- •Аннотация
- •Оглавление
- •Дорогие читатели!
- •Предисловие
- •Введение
- •Книга 1. Основные понятия теории цепей
- •Модуль 1.1. Основные определения
- •Электрическая цепь
- •Электрический ток
- •Напряжение
- •Электродвижущая сила
- •Мощность и энергия
- •Схема электрической цепи
- •Вопросы для самопроверки
- •Модуль 1.2. Идеализированные пассивные элементы
- •Резистивный элемент
- •Емкостный элемент
- •Индуктивный элемент
- •Дуальные элементы и цепи
- •Схемы замещения реальных элементов электрических цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Модуль 1.3. Идеализированные активные элементы
- •Идеальный источник напряжения
- •Идеальный источник тока
- •Схемы замещения реальных источников
- •Управляемые источники тока и напряжения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 1.4. Топология цепей
- •Схемы электрических цепей. Основные определения
- •Понятие о компонентных и топологических уравнениях. Законы Кирхгофа
- •Графы схем электрических цепей
- •Определение числа независимых узлов и контуров
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 1.5. Уравнения электрического равновесия цепей
- •Основные задачи теории цепей
- •Понятие об уравнениях электрического равновесия
- •Классификация электрических цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Ответы
- •Модуль 2.1. Анализ линейных цепей с источниками гармонических токов и напряжений
- •Понятие о гармонических функциях
- •Линейные операции над гармоническими функциями
- •Среднее, средневыпрямленное и действующее значения гармонических токов и напряжений
- •Дифференциальное уравнение цепи при гармоническом воздействии
- •Вопросы для самопроверки
- •Модуль 2.2. Метод комплексных амплитуд
- •Понятие о символических методах
- •Комплексные числа и основные операции над ними
- •Операции над комплексными изображениями гармонических функций
- •Комплексные сопротивление и проводимость пассивного участка цепи
- •Порядок анализа цепи методом комплексных амплитуд
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 2.3. Идеализированные пассивные элементы при гармоническом воздействии
- •Резистивный элемент
- •Емкостный элемент
- •Индуктивный элемент
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Делители напряжения и тока
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Мгновенная мощность пассивного двухполюсник
- •Активная, реактивная, полная и комплексная мощности
- •Баланс мощностей
- •Коэффициент мощности
- •Согласование источника энергии с нагрузкой
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 2.6. Преобразования электрических цепей
- •Понятие об эквивалентных преобразованиях
- •Участки цепей с последовательным соединением элементов
- •Участки цепей с параллельным соединением элементов
- •Участки цепей со смешанным соединением элементов
- •Эквивалентное преобразование треугольника сопротивлений в звезду и обратное преобразование
- •Комплексные схемы замещения источников энергии
- •Перенос источников
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 2.7. Цепи с взаимной индуктивностью
- •Понятие о взаимной индуктивности
- •Понятие об одноименных зажимах
- •Коэффициент связи между индуктивными катушками
- •Цепи с взаимной индуктивностью при гармоническом воздействии
- •Понятие о линейных трансформаторах
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 3. Частотные характеристики и резонансные явления
- •Понятие о комплексных частотных характеристиках
- •Комплексные частотные характеристики цепей с одним реактивным элементом
- •Понятие о резонансе в электрических цепях
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 3.2. Последовательный колебательный контур
- •Cхемы замещения и параметры элементов контура
- •Энергетические процессы в последовательном колебательном контуре
- •Входные характеристики
- •Передаточные характеристики
- •Избирательные свойства последовательного колебательного контура
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 3.3. Параллельный колебательный контур
- •Схемы замещения
- •Параллельный колебательный контур основного вида
- •Параллельный колебательный контур с разделенной индуктивностью
- •Параллельный колебательный контур с разделенной емкостью
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 3.4. Связанные колебательные контуры
- •Общие сведения
- •Схемы замещения
- •Настройка связанных контуров
- •Частотные характеристики
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Общие сведения
- •Методы, основанные на непосредственном применении законов Кирхгофа
- •Метод контурных токов
- •Метод узловых напряжений
- •Формирование уравнений электрического равновесия цепей с зависимыми источниками
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 4.2. Основные теоремы теории цепей
- •Принцип наложения
- •Теорема взаимности
- •Теорема компенсации
- •Автономные и неавтономные двухполюсники
- •Теорема об эквивалентном источнике
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 4.3. Метод сигнальных графов
- •Общие сведения
- •Преобразования сигнальных графов
- •Применение сигнальных графов к анализу цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 5. Нелинейные резистивные цепи
- •Модуль 5.1. Постановка задачи анализа нелинейных резистивных цепей
- •Вводные замечания
- •Нелинейные резистивные элементы
- •Уравнения электрического равновесия нелинейных резистивных цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Модуль 5.2. Графические методы анализа нелинейных резистивных цепей
- •Простейшие преобразования нелинейных резистивных цепей
- •Определение рабочих точек нелинейных резистивных элементов
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Задача аппроксимации
- •Выбор аппроксимирующей функции
- •Определение коэффициентов аппроксимирующей функции
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Нелинейное сопротивление при гармоническом воздействии
- •Понятие о режимах малого и большого сигнала
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 6. Методы анализа переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами
