Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4609 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Институт сферы обслуживания и предпринимательства ДГТУ
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
Start_main1a.pdf
Скачиваний:
385
Добавлен:
09.02.2015
Размер:
15.21 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

Модуль 9.3. Методы реализации реактивных двухполюсников

Цель модуля: изучение основных методов реализации реактивных двухполюс ников (методы Фостера и Кауэра).

Методы выделения простейших составляющих (метод Фостера)

Метод Фостера основан на представлении заданной физически реализуемой

функции

в виде суммы простейших функций

...

,

 

...

каждую из которых можно рассматривать как операторную входную характеристи ку некоторого элементарного одно или двухэлементного двухполюсника. Если функция представляет собой операторное входное сопротивление, то искомая цепь может быть реализована в виде последовательного соединения элементарных двухполюсников, соответствующих каждой из простейших функций — . Если H представляет собой операторную входную проводимость, то искомая цепь реа лизуется в виде параллельного соединения элементарных двухполюсников, соот ветствующих каждой из простейших функций .

Метод Фостера применим для реализации положительных вещественных функций, нули и полюсы которых расположены только на мнимой оси и отрица тельной вещественной полуоси. Этому ограничению удовлетворяют операторные входные функции реактивных, безындуктивных и безъемкостных двухполюсников, а также операторные входные функции некоторых RLC цепей. Рассмотрим примене ние метода Фостера к синтезу реактивных двухполюсников.

Пусть реактансная функция ⁄ должна быть реализована в ка честве операторного входного сопротивления линейной пассивной цепи. Разложим

функцию

на простые дроби

2 ⁄

.

 

9.3

Здесь —

⁄

функции

число пар комплексно сопряженных

полюсов

;

хквадрат мнимой части любого полюса,входящего в

тую пару комплексно – сопряженных полюсов функции p ; ,

, — постоян

ные действительные положительные коэффициенты, причем

является целой

частью функции

:

lim

⁄ ;

 

 

— вычет функции

Res

d

⁄d

 

в полюсе

0;

 

 

 

 

Res

d

⁄d

 

818

Рис. 9.7. Первая каноническая схема Фостера

 

— вычеты функции

 

в полюсах

 

.

 

 

 

Очевидно, что первый член разложения (9.3) можно рассматривать как опера

торное входное сопротивление индуктивности

 

9.4

 

 

 

 

 

 

,

 

второй член — как операторное входное сопротивление емкости

9.5

а каждое из слагаемых вида

 

2

1⁄

,

 

 

/

 

— как операторное входное со

противление параллельной

LC

цепи, составленной из элементов

 

где

– резонансная частота

 

1⁄ 2

;

2

LC⁄– ,

9.6

 

той параллельной

цепи.

 

Таким образом, разложению (9.3) можно поставить в соответствие двухполюс ник, представляющий собой последовательное соединение индуктивности , ем

кости и параллельных

LC

цепей. Схема двухполюсника, реализующего разложе

ние (9.3), называется

первой канонической схемой Фостера

(рис. 9.7).

, можно

Анализируя различные виды реактансных функций

/

прийти к заключению, что первый член разложения (9.3) не равен нулю, если функ ция имеет полюс на бесконечности (у таких функций степень полинома, стоя щего в числителе, на единицу выше степени полинома, стоящего в знаменателе), а

второй член разложения не равен нулю, если

имеет полюс при

0 (у таких

функций множитель в знаменателе может быть вынесен за скобки).

 

Следовательно, реактивный двухполюсник, реализующий заданную

функцию

по первой канонической схеме Фостера, содержит индуктив­

ность

∞ только в том случае, когда степень полинома

превышает на еди­

ницу степень полинома

, и емкость

только в том случае, когда в много­

члене

, множитель

может быть вынесен за скобки.

 

 

Пример9.5.Используя метод Фостера, построим двухполюсник, операторное вход

ное сопротивление которого

4 /

9 Ом.

 

В примерах 9.2, 9.3 было установлено, что данная функция является реактансной и, следовательно, может быть реализована с помощью метода Фостера. Непосредственно по виду функции устанавливаем, что искомый двухполюсник представляет собой последова

819

тельное соединение емкости

в знаменателе функции

выносится за скобки и парал

лельной LC цепи функция

 

имеет одну пару комплексно сопряженных полюсов . Разла

гая

на простые дроби

5⁄18 ;

 

 

2

⁄

,

9.6 определяем па

 

 

где

4/9 ,

9 с учетом соотношений 9.5 ,

раметры элементов искомой цепи

рис. 9.8 :

2,25 Ф;

1,8 Ф;

5⁄81 Гн.

