Главным сечением графа называется такое сечение, в которое входит только одна ветвь выбранного дерева. Остальные ветви, входящие в главное сечение, яв ляются связями (рис. 1.35). Число главных сечений равно числу ветвей дерева: m = q

— 1.

Каждому дереву может быть поставлена в соответствие своя система глав­ ных сечений, причем главные сечения, соответствующие выбранному дереву, отли­ чаются друг от друга, по крайней мере, одной ветвью — ветвью дерева, входящей в каждое из сечений. Главным сечениям графа присваивают номера и приписывают ориентацию, совпадающие с номером соответствующей ветви дерева и ее ориента цией относительно линии сечения.

Если одна из частей, на которые граф делится линией сечения, представляет собой изолированный узел, то соответствующее сечение называется каноническим (сечения 3 и 6 на рис. 1.35, а).

Рис. 1.35. Главные сечения графа рис. 1.27, соответствующие деревьям, приведенным:

а — на рис. 1.32, а; б — на рис. 1.32, б; в — на рис. 1.32, в

Определение числа независимых узлов и контуров

Для определения числа независимых узлов и независимых контуров электри ческой цепи и, следовательно, числа независимых уравнений, составляемых на ос новании законов Кирхгофа, воспользуемся тем обстоятельством, что для линейной независимости системы уравнений достаточно, чтобы каждое из входящих в систе му уравнений отличалось от остальных уравнений хотя бы одной переменной. Дей ствительно, если любое из входящих в систему уравнений содержит хотя бы одну переменную, отсутствующую в других уравнениях, то данное уравнение не может быть получено из других входящих в систему уравнений и, следовательно, система уравнений является линейно независимой. Таким образом, для линейной независи мости уравнений, составленных на основании первого закона Кирхгофа, достаточ но, чтобы каждое из уравнений баланса токов отличалось от других уравнений хотя бы одним током или, что то же самое, чтобы каждый из узлов или каждое из сече ний, для которых составляется уравнение баланса токов, отличались бы от других узлов или сечений хотя бы одной ветвью. Этому условию удовлетворяет система главных сечений графа, так как каждое из главных сечений, соответствующих вы бранному дереву, отличается от других главных сечений, по крайней мере, одной

64

ветвью, а именно ветвью дерева, входящей в данное главное сечение. Каждому де реву графа можно поставить в соответствие m = q — 1 главных сечений и, следова тельно, m = q — 1 линейно независимое уравнение баланса токов. Более строгое рас смотрение этого вопроса показывает, что число линейно независимых уравнений баланса токов не изменится, если эти уравнения составлять не для главных сечений графа, а для узлов электрической цепи (напомним, что совокупность ветвей, инци дентных какому либо узлу графа, представляет собой каноническое сечение графа). Следовательно, любые q — 1 узлов электрической цепи образуют систему независи мых узлов. Обычно в качестве независимых узлов, для которых составляется систе ма независимых уравнений баланса токов, выбирают узлы с номерами от 1 до q — 1. Для узла с номером 0, который будем называть базисным, уравнений баланса токов не составляют.

Для линейной независимости уравнений, составляемых на основании второго закона Кирхгофа, достаточно, чтобы каждое из этих уравнений отличалось от ос тальных хотя бы одним напряжением. Следовательно, для того чтобы выделенная совокупность контуров была независимой, достаточно, чтобы каждый контур отли чался от остальных хотя бы одной ветвью. Этому требованию удовлетворяет систе ма главных контуров, соответствующих какому либо дереву графа, так как каждый из главных контуров отличается от других, по крайней мере, соответствующей ему главной ветвью. Так как число главных контуров, соответствующих любому дереву графа, n = p ― q + 1, то в каждой цепи можно выделить n независимых контуров и со ставить для них n линейно независимых уравнений баланса напряжений.

Таким образом, общее число линейно независимых уравнений, которые можно составить для произвольной цепи на основании законов Кирхгофа, оказывается равным числу ветвей рассматриваемой цепи:

ланса токов и n p—q 1 4 независимых уравнения баланса напряжений. Разумеется, вид системы уравнений будет зависеть от выбора системы независимых узлов сечений и системы независимых контуров.

Для дерева графа цепи, изображенного на рис. 1.32, в, и соответствующих ему глав ных сечений рис. 1.35, в и главных контуров см. рис. 1.33 система линейно независимых уравнений баланса токов и напряжений имеет следующий вид:

0;

0;

0;

0;

0;

0;

65

0.

где i7 j, u7 uj — ток и напряжение ветви с источником тока.