- •Модуль 6.1. Задача анализа переходных процессов
- •Возникновение переходных процессов. Понятие о коммутации
- •Законы коммутации
- •Общий подход к анализу переходных процессов
- •Определение порядка сложности цепи
- •Вопросы для самопроверки
- •Модуль 6.2. Классический метод анализа переходных процессов
- •Свободные и вынужденные составляющие токов и напряжений
- •Порядок анализа переходных процессов классическим методом
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 6.3. Операторный метод анализа переходных процессов
- •Преобразование Лапласа и его применение к решению дифференциальных уравнений
- •Порядок анализа переходных процессов операторным методом
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 6.4. Операторные характеристики линейных цепей
- •Реакция цепи на экспоненциальное воздействие
- •Понятие об операторных характеристиках
- •Методы определения операторных характеристик
- •Дифференцирующие и интегрирующие цепи
- •Вопросы для самопроверки
- •Единичные функции и их свойства
- •Переходная и импульсная характеристики линейных цепей
- •Методы определения временных характеристик
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие
- •Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее переходной характеристике
- •Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее импульсной характеристике
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 7. Основы теории четырехполюсников и многополюсников
- •Модуль 7.1. Многополюсники и цепи с многополюсными элементами
- •Задача анализа цепей с многополюсными элементами
- •Классификация и схемы включения многополюсников
- •Основные уравнения и первичные параметры линейных неавтономных многополюсников
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Классификация проходных четырехполюсников
- •Основные уравнения и первичные параметры неавтономных проходных четырехполюсников
- •Методы определения первичных параметров неавтономных проходных четырехполюсников
- •Первичные параметры составных четырехполюсников
- •Схемы замещения неавтономных проходных четырехполюсников
- •Автономные проходные четырехполюсники
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Характеристические постоянные передачи неавтономного проходного четырехполюсника
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Модуль 7.4. Невзаимные проходные четырехполюсники
- •Идеальные усилители напряжения и тока
- •Однонаправленные цепи и цепи с обратной связью
- •Идеальные операционные усилители
- •Преобразователи сопротивления
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Модуль 7.5. Электрические фильтры
- •Классификация электрических фильтров
- •Реактивные фильтры
- •Активные фильтры
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 8. Цепи с распределенными параметрами
- •Модуль 8.1. Задача анализа цепей с распределенными параметрами
- •Общие сведения
- •Общее решение дифференциальных уравнений длинной линии
- •Вопросы для самопроверки
- •Волновые процессы в однородной длинной линии
- •Режим стоячих волн
- •Режим смешанных волн
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Проходной четырехполюсник с распределенными параметрами
- •Входное сопротивление отрезка однородной длинной линии
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Распределение напряжения и тока в однородной линии без потерь при произвольном внешнем воздействии
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Модуль 8.5. Цепи с распределенными параметрами специальных типов
- •Резистивные линии
- •Неоднородные линии
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Ответы
- •Книга 9. Синтез электрических цепей
- •Модуль 9.1. Задача синтеза линейных электрических цепей
- •Понятие физической реализуемости
- •Основные этапы синтеза цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Понятие о положительных вещественных функциях
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 9.3. Методы реализации реактивных двухполюсников
- •Методы выделения простейших составляющих (метод Фостера)
- •Метод разложения в цепную дробь (метод Кауэра)
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 9.4. Основы синтеза линейных пассивных четырехполюсников
- •Задача синтеза четырехполюсников
- •Методы реализации пассивных четырехполюсников
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 10. Методы автоматизированного анализа цепей
- •Модуль 10.1. Задача автоматизированного анализа цепей
- •Понятие о ручных и машинных методах анализа цепей
- •Общие представления о программах машинного анализа цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Топологические матрицы и топологические уравнения
- •Свойства топологических матриц
- •Компонентные матрицы и компонентные уравнения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Методы узловых напряжений и контурных токов
- •Метод переменных состояния
- •Формирование уравнений состояния в матричной форме
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 10.4. Особенности современных программ автоматизированного анализа цепей
- •Выбор методов формирования уравнений электрического равновесия. Понятие о поколениях программ автоматизированного анализа цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Ответы
- •Заключение
- •Приложения
- •Приложение 1. Таблица оригиналов и изображений по Лапласу
- •Приложение 2. Основные уравнения проходных четырёхполюсников
- •Приложение 3. Соотношения между первичными параметрами проходных четырехполюсников
- •Приложение 5. Соотношения между первичными параметрами взаимных и симметричных четырехполюсников
- •Приложение 6. Приставки для образования кратных и дольных единиц
- •Приложение 7. Инструкция для работы с Самоучителем по курсу «Основы теории цепей»
- •Список литературы
Модуль 2.2. Метод комплексных амплитуд
Цель модуля: ознакомление с основными положениями символического мето да комплексных амплитуд. Изучение основных операций над комплексными изо бражениями гармонических функций времени. Освоение основ метода комплексных амплитуд.
Понятие о символических методах
Установившиеся значения токов и напряжений линейной цепи, находящейся под гармоническим воздействием, могут быть найдены путем непосредственного решения дифференциального уравнения цепи (2.14) при t ∞, однако даже для от носительно простых цепей эта задача оказывается весьма трудоемкой. Анализ таких цепей существенно упрощается при использовании метода комплексных ампли туд. Метод комплексных амплитуд, подобно известному логарифмическому методу, основан на идее функционального преобразования, при котором операции над ис ходными функциями (оригиналами) заменяются более простыми операциями над некоторыми новыми функциями, так называемыми изображениями или символа ми исходных функций. Методы такого типа будем называть символическими. Не зависимо от типа используемых функциональных преобразований решение любой задачи символическими методами содержит, как правило, следующие основные этапы:
1)прямое преобразование, в результате которого осуществляется переход от исходных величин (оригиналов) к их символам (изображениям);
2)определение изображений искомых величин путем выполнения по специ ально установленным правилам операций над изображениями;
3)обратное преобразование, с помощью которого переходят от изображений искомых величин к оригиналам.
В частности, при использовании логарифмического метода исходные величины на первом этапе заменяют их логарифмами. На втором этапе, выполняя необходи мые действия над логарифмами исходных величин, находят логарифмы искомых величин; операции над логарифмами оказываются проще, чем соответствующие им операции над исходными величинами (например, умножению исходных величин со ответствует сложение их логарифмов, возведению исходной величины в степень m
— умножение логарифма этой величины на m и т. д.). На третьем этапе осуществля ют обратный переход от логарифмов непосредственно к искомым величинам.
Очевидно, что эффективность каждого из символических методов определяет ся трудоемкостью прямого и обратного функциональных преобразований и тем, на сколько операции над изображениями проще соответствующих им операций над оригиналами.
Комплексные числа и основные операции над ними
Символический метод комплексных амплитуд (комплексный метод, иногда просто — символический метод) основан на представлении гармонических функ
96
ций времени с помощью комплексных чисел или, точнее, на преобразовании исход ных функций из временной области (области вещественного переменного t) в час тотную (область мнимого аргумента jω).
Напомним, что комплексным числом А называется выражение вида
|
|
где |
А', |
А" |
|
, |
|
|
2.15 |
|||||
|
|
|
|
|
— действительные числа, называемые, соответственно, вещественной |
|||||||||
и мнимой составляющими комплексного числа; |
√ |
1— мнимая единица. Вещест |
||||||||||||
венную и мнимую составляющие комплексного числа иногда обозначают так: |
A |
’= |
||||||||||||
Re[ |
A |
], |
A |
’’= Im[ |
A |
]. Выражение (2.15)—представляет собою |
алгебраическую форму |
за |
||||||
|
|
|
|
|
писи комплексного числа A.
Комплексное число А изображается на комплексной плоскости в виде точки А, абсцисса которой равна А', а ордината А" (рис. 2.3, а). Ось абсцисс, на которой от кладывается вещественная часть комплексного числа, называется действительной (Re), а ось ординат, на которой откладывается мнимая часть, — мнимой(Im) осями.
Im |
|
|
Im |
|
|
Im |
|
|
|
A” |
|
A |
A” |
|
A |
A” |
|
A |
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
0 |
A' |
Re |
0 |
A' |
Re |
0 |
-α |
A' |
Re |
a) |
|
|
|
б) |
|
-A” |
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
в) |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.3. К определению понятия комплексного числа |
|
|
Каждой точке А комплексной плоскости и, следовательно, каждому комплекс ному числу А можно поставить в соответствие вектор А, проведенный из начала ко ординат в точку А (рис. 2.3, б). Длину вектора, изображающего комплексное число, называют модулем этого числа:
| | |
|
. |
2.16 |
Угол α, образуемый вектором А с положительным направлением вещественной оси, называют аргументом комплексного числа:
tg |
|
. |
2.17 |
|
Положительное направление отсчета α — против часовой стрелки. Аргумент комплексного числа может иметь бесконечное множество значений, отличающихся
97
друг от друга на 2πn, где n — целое число. Главное значение аргумента заключено в промежутке ― π ≤ α ≤ π.
Как видно из рис. 2.3, б, вещественная А' и мнимая А" части комплексного числа А представляют собою проекции вектора А на действительную и мнимую оси:
Re |
| |cos ; |
Im |
| |sin . |
2.18 |
Подставляя соотношения (2.18) в выражение (2.15), можно перейти от алгеб раической формы записи комплексного числа к тригонометрической:
| |cos |
| |sin , |
2.19 |
Используя формулу Эйлера
e |
cos |
sin , |
2.20 |
где e основание натурального логарифма, получаем показательную форму записи комплексного числа:
| |e . |
2.21 |
Комплексные числа A = A’+ jA’’ = |A|ejαA и B = B’+ jB’’ = |B|ejαB считаются равными, если попарно равны их действительные и мнимые части: А’ = B’, A’’ = B’’ [или, что то же самое, равны их модули |A| = |B|, а аргументы отличаются на 2nπ (n — целое чис ло): αA―αB=±2nπ].
Два комплексных числа A = A’+ jA’’ и = A’― jA’’ называются сопряженными, если их действительные части равны, а мнимые отличаются только знаком. Точки на комплексной плоскости, изображающие сопряженные комплексные числа, сим метричны относительно действительной оси (рис. 2.3, в). Модули сопряженных чи сел равны, а главные значения их аргументов отличаются только знаком: A =|A|ejα,
= |A|e―jα. Понятий «больше» и «меньше» для комплексных чисел не существует.
Арифметические операции над комплексными числами выполняются так же, как над обыкновенными двучленами, имея в виду, что j2 = ― 1. Операции сложения и вычитания удобнее производить, используя алгебраическую форму записи:
,
.
Очевидно, что сумма двух сопряженных комплексных чисел A = A’+ jA’’ и = A’― jA’’ представляет собой действительное число:
2 . |
2.22 |
Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел удобнее про водить в показательной форме:
98
· |
|
| |e |
· | |e |
| || | e |
; |
||
| |
|e |
| |
| |
e |
; |
2.23 |
|
|
| |
|e |
| |
| |
|||
|
|
| |e |
|
| | |
e . |
|
Из выражений (2.23) следует, что при умножении вектора А = |A|ejα на действи тельное число m получается новый вектор, модуль которого в m раз больше модуля вектора А:
| |e .
