1. Поясніть поняття тiсноти (щільності) кореляцiйного зв'язку. Намалюйте дiаграми розсiяння для бiльш тiсного i менш тiсного зв'язкiв. Щільність зв’язку пояснюється за допомогою діаграми розсіяння та лінії регресії. Проводиться умовна лінія емпіричної регресії (між х та середніми значеннями у), і чим ближче точки знаходяться до лінії, тим щільнішим є зв'язок. Ящо спостерігаємо спів падіння/накладання точок на лінію – маємо функціональний зв'язок.

2. Дайте визначення лiнiйного I нелiнiйного зв'язків. Проiлюструйте свою відповідь дiаграмою розсiяння.

Лінійний зв’язок − вид статистичного зв’язку між двома або кількома кількісними змінними, модель якої може бути описана лінійною функцією y = a + b₁x₁ + b₂x₂ + ... + b_kx_k .

Для двох кількісних змінних х і у модель лінійного зв'язку має вигляд y = a + bx. На діаграмі розсіяння це рівняння зображується у вигляді прямої. Чим ближче точки графіка прилягають до прямої, тим сильніший (тісніший) зв’язок між змінними. Если линейная связь между двумя переменными имеет причинный характер, уравнение y = a + bx является уравнением линейной парной регрессии..

Графік лінійного зв’язку: лінія регресії має вигляд прамої лінії; Нелінійний зв’язок – статистичний зв’язок між двома чи кількома кількісними змінними, що не може бути описаний лінійною функцією, а описується однією з нелінійних математичних функцій – квадратичною, логарифмічною, тригонометричною тощо.

На диаграмі розсіяння для двох змінних рівняння нелинійного зв’язку зображується у вигляді кривої. Чем ближче точки графика прилягають до кривої, тем сильніший (тесніший) нелінійний зв’язок між змінними. Если нелинейная связь между двумя переменными имеет причинный характер, уравнение нелинейной связи является уравнением регрессии нелинейной (см.).

3. Дайте визначення прямого та зворотнього зв'язків. Проiлюструйте свою відповідь дiаграмою розсiяння. При прямому зв’язку зміна факторної ознаки зумовлює зміну результативної ознаки в тому самому напрямі. Якщо із збільшенням факторної іознаки результативна ознака зменшується, чи навпаки, із зменшенням факторної ознаки результативна зростає, то такий зв’язок називають зворотнім. За типом зв’язки поділяються на прямі і зворотні. Прямі: + з +; - з -; непрямі: + з -, - з +.

4. Якi значення може приймати коефiцiєнт кореляцiї Пiрсона? Значення коефіцієнта можуть змінюватися від -1 до 1.

5. Наявнiсть якого зв'язку фiксує коефiцiєнт кореляцiї Пiрсона?

Коефіцієнт Пірсона є мірою тісноти зв’язку 2-ох ознак у припущенні, що між ознаками існує лінійний кореляційний зв'язок. Цей коефіцієнт фіксує зв'язок лише у лінійному вимірі.

6. Як iнтерпретуються значення коефiцiєнту кореляцiї Пiрсона? Якщо коефіцієнт кореляції Пірсона дорівнює 0 – міх х і у немає лінійного зв’язку. Якщо r_xy дорівнює -1 - існує зворотній функціональний лінійний зв’язок, якщо коефіцієнт =1 – існує прямий лінійний зв’язок, діаграма розсіяння має вигляд прямої лінії. Чим більше абсолютне значення – тим більший зв’язок. r_xy =0,3 – 0,4 – помірний лінійний зв’язок; r_xy=0,5 – 0,6 – добре встановлений зв’язок; r_xy=0,7 – 0,8 – сильний зв’язок; r_xy> 0,9 – між змінними існує практично лінійний зв’язок.

7. Поясніть поняття хибної залежності та хибної незалежності між двома ознаками. В деяких випадках може виникати хибна залежність або хибна незалежність. Хибна залежність та незалежність між 2 ознак може виникати, якщо ми не враховуємо можливий вплив третьої сили. Наприклад, між х та у немає зв’язку, але з z – є.

8. Яку iнформацiю про причинно-наслiдковий характер зв'язку дає коефiцiєнт кореляцiї Пiрсона? Ніякої. Коефіцієнт Пірсона говорить лише про наявність або відсутність, щільність зв’язку.

9. Для ознак, вимiряних в яких шкалах, можна обчислювати коефiцiєнт кореляцiї Пiрсона? Коефіціент Пірсона не застосовують до номінальних шкал. Його можна застосовувати лише до реально кількісних шкал. Також цей коефіцієнт інколи використовують для деяких порядкових шкал

10. Чи є коефiцiєнт кореляцiї Пiрсона симетричним показником чи нi? Поясніть свою відповідь. Коефіціент Пірсона є симетричним (у парі змінних не виділяють залежену та незалежну змінні) - х корелює з у так само, як і у корелює з х.

11. Який показник використовується для оцiнювання нелiнiйного зв'язку між двома ознаками? Коефіцієнт Ета (тіснота зв’язку для ознак, одна з яких – категоріальна/номінальна/дискретна, а інша - кількісна). За допомогою даного коефіцієнту звільняємось від вимоги на лінійність зв’язку, як це було в коефіцієнті Пірсона. Вимірює міру не лінійності.

12. Якi значення може приймати кореляцiйне вiдношення? Як iнтерпретуються значення кореляцiйного вiдношення? +Кореляційне відношення (коефіцієнт ета) може набувати значень від 0 (відсутність зв’язку, відсутність впливу) до 1 (повний зв’язок, повний вплив).