Три линейно независимых уравнения баланса токов, составленные для главных се чений графа рассматриваемой цепи, можно заменить уравнениями баланса токов, состав ленными для любых трех узлов цепи. После выбора в качестве независимых узлов с номе рами 1, 2 и 3 система независимых уравнений баланса токов примет вид

0; i i 0;

i i i 0.

В связи с тем, что использованное достаточное условие линейной независимо сти систем уравнений не является необходимым, для каждой электрической цепи можно найти и другие системы независимых контуров и сечений, не совпадающие ни с одной из систем главных контуров и главных сечений графа рассматриваемой цепи. В частности, ячейки плоского графа, число которых оказывается равным n = p ― q + 1, представляют собой систему независимых контуров (будем называть эти контуры основными), которые могут не совпадать ни с одной из систем главных контуров графа данной планарной цепи.

Пример1.8.Составим систему уравнений баланса напряжений для основных конту ров цепи, граф которой приведен на рис. 1.36 направление обхода всех контуров выбрано одинаковым ― по часовой стрелке :

0;

0;

0;

0.

Нетрудно убедиться, что первое, третье и четвертое из этих уравнений отличаются от остальных одним переменным u7, u1, и u5 , тогда как во второе уравнение входят только переменные, уже встречающиеся в других уравнениях. В то же время второе уравнение дан ной системы не может быть получено путем линейных операций над остальными уравне ниями. Следовательно, данная система уравнений является независимой.

Рис. 1.36. К примеру 1.8

Таким образом, основные контуры рассматриваемой цепи образуют систему неза висимых контуров, не совпадающих ни с одной из возможных для данной цепи систем глав ных контуров. В других случаях, например для графа, изображенного на рис. 1.27, система основных контуров может совпадать с одной из систем главных контуров.

Следует подчеркнуть, что понятие ячейки (окна) графа было введено ранее только для плоских графов и что только для них возможен выбор ячеек графа в ка честве независимых контуров.

66

Вопросы для самопроверки

1.Что такое узел? Каков порядок нумерации узлов?

2.Что такое ветвь? Как обозначаются токи ветвей на схеме цепи?

3.Почему выражение «найти токи схемы» является просторечием?

4.При каком топологическом описании – сокращенном или расширенном – схема цепи имеет меньше узлов?

5.Что называют контурами электрической цепи?

6.Как выбирается направление обхода контура?

7.Что такое дерево графа и главный контур?

8.Как определяется ориентация главных сечений графа?

9.Как изменяется число контуров при переходе от расширенного топологиче ского описания к сокращенному?

10.Какие соединения элементов цепей называют последовательным, парал лельным и смешанным?

11.Выполняются ли законы Кирхгофа в нелинейных цепях?

12.Что называют независимыми узлами и контурами цепи?

13.Как связаны между собой число главных контуров цепи и число ветвей де рева графа той же цепи?

14.Относится ли к независимым базисный узел цепи?

15.Какие уравнения цепи относят к компонентным, а какие к топологическим?

16.Чем отличается сумма токов от алгебраической суммы токов?

Задачи

1.22р. Составьте уравнения баланса токов для всех узлов цепи, схема которой приведена на рис. Т1.14. Убедитесь, что полученные уравнения являются зависимы ми.

1.23.Составьте все возможные уравнения баланса напряжений для цепи, при веденной в предыдущей задаче. Убедитесь, что полученные уравнения являются за висимыми.

1.24.Составьте все возможные уравнения баланса токов и напряжений для це пи, показанной на рис. Т1.15. Запишите компонентные уравнения и основную систе му уравнений электрического равновесия этой цепи.

67

1.25р. Составьте расширенный и сокращенны й графы цепи, схема которой приведена на рис. Т1.14.

Рис. Т1.14

1.26р. Для сокращенного графа цепи, рассмотренной в задаче 1.25р, построй те несколько различных деревьев. Выделит е системы главных контуров , соответст вующих каждому из деревьев.

Рис. Т1.15

1.27р. Найдите г лавные сечения графа, соотв етствующ ие дереву цепи, рас смо тренной в задаче 1.26р, в состав которого входят ветви 1, 2, 4, 8.

1.28р. Д ля цени, с хема кото рой приведена на р ис. Т1.16, определите общее чис ло неизвестн ых токов и напряже ний, а также число линейно независимых уравне нии баланса токов и напряжений при использовании расширенного топ ологическо го описания. Составьте основную систему уравнений электрического равновесия цен и.

1.29р. Решите задачу 1.28р при использовании сокращенного топологическ ого описания цепи.

1.30.Составьте основную систему уравнений э лектрического равновесия цепи, рассмотренной в задаче 1.22.

1.31.Составьте основную систему уравнений д ля цепей , схемы которых при ведены на рис. Т1.17, а, б.

68