торого

Пример9.6.Методом Фостера построим двухполюсник, входное сопротивление ко

 

9 ⁄

4

Ом.

 

 

 

Заданная функция является реактансной, поскольку реактансной является обрат ная ей функция, рассмотренная в предыдущем примере. Непосредственно по виду функции

устанавливаем, что искомый двухполюсник должен представлять собой последова

 

тельное соединение индуктивности

и параллельной LC цепи рис. 9.9

. Разлагая функцию

на простейшие составляющие

5 /

4 и используя соотношения 9.4

и

9.6 , определяем параметры входящих в двухполюсник элементов:

 

1 Гн;

0,2 Ф;

 

1,25 Гн.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис 9.8. К примеру 9.5

Рис. 9.9. К примеру 9.6

 

Рис. 9.10. К примеру 9.7

торого

Пример9.7.Методом Фостера построим двухполюсник, входное сопротивление ко

2

5

2 ⁄

Ом.

 

 

 

 

 

 

 

Очевидно, что искомый двухполюсник может быть реализован путем последова

тельного соединения индуктивности

, емкости С0 и параллельной LC цепи рис. 9.10 .

Разлагая функцию

 

на простые дроби

2

2⁄

/

1

и учитывая соотно

шения 9.4 , 9.5 ,

9.6 , определяем параметры элементов:

 

2 Гн;

0,5 Ф;

1 Ф;

1 Гн.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогичным образом синтезируют двухполюсник и в том случае, когда задан ная реактансная функция должна быть реализована в качестве операторной вход ной проводимости линейной пассивной цепи. Разложению функции на простые дроби

где

—

число пар

2

⁄

,

 

9.7

комплексно сопряженных

полюсов

функции

;

 

х

–

квадрат мнимой части любого полюса,Zвходящего в

тую пару ком

плексно

сопряженных полюсов функции

(p);

lim

 

⁄ ,

Res

 

,

Res

постоянные действительные положительные ко

820

Рис. 9.11. Вторая каноническая схема Фостера

эффициенты, можно поставить в соответствие двухполюсник из параллельно со

единенных емкости

 

,

индуктивности

и

 

1⁄

и

N

последовательных

LC

 

цепей (рис. 9.11) с параметрами

1⁄ 2

 

2

⁄

. Схема двухполюсника,

соответствующего выражению (9.7),

 

называется

второй канонической схемой

Фостера

. Очевидно,

что

искомый двухполюсник содержит емкость

, если функция

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

имеет полюс на бесконечности

степень числителя функции

на единицу

выше степени знаменателя , и индуктивность[

 

, если функция

имеет полюс при

0 [в знаменателе функции]

 

множитель

выносится за скобки].

 

 

Пример9.8.Используя метод выделения простейших составляющих, построим

 

 

двухполюсник, проводимость которого

 

 

 

 

 

 

⁄ 2

5

 

2

См.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 9.12. К примеру 9.8

 

 

 

Непосредственно по виду функции

устанавливаем, что искомый двухполюсник

может быть реализован путем параллельного соединения двух последовательных LC цепей

рис. 9.12 . Разлагая функцию

на простые дроби

⁄ 3

2

1⁄6 Ф;

⁄ 6

0,5 ,определяем параметры элементов двухполюсника:

3 Гн;

6 Гн;

1⁄3 Ф.

 

 

 

 

 

Метод разложения в цепную дробь (метод Кауэра)

В соответствии с методом Кауэра реактивный двухполюсник, обладающий за данной операторной входной характеристикой , реализуется в виде лестничной цепи, построенной по первой или второй канонической схеме Кауэра.

Первая каноническая схема Кауэра (рис. 9.13, а) содержит индуктивности в продольных и емкости в поперечных ветвях, вторая каноническая схема Кауэра (рис. 9.13, б) —емкости в продольных ветвях, а индуктивности — в поперечных. Первая и последняя ячейки канонических схем Кауэра могут быть неполными — в

них могут отсутствовать элементы, которым на рис. 9.13 присвоены номера

1

и .

 

Первая схема Кауэра содержит индуктивность только в том случае, когда опера торное входное сопротивление цепи имеет полюс на бесконечности, и емкость CN , когда операторное входное сопротивление имеет полюс на нулевой частоте. Вторая

821

схема содержит емкость , если операторное входное сопротивление цепи имеет полюс при 0, и индуктивость LN, только в случае, если операторное входное со противление имеет полюс на бесконечности.

