Переходная и импульсная характеристики линейных цепей

Рассмотрим линейную электрическую цепь, не содержащую независимых ис точников тока и напряжения. Пусть внешнее воздействие на цепь представляет со

Переходной характеристикой g(t—t0) линейной цепи, не содержащей незави симых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи на воздейст вие неединичного скачка тока или напряжения к высоте этого скачка при нулевых начальных условиях:

реходная характеристика цепи численно равна реакции цепи на воздействие единич­ ного скачка тока или напряжения. Размерность переходной характеристики равна отношению размерности отклика к размерности внешнего воздействия, поэтому переходная характеристика может иметь размерность сопротивления, проводимо сти или быть безразмерной величиной.

Пусть внешнее воздействие на цепь имеет форму бесконечно короткого им пульса бесконечно большой высоты и конечной площади АИ:

и .

Реакцию цепи на это воздействие при нулевых начальных условиях обозначим

.

Импульсной характеристикой h(t—t0) линейной цепи, не содержащей неза висимых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи на воздей ствие бесконечно короткого импульса бесконечно большой высоты и конечной площади к площади этого импульса при нулевых начальных условиях:

Как следует из выражения (6.109), импульсная характеристика цепи численно равна реакции цепи на воздействие единичного импульса (АИ = 1). Размерность им пульсной характеристики равна отношению размерности отклика цепи к произве дению размерности внешнего воздействия на время.

Подобно комплексной частотной и операторной характеристикам цепи, пере ходная и импульсная характеристики устанавливают связь между внешним воздей ствием на цепь и ее реакцией, однако в отличие от комплексной частотной и опера торной характеристик аргументом переходной и импульсной характеристик явля ется время t, а не угловая ω или комплексная р частота. Так как характеристики це пи, аргументом которых является время, называются временны́ми, а аргументом которых является частота (в том числе и комплексная) — частотными характери

538

стиками (см. модуль 1.5), то переходная и импульсная характеристики относятся к временны́м характеристикам цепи.

Каждой паре «внешнее воздействие на цепь — реакция цепи » можно поставить в соответствие определенную комплексную частотную

Для установления связи между этими характеристиками найдем операторные изображения переходной и импульсной характеристик. Используя выражения

(6.108), (6.109), запишем

бражение которой по Лапласу, представляет собой операторную характеристику це

между частотными и временными характеристиками цепи. Зная, например, им пульсную характеристику можно с помощью прямого преобразования Лапла са найти соответствующую операторную характеристику цепи

Используя выражения (6.110) и теорему дифференцирования (6.51), нетрудно установить связь между переходной и импульсной характеристиками:

539

Следовательно, импульсная характеристика цепи равна первой производной переходной характеристики по времени. В связи с тем, что переходная характери стика цепи g(t—t0) численно равна реакции цепи на воздействие единичного скачка напряжения или тока, приложенного к цепи с нулевыми начальными условиями, значения функции g(t—t0) при t < t0 равны нулю. Поэтому, строго говоря, переход ную характеристику цепи следует записывать как g(t—t0) ∙ 1(t—t0), а не g(t—t0). За меняя в выражении (6.112) g(t—t0) на g(t—t0) ∙ 1(t—t0) и используя соотношение (6.104), получаем

Выражение (6.113) известно под названием формулы обобщенной производ­ ной. Первое слагаемое в этом выражении представляет собой производную пере ходной характеристики при t > t0, а второе слагаемое содержит произведение δ функции на значение переходной характеристики в точке t = t0. Если при t = t0 функ ция g(t—t0) изменяется скачкообразно, то импульсная характеристика цепи содер жит δ функцию, умноженную на высоту скачка переходной характеристики в точке t = t0. Если функция g(t—t0) не претерпевает разрыва при t = t0, т. е. значение переход ной характеристики в точке t = t0 равно нулю, то выражение для обобщенной произ водной совпадает с выражением для обычной производной.

Методы определения временных характеристик

Для определения временны́х характеристик линейной цепи в общем случае не обходимо рассмотреть переходные процессы, имеющие место в данной цепи при воздействии на нее единичного скачка (единичного импульса) тока или напряже ния. Это может быть выполнено с помощью классического или операторного метода анализа переходных процессов. На практике для нахождения временных характери стик линейных цепей удобно использовать другой путь, основанный на применении соотношений, устанавливающих связь между частотными и временными характери стиками. Определение временных характеристик в этом случае начинается с состав

операторную характеристику цепи и применяя соотношения (6.110) или (6.111), оп ределяют искомые временные характеристики.

540

щающего цепи определенную энергию. Токи индуктивностей и напряжения емко стей при этом скачком изменяются на значение, соответствующее поступившей в цепь энергии. На втором этапе (при ) действие приложенного к цепи внешне го воздействия закончилось (при этом соответствующие источники энергии вы ключены, т. е. представлены внутренними сопротивлениями), и в цепи возникают свободные процессы, протекающие за счет энергии, запасенной в реактивных эле ментах на первой стадии переходного процесса. Таким образом, импульсная харак теристика цепи, численно равная реакции на воздействие единичного импульса то ка или напряжения, характеризует свободные процессы в рассматриваемой цепи.

Пример6.7.Для цепи, схема которой приведена на рис. 3.12, а, найдем переходную и импульсную характеристики в режиме холостого хода на зажимах 2―2'. Внешнее воздейст

Операторная характеристика данной цепи, соответствующая заданной паре «внеш нее воздействие на цепь ― реакция цепи», была получена в примере 6.5:

х⁄ .

Следовательно, операторные изображения переходной и импульсной характери стик цепи имеют вид

1

⁄ ;

1 ⁄ 1 ⁄ .

Используя таблицы обратного преобразования Лапласа см. приложение 1 , пере ходим от изображений искомых временных характеристик к оригиналам рис. 6.20, а, б :

Заменяя в полученных выражениях t на t—t0, находим временны́е характеристики цепи при t0 0:

Отметим, что выражение для импульсной характеристики цепи может быть полу чено и с помощью формулы 6.113 , примененной к выражению для переходной характери стики цепи g t .

Для качественного объяснения вида переходной и импульсной характеристик цепи в данном включении рис. 6.20, а, б подсоединим к зажимам 1—1' независимый источник напряжения рис. 6.20, в . Переходная характеристика данной цепи численно рав на напряжению на зажимах 2—2' при воздействии на цепь единичного скачка напряжения

1В и нулевых начальных условиях. В начальный момент времени после коммута

541