13. Яке спiввiдношення мiж значеннями коефiцiєнту кореляцiї Пiрсона та кореляцiйного вiдношення? Коефіціент кореляції Пірсона призначений для дослідження прямолінійних залежностей, тоді як кореляційне відношення використовується у випадку криволінійної залежності. Можлива ситуація, коил коефіцієнт кореляції Пірсона = 0, або близький до 0, але це ще не свідчить про відсутність зв’язку взагалі, а лише про відсутність прямолінійного зв’язку. Співвідношення значень коефіцієнта кореляції Прісона та кореляційного відношення використовуються для аналізу характеру зв’язку між двома змінними. Якщо коефіцієнт кореляції Пірсона менший за кореляційне відношення, то це є показником того, що зв’язок між двома змінними нелінійний.

14. Розставте ранги для ряду значень 22 31 12 34 12 10 4 31 Впорядкуємо ряд чисел – 4 10 12 12 22 31 31 34 .

Для кожного числа ранг буде його номер по порядку. Для однакових чисел ранг буде обраховуватися сумою їх місць, поділеною на кількість однакових значень. Виходить середнє, що й буде їх спільним рангом. Маємо :

4	10	12	12	22	31	31	34
1	2	3,5	3,5	5	6,5	6,5	8

15. Якi значення може приймати коефiцiєнт кореляцiї Спiрмена? Коефіціент може змінюватися від -1 до 1.

16. Як iнтерпретуються значення коефiцiєнту кореляцiї Спiрмена? Коефiцiєнт кореляцiї Спiрмена застосовують для двох порядкових змінних і пов’язаний він із моделлю зв’язку як коваріації рангів. Коефіціент кореляції рангів приймає значення івд -1 до +1. Значення +1 інтерпретується як однакове впорядкування рангів значень двох ознак. Значення -1 інтерпретуєтьс як зворотне впорядкування рангів знчень двох ознак. Значення 0 інтерпретується як відсутність зв’язку між порядком рангів значень двох ознак.

17. Який висновок можна зробити з факту, що коефiцiєнт кореляцiї Спiрмена мiж ознаками X та Y дорiвнює -1? Якщо коефіцієнт кореляції =-1 - рангові ряди мають зворотній напрямок.

18. Для ознак, виміряних в яких шкалах, можна обчислювати коефiцiєнт кореляцiї Спiрмена? Може бути виміряний для ознак виміряних в метричних та порядкових шкалах

19. Який зв'язок мiж коефiцiєнтами кореляцiї Пiрсона та Спiрмена? Коефіціент кореляції Пріосна заснований на принципі коваріації. Тобто, якщо значенню х яке менше за середнє, відповідає значення у також менше від середнього, то це свідчить про упорядкованість, про наявність зв’язку. Зв’язок може бути і від’ємним і величина коефіцієнта стає від’ємною (тобто коефіцієнт може набувати значень від -1 при зворотному зв’язку до +1 при прямому). Коефіціент рангової кореляції Спірмена набуває значення +1, якщо всі ранги у двох змінних збігаються і -1 якщо рангові ряди мають зворотний напрямок. Цей коефіцієнт також заснований на принципі коваріації. Коефіціент Спірмена є коефіцієнтом Пірсона, застосованим до рангів

20. Якi значення може приймати коефiцiєнт кореляцiї Кендела? Від -1 до +1

21. Як iнтерпретуються значення коефiцiєнту кореляцiї Кендела? Результат дорівнює +1, якщо ранги пари обох ознак розташовані в одній послідовності, і -1, якщо в зворотній

22. Для ознак, виміряних в яких шкалах, можна обчислювати коефiцiєнт кореляцiї Кендела? Може бути виміряний для ознак виміряних в метричних та порядкових шкалах.

До теми "Регресiйний аналiз"

1. Дайте визначення лінії регресії. Лінія регресії – лінія, що перетинає графік, проведена так, щоб сума відстаней точок графіка від неї була мінімальна (відстань береться лише по осі у, тобто це проекції відстаней на вісь у, і підсумовуються не значення відстаней, а квадрати цих відстаней).

2. Запишiть загальний вигляд рiвняння регресiї. Рівняння регресії фіксує зв'язок між факторами і змінною (середнім значенням)

3. Запишiть загальний вигляд рiвняння лiнiйної регресiї. y=ax+b

4. В чому суть застосування методу найменших квадратiв при побудовi рiвняння лiнiйної регресiї? Сутність застосування методу найменших квадратів при побудові рівняння лінійної регресії полягає в тому, що ми проводимо лінію таким чином, щоб сума квадратів відхилень реальних точок від прямої була мінімально. Ми маємо знайти оптимальну пряму.

5. Як інтерпретуються коефiцiєнти регресiї в рiвняннi лiнiйної регресiї? Коефіцієнт регресії показує, на скільки зміниться середнє значення залежної змінної у при зміні фактору х на одиницю та зафіксованих значень інших факторів.

При цьому інтерпретується знак коефіцієнта, якщо «+» − позитивний вплив фактору, знак «−» - негативний вплив (збільшення фактору веде до зміни залежної змінної.

6. Дайте визначення рiвняння лінійної регресiї в нормальних (стандартних) координатах? В чому його специфiка по вiдношенню до звичайного рiвняння лiнiйної регресiї? Якщо нам необхідно порівняти, який фактор впливає більше або менше, слід використовувати процедуру стандартизації. Адже неможливо порівнювати коефіцієнти через різні одиниці вимірювання тощо.

, де Z – нова безрозмірна змінна, S – стандартне відхилення

Рівняння регресії зі стандартизованих координат – це перетворене/стандартизоване (висхідне) рівняння регресії.