Рис. 9.13. Первая (а) и вторая (б) канонические схемы Кауэра

Как было показано в модуле 2.6, комплексное (в общем случае, операторное) входное сопротивление или комплексная входная проводимость лестничной цепи могут быть представлены в виде цепных дробей (2.140), (2.141), элементы которых равны комплексным сопротивлениям двухполюсников, образующих продольные ветви цепи, и комплексным проводимостям двухполюсников, образующих попереч ные ветви. Если в первой канонической схеме Кауэра есть индуктивность то опе раторное входное сопротивление может быть представлено в виде цепной дроби с

элементами типа

:

 

1

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

;

...

 

;

1⁄

 

;…;

 

.

Если в первой канонической схеме Кауэра нет индуктивности (операторная входная проводимость имеет полюс на бесконечности) в виде цепной дроби с эле

ментами типа

может быть выражена операторная входная проводимость цепи

 

;

 

;

;…;

;

.

 

Для цепей, построенных по второй канонической схеме Кауэра, выражения для

операторного входного сопротивления

 

 

 

 

 

 

 

1

;

1

;

 

1

;…;

1

;

1

или операторной входной проводимости

822

1

;

 

1

;

1

;…;

1

;

1

. Следовательно,

представляются в виде цепных дробей с элементами типа 1⁄

если заданная операторная входная функция

может быть записана в виде цеп

ной дроби

;

;

 

;…;

;

 

9.8

с элементами типа , или 1⁄

 

, где

, — постоянные действительные поло

жительные коэффициенты, то такой функции может быть поставлен в соответствие реактивный двухполюсник, построенный по первой или второй канонической схеме Кауэра.

 

Реализация реактивного двухполюсника по методу Кауэра сводится к раз­

ложению заданной реактансной функции

в цепную дробь с элементами

типа

или ⁄

.

 

 

разлагают в цепную дробь вида (9.8) путем по

 

Функцию

/

следовательного выделения элементов дроби

в результате деления полинома

 

на полином

, затем полинома

 

 

на остаток от первого деления 0

,

затем остатка от первого деления 0

на остаток от второго деления 0

, и т. д.

до тех пор, пока остаток от последнего деления не будет равен нулю:

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

⁄0

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

1

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

0

 

⁄0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

⁄0

 

 

Для реализации первой канонической схемы Кауэра выбирают ту из входных функций (операторное сопротивление или операторную проводимость), которая имеет полюс на бесконечности, причем члены полиномов и располагают в порядке убывания степеней .

Для реализации второй канонической схемы Кауэра используют ту из входных

функций, которая имеет полюсрпри

0, а полиномы

и

записывают в

порядке возрастания степеней . При выполнении деления необходимо следить,

чтобы коэффициенты и были положительными. Если в процессе деления ка кой либо из коэффициентов , окажется меньше нуля, то необходимо перейти от расположения полиномов по убывающим степеням к расположению по возрас тающим степеням . Наоборот, если какой либо из коэффициентов , окажется меньше нуля, то необходимо перейти от расположения полиномов по возрастающим степеням к расположению по убывающим степеням.

Как и метод Фостера, рассматриваемый метод может быть использован при синтезе RC , RL и RLC цепей, нули и полюсы операторных входных характеристик

823

которых находятся на мнимой оси и отрицательной вещественной полуоси. Необхо димо иметь в виду, что область применимости метода Кауэра несколько у́же, чем метода Фостера, так как ряд операторных входных функций, реализуемых с помо щью метода Фостера, не может быть представлен как операторное входное сопро тивление или операторная входная проводимость какой либо лестничной цепи.

Пример9.9.Используя метод Кауэра, построим реактивные двухполюсники, опера

торное входное сопротивление которых Z p

Ом.

0, поэтому она может быть

Функция

имеет полюсы на бесконечности и при

использована как при реализации первой, так и второй канонической схем Кауэра. Распола

гая полиномы числителя и знаменателя функции

в порядке убывания степеней и по

следовательно выделяя члены вида

5

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

⁄3

3

⁄3

2 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2

 

 

⁄3

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

⁄3

 

 

 

2

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

⁄3

⁄6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

разложим функцию в цепную дробь

 

 

2

;

 

;9 ;

 

 

Ом и определим пара

 

 

 

 

метры элементов первой канонической схемы Кауэра

рис. 9.14, a :

 

2 Гн;

1⁄3 Ф;

9 Гн;

1⁄6 Ф.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 9.14. К примеру 9.9

в порядке возраста

Располагая полиномы числителя и знаменателя функции

ния степеней и последовательно выделяя члены вида 1⁄

 

 

2

2

5

2

2

2⁄

 

 

 

3

2

 

⁄3

3

1⁄ 32

0

 

 

2

 

⁄3

0

 

 

 

 

39⁄

⁄3 2 0 ⁄3 1⁄ 6

824

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности