною помилкоюм, то відносна середня квадратична помилка результатів вимірювання буде:

Відношення граничної середньої квадратичної помилки до вимірюваної величини називається граничного відносною помилкою.

.

§193. Середні квадратичні помилки функцій безпосередньо виміряних величин

Шукана величина не завжди може бути виміряна безпосередньо. В таких випадках її приходиться знаходити посереднім шляхом. Наприклад, неможливо виміряти безпосередньо суму кутів в трикутнику, але її можна визначити додавши всі безпосередньо виміряні кути. В цьому випадку сума кутів трикутника буде функцією окремих незалежних одне від одного спостережень. Тому виникає питання, як визначити середню квадратичну помилку функції, коли відомі середні квадратичні помилки окремих вимірювань.

За формулою Гаусса можна оцінювати тільки безпосередньо виміряні величини, але нього недостатньо для висновків про точність обчисленої величини.

Виведемо формули для визначення середньої квадратичної помилки найпростіших функцій безпосередньо виміряних величин.

1. Нехай шукана величина є функцією виду:

(1)

–постійне число

–безпосередньо виміряна величина

–середня квадратична помилка виміряної величини

Нехай і– дійсні помилки аргументаі функції.

Знайдемо залежність між ними. Якщо зміниться на величину, тоодержить відповідно зміну, тобто

(2)

Розв’язуючи два рівняння (1) і (2) одержимо

(3)

Якщо величина вимірюваласьразів то одержиморівнянь типу (3)

...............

Обидві частини кожного з цих рівнянь піднесемо до квадрата, додамо їх і поділимо на

………………

(4)

але згідно з формулою Гаусса

і рівняння (4)можна записати так

або (5)

тобто, середня квадратична помилка добутку постійного коефіцієнта на значення аргументу дорівнює добуткові цього коефіцієнта на середню квадратичну помилку аргументу.

Наприклад: відстань визначена за допомогою ниткового оптичного віддалеміра, коефіцієнт віддалеміра К=100; відлік по рейці виконано з помилкою см. Визначити середню квадратичну помилку відстані. Віддалемірна відстань визначається за формулоютобто вона є функцією видуі користуючись формулоюодержимосм=см=м.

2. Додавання та віднімання виміряних величин.

Нехай шукана величина є функцією виду:

(6)

і – безпосередньо виміряні величини, а– функція суми. Дійсні помилки величин;ібудуть відповідно дорівнювати;і. Якщозмінити на величину, ана величинутозміниться на величинутоді нові значення аргументів і функції будуть:;і. Підставимо ці значення в функцію (6) одержимо:

(7)

Розв’язуючи два рівняння (6) і (7), одержимо:

(8)

Якщо величини івимірювалисьразів, то одержиморівнянь типу (8)

.........................

Піднесемо ці рівняння до квадрата, додамо їх і поділимо на .

...........................................

(9)

але ;;, а на підставі четвертої властивості випадкових помилок;. Тому рівняння (9) можна записати в такому вигляді:

; (10)

Міркуючи подібним способом знайдемо середню квадратичну помилку функції різниці виміряних величин

(10)

Як бачимо, залежність між середньою квадратичною помилкою суми і середньою квадратичною помилкою різниці двох аргументів виражається однією і тією формулою, тобто – середні квадратичні помилки алгебраїчної суми і різниці двох аргументів дорівнюють кореню квадратному з суми квадратів середніх квадратичних помилок аргументів.

Наприклад: кути івиміряно з середніми квадратичними помилками

і .

Визначити середню квадратичну помилку суми цих кутів

Користуючись формулою (10) маємо:

Якщо

то в цьому випадку формула (10) буде мати вигляд

(11)

тобто – середня квадратична помилка алгебраїчної суми або різниці двох виміряних з однаковою точністю величин в разів більша за середню квадратичну помилку одного доданка.

Наприклад: Обчислити середню квадратичну помилку кута, визначеного як різницю двох відліків, якщо середня квадратична помилка одного відліку дорівнює ;

Користуючись формулою (11) маємо:

Якщо шукана величина є алгебраїчною сумою або різницею довільної кількості величин, тобто то міркуючи подібним способом можна записати:

(12)

тобто середня квадратична помилка суми або різниці “” виміряних величин дорівнює кореню квадратному із суми квадратів середніх квадратичних помилок всіх величин.

В окремому випадку, коли всі аргументи даної функції мають однакову середню квадратичну помилку, тобто то формула (12) буде мати вид:

(13)

і на підставі формули (13) можна записати, що середня квадратична помилка алгебраїчної суми або різниці, виміряних з однаковою точністю величин вразів більша за середню квадратичну помилку одної величини.

Наприклад: середня квадратична помилка відкладання лінії на папері за допомогою вимірника і масштабної лінійки мм. Відкладали на папері ламану лінію з 9 відрізків. Обчислити середню квадратичну помилку нане­сення на папір всієї лінії. Користуючись формулою (13) маємо:

мммм.

Для обчислення середньої квадратичної помилки вимірювання кутів в тріангуляції користуються нев’язками трикутників. Середня квадратична помилка суми кутів одного трикутника обчислюється за формулою Гаусса

тому, що нев’язки трикутників “” можна розглядати, як суму дійсних випадкових помилок кутів трикутника, але середня квадратична помилка суми кутів трикутника є функцією суми трьох незалежних рівноточних вимірювань і її середня квадратична помилка обчислюється за формулою

–середня квадратична помилка вимірювання одного кута трикутника.

Виходить , або з урахуванням формули Гаусса одержимо:

В даній формулі “” нев’язки трикутників,– число трикутників.

Ця формула відома в літературі під назвою формули Ферреро.

3. Лінійна функція

В цьому виразі ;...– постійні коефіцієнти, а;...– окремі незалежні величини (аргументи), визначені з середніми квадратичними помилками;....

В цьому випадку для оцінки точності користуються формулою:

(14)

тобто – середня квадратична помилка алгебраїчної суми або різниці добутків постійної величини на аргумент дорівнює кореню квадратному із суми квадратів добутків постійної величини на середню квадратичну помилку відповідного аргументу.

В випадках, коли формула (14) буде мати вид:

(15)

а якщо вимірювані величини ;...рівноточні і,

тоді (16)

Наприклад: довжину лінії вимірювали частинами оптичним нитковим віддалеміром, коефіцієнт віддалеміра К=100, а помилка відліку по рейці на першому відрізку лініїсм; на другомусм і на третьомусм. Користуючись формулою (15) маємо

см

4. Функція загального виду: ,

Величина є функцією багатьох незалежних величин.

В цьому випадку для оцінки точності вимірювань користуються формулою:

(17)

тобто, середня квадратична помилка функції загального виду дорівнює кореню квадратному із суми квадратів добутків часткових похідних за кожним аргументом на середню квадратичну помилку відповідного аргументу.

Наприклад: виміряно дві сторони прямокутника

м і м

Середні квадратичні помилки цих сторін відповідно дорівнюють

м, а м

Визначити площу прямокутника і її середню квадратичну помилку.

м²

м²

м²м².