Пример4.19. Используя метод контурных токов, составим систему уравнений для определения тока 6 цепи, схема которой приведена на рис. 4.2, а. Построим сигнальный граф, соответствующий этой системе уравнений.

Контурные уравнения исследуемой цепи были сформированы при рассмотрении примера 4.4. Дополняя эти уравнения соотношением, связывающим ток 6 с контурными токами 11 и 22, получаем

;

;

0.

Разрешим каждое из этих уравнений относительно одной из неизвестных величин:

1 ;

;

.

Рис. 4.25. К примеру 4.19

Этой системе уравнений соответствует сигнальный граф, изображенный на рис.

4.25.

Преобразования сигнальных графов

Используя правила построения сигнальных графов, можно убедиться, что каж дому равносильному преобразованию исходной системы уравнений соответствует некоторое преобразование сигнального графа и, наоборот, каждому преобразова нию сигнального графа соответствует определенное преобразование исходной сис темы уравнений. На практике оказывается, что преобразования сигнальных графов выполняются проще и в более наглядной форме, чем преобразование уравнений. Поэтому при анализе цепей во многих случаях преобразование уравнений электри ческого равновесия заменяется преобразованием соответствующих сигнальных графов.

Рассмотрим основные преобразования сигнальных графов.

Объединение параллельных ветвей. Две параллельные ветви с передачами А и В могут быть заменены одной ветвью с передачей А+В. Действительно, в соот ветствии с рис. 4.26, а сигнал в узле xi, к которому сходятся ветви с передачами А и В, исходящие из узла xi,

380

Последнему уравнению соответствует сигнальный граф, имеющий одну ветвь с передачей А+В, направленную от узла xi к узлу xj (рис. 4.26, б). Правило объединения параллельных ветвей обобщается на любое число параллельно включенных ветвей, его также можно применять для объединения петель, подключенных к одному узлу

(рис.4.27).

Рис. 4.26. Объединение параллельных ветвей

Рис. 4.27. Объединение петель

Объединение последовательности однонаправленных ветвей. Две по следовательно включенные однонаправленные ветви с передачами А и В могут быть заменены одной ветвью с передачей АВ. Действительно, графу, приведенному на рис. 4.28, а,

Рис. 4.28. Объединение последовательности однонаправленных ветвей

может быть поставлена в соответствие система уравнений

;

. 4.34

Исключая из (4.34) переменную xj, получаем

381

. 4.35

Уравнению (4.35) соответствует сигнальный граф, содержащий одну ветвь с передачей АВ (рис. 4.28, б). Данное преобразование представляет собой частный случай устранения смешанного узла сигнального графа.

Устранение промежуточного узла. Смешанный узел, к которому подклю

чено

Рис. 4.29. Устранение промежуточного узла, в который входит (а, б) или из которого исходит (в, г) только одна ветвь

несколько не образующих контуров ветвей, причем только одна из ветвей направ лена к узлу (рис. 4.29, а) или от него (рис. 4.29, в), называется промежуточным. Для устранения промежуточного узла первого типа составим систему уравнений

и исключим из нее переменную х2.

;

; 4.36

.

Системе уравнений (4.36) соответствует граф, не содержащий промежуточного узла х2 (рис. 4.29, б). Аналогичным образом устраняется промежуточный узел, в ко торый входит несколько ветвей, а выходит только одна (рис. 4.29, в, г).

382

Устранение контура. Сигнальному графу, изображенному на рис. 4.30, а, может

Рис. 4.30. Устранение контура

быть поставлена в соответствие система уравнений

;

.

Подставляя первое из этих уравнений во второе, находим

. 4.37

Уравнению (4.37) соответствует преобразованный граф, приведенный на рис. 4.30, б.

Исключение петли. Исключение петли с передачей А, подключенной к како му либо узлу сигнального графа, сопровождается умножением передач ветвей, вхо дящих в этот узел, на 1/(1 — А).

Действительно, для сигнального графа, приведенного на рис. 4.31, а, можно со ставить систему уравнений

;

.

Приводя в первом из этих уравнений подобные члены и разрешая его относи тельно x3, получаем

Как видно из соответствующего системе уравнений (4.38) сигнального графа (рис. 4.31, б), после устранения петли передачи ветвей, входящих в узел х3, оказались умноженными на 1/(1 — С), а передача ветви, выходящей из узла х3, осталась без из менения.

383

Расщепление узла. В связи с тем, что сигнал в каждом узле сигнального графа определяется только сигналами входящих в него ветвей, любой узел сигнального графа может быть расщеплен на два: один — содержащий все ветви, направленные к узлу, другой — направленные от узла. Так, узел х6 графа, изображенного на рис. 4.33, а, может быть расщеплен на два узла (рис. 4.33, б). Узел, который содержит только исходящие из него ветви (исток), может быть расщеплен на произвольное число уз лов, не превышающее числа исходящих из него ветвей (рис. 4.33, в).

Рис. 4.33. Расщепление узла

Удлинение узла. В ряде случаев возникает необходимость во введении в сиг нальный граф дополнительного узла, сигнал в котором совпадает с сигналом в од ном из узлов xj сигнального графа. Такая операция называется удлинением узла xj.

Для удлинения узла xj этот узел должен быть соединен с вновь вводимым узлом xj’ вет вью, передача которой равна единице. Например, для удлинения узла х4 (рис. 4.34, а) введем новый узел х4’и соединим его с узлом х4 ветвью, передача которой равна единице (рис. 4.34, б).

Рис. 4.34. Удлинение узла

Совместное проведение описанных преобразований позволяет, как правило, существенно упростить структуру сигнального графа. Конечной целью преобразо ваний обычно является получение наиболее простого графа, не допускающего даль нейших упрощений. Такой граф называется конечным. Конечный граф не содержит смешанных узлов, а включает в себя только стоки и истоки.

Пример4.20. Упростим сигнальный граф, изображенный на рис. 4.25. Для этого по следовательно исключим контур рис. 4.35, а , петлю рис. 4.35, б , промежуточный узел

385