При умножении вектора А = |A|ejαA на вектор еjψB, модуль которого равен еди нице, образуется новый вектор, повернутый относительно вектора А на угол ψB про тив часовой стрелки:
e |
| |e |
. |
2.24 |
Из выражения (2.24) и формулы Эйлера следует также, что умножение вектора А = |A|ejαA на вектор
sin |
2 |
|
2.25 |
|
равносильно повороту вектора А на угол π/2 против часовой стрелки:
а умножение вектора |
|
А |
на вектор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| | |
|
|
, |
|
|
|
2.26 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
приводит к повороту вектора |
|
на угол |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
А |
π/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 по часовой стрелке: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| | |
|
|
|
|
j. |
|
|
|
|
|||||
Наконец, умножение вектора |
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
( π) |
+ |
( π) |
равносильно измене |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
на ―1 = cos ± |
sin |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
нию аргумента |
A |
на ± |
π |
: ―1 |
= e± |
|
=| |
A |
|e |
|
|
± |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A A |
|
jπ |
|
|
|
j(αA |
π) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Умножение и деление комплексных чисел можно производить также и в алгеб |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
раической форме: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| |
|
|
| | |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
99
Рис. 2.4. Графическое определение суммы трех векторов (в, б), а также суммы (в) и разности (г) двух векторов
причем при выполнении деления учитывается, что произведение двух ком
плексно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чисел и |
|
есть |
действительное число |
B = (B’ + jB’’) |
|
||||||||||||||||||||||||||||
(B’― jB’’)сопряженных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= (B’) |
+ (B’’) |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
= | |
|2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Суммирование комплексных чисел во многих случаях бывает удобно произво |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дить графическиA, используя, |
правила действий над векторами. Вектор S, равный |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сумме векторов |
|
1 |
A , …, А , |
может быть построен следующим образом: из начала |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
N |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
координат строят вектор A1 из его конца, как из начала координат, строят вектор |
А |
2, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
из конца вектора |
А |
2 |
строят вектор |
A |
3, и т. |
д. Вектор, замыкающий ломаную линию, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
образованную из слагаемых векторов, представляет их сумму |
S |
. Так, вектор |
D, |
рав |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ный сумме векторов |
А, В |
и |
С |
(рис. 2.4, а, б), равен замыкающей |
|
OC = D |
ломаной линии |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ОABC |
, построенной из векторов |
A = OA |
, |
В = АВ |
, |
С = ВС |
|
|
|
|
|
|
В |
равный сумме двух |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Вектор , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
векторов |
А |
и |
А |
2, |
представляет собой диагональ параллелограмма, построенного на |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A |
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сторонах |
1 |
|
и |
А |
2 |
(рис. 2.4, в). Разность |
D |
двух векторов |
A |
1 |
и |
А |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D = A |
― А |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
1 |
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
можетКомплексныебыть найденаизображениякак сумма векторовгармонических1 и ( 2)функций(рис. 2.4, гвремени). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Каждой гармонической функции времени |
a(t) |
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
можно поста |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
вить в соответствие комплексное число |
а, |
называемое |
мгновенным |
или |
текущим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
комплексом |
гармонической функции: |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
2.27 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
модуль которого равен амплитуде гармонической функции Аm, а аргумент — ее фазе = ωt + ψ. Как следует из выражения (2.27), вещественная часть мгновенного ком плекса а равна исходной гармонической функции:
|
|
Re |
|
|
cos |
|
|
. |
|
|
|
2.28 |
|||
Пример2.1. Мгновенные комплексы гармонического тока i1 |
|
50·10 3 · |
|||||||||||||
cos 106t π/3 A и гармонического напряжения u2 |
√2·100 cos 314t |
π/6 В: |
|||||||||||||
|
|
50·10 |
|
|
А; |
|
|
√2·100 |
|
|
В. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
100
Вещественные части этих комплексов есть исходные гармонические функции:
Re |
Re 50·10 cos 10 |
|
|
|
|
50·10 sin 10 |
||||||||
|
|
|||||||||||||
|
Re √2 |
50·10 cos 10 |
|
|
|
|
; |
|||||||
|
|
|
||||||||||||
Re |
·100 cos 314 |
|
|
√2 |
·100 sin 314 |
|||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
√2·100cos 314 |
|
|
. |
|||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
Геометрически мгновенный комплекс а может быть представлен в виде векто ра a=|a|ejα(t), длина которого |а| в определенном масштабе равна амплитуде Аm, соот ветствующей гармонической функции, а угол с положительным направлением ве щественной полуоси α(t) изменяется во времени по такому же закону, как и фаза гармонической функции α(t) = = ωt + ψ. Для того чтобы обеспечить этот закон из менения α(t), вектор а должен вращаться в комплексной плоскости против часовой стрелки с угловой скоростью ω (рис. 2.5, а). В момент времени t = 0 вектор а должен образовывать с положительным направлением вещественной оси угол ψ, равный начальной фазе рассматриваемой гармонической функции. Как видно из рис. 2.5, а, проекция вектора а на вещественную ось в выбранном масштабе равна мгновенно му значению исходной гармонической функции времени а(t) = Re [а].
