- •Аннотация
- •Оглавление
- •Дорогие читатели!
- •Предисловие
- •Введение
- •Книга 1. Основные понятия теории цепей
- •Модуль 1.1. Основные определения
- •Электрическая цепь
- •Электрический ток
- •Напряжение
- •Электродвижущая сила
- •Мощность и энергия
- •Схема электрической цепи
- •Вопросы для самопроверки
- •Модуль 1.2. Идеализированные пассивные элементы
- •Резистивный элемент
- •Емкостный элемент
- •Индуктивный элемент
- •Дуальные элементы и цепи
- •Схемы замещения реальных элементов электрических цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Модуль 1.3. Идеализированные активные элементы
- •Идеальный источник напряжения
- •Идеальный источник тока
- •Схемы замещения реальных источников
- •Управляемые источники тока и напряжения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 1.4. Топология цепей
- •Схемы электрических цепей. Основные определения
- •Понятие о компонентных и топологических уравнениях. Законы Кирхгофа
- •Графы схем электрических цепей
- •Определение числа независимых узлов и контуров
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 1.5. Уравнения электрического равновесия цепей
- •Основные задачи теории цепей
- •Понятие об уравнениях электрического равновесия
- •Классификация электрических цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Ответы
- •Модуль 2.1. Анализ линейных цепей с источниками гармонических токов и напряжений
- •Понятие о гармонических функциях
- •Линейные операции над гармоническими функциями
- •Среднее, средневыпрямленное и действующее значения гармонических токов и напряжений
- •Дифференциальное уравнение цепи при гармоническом воздействии
- •