Рис 2.5. К определению понятия мгновенного комплекса a гармонической функции
Используя понятие |
комплексных |
сопряженных чисел и выражение (2.22), |
||||||||||||
мгновенное значение гармонической функции |
а(t) |
можно определить |
также, как |
|||||||||||
полусумму мгновенного |
комплекса |
|
= |
|
e |
|
|
и сопряженного ему комплексного |
||||||
числа |
e― |
|
|
a |
|
Am |
|
j(ωt+ψ) |
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
. |
2.29 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторы и имеют одинаковую длину, противоположные по знаку началь ные фазы и вращаются в комплексной плоскости в противоположных направлениях с одинаковой угловой скоростью ω (рис. 2.5, б). Проекции этих векторов на действи тельную ось равны между собой
101
Re |
|
Re |
|
cos |
, |
2.30 |
а проекции на мнимую ось имеют различные знаки:
Im |
|
sin |
,Im |
sin |
. |
2.31 |
Значение мгновенного комплекса а в момент времени t = 0 называется ком плексной амплитудой гармонической функции времени a(t) = Am cos(ωt + ψ):
. 2.32
Из выражения (2.32) следует, что комплексная амплитуда гармонической функции времени a(t) = Am cos(ωt + ψ) представляет собой комплексное число , модуль которого равен амплитуде Аm рассматриваемой функции, а аргумент — ее начальной фазе ψ. Геометрически комплексная амплитуда может быть представлена в виде неподвижного вектора, расположенного под углом ψ к вещественной оси (рис. 2.6, а), длина которого в определенном масштабе равна Аm.
Рис. 2.6. К определению понятий комплекснойjωt |
амплитуды |
и оператора |
||||
|
|
|
|
вращения е |
|
|
Используя понятие комплексной амплитуды, выражение (2.27) для мгновенно |
||||||
го комплекса может быть преобразовано к следующему виду: |
|
|||||
|
|
|
|
|
. |
2.33 |
Подставляя (2.33) в выражение (2.29), выразим исходную гармоническую функцию времени a(t) через ее комплексную амплитуду:
Re |
2 |
, |
2.34 |
где = Аm e―jψ комплексное число, сопряженное с комплексной амплитудой.
Сомножитель ejωt, входящий в выражения (2.33) и (2.34), представляет собой вектор, называемый оператором вращения. Он имеет единичную длину и вращает
102
ся в комплексной плоскости против часовой стрелки с угловой скоростью ω (рис. 2.6, б). Всякий неподвижный вектор, будучи умноженным на оператор вращения ejωt, на чинает вращаться в комплексной плоскости против часовой стрелки с угловой ско ростью ω.
В установившемся режиме токи и напряжения всех ветвей электрической цепи, находящейся под гармоническим воздействием, являются гармоническими функ циями времени одной частоты. Каждому из токов и напряжений ветвей электриче ской цепи a(t) может быть поставлен в соответствие текущий комплекс а. Текущие комплексы, соответствующие токам и напряжениям различных ветвей, изобража ются векторами, вращающимися с одинаковой угловой скоростью (неподвижными один относительно другого). Каждый из текущих комплексов токов и напряжений ветвей электрической цепи можно представить в виде произведения соответствую щей комплексной амплитуды на оператор вращения ejωt. Очевидно, что оператор вращения является общим для мгновенных комплексов токов и напряжений всех ветвей и не несет информации о токах или напряжениях конкретных ветвей.
Токи и напряжения отдельных ветвей отличаются только амплитудами и на чальными фазами, поэтому полная информация о них при известной частоте ω со держится в соответствующих комплексных амплитудах. Зная амплитуды и началь ные фазы токов или напряжений любой ветви, всегда можно однозначно найти их комплексные амплитуды и обратно по известной комплексной амплитуде можно однозначно установить амплитуду и начальную фазу исходного гармонического ко лебания.
Пример2.2.Комплексная амплитуда гармонического тока i1 |
5 cos 106t |
π/6 А |
||||
равна |
5 еjπ/6 А, а |
комплексная |
амплитуда гармонического |
напряжения |
|
|
u2 |
30 cos 1O6t |
B равна |
30еj0 ЗО В. |
|
|
|
При ω 5 ·104 рад/с комплексным амплитудам тока |
√2·30·103e―jπ/4 |
А |
и ЭДС √2·10 В соответствуют мгновенные значения тока и ЭДС: i3 √2·30 cos 5·104t π/4 мА, e4 √2·10 cos 5*104t B.
Таким образом, каждой гармонической функции времени a(t) можно единственным образом поставить в соответствие комплексное число (ком плексную амплитуду), которое можно рассматривать как изображение этой гармонической функции на комплексной плоскости.
Связь между оригиналом и изображением формально записывается в виде вы ражения
, |
2.35 |
в котором использован знак соответствия |
, означающий взаимное соответствие |
между функциями, определенными в различных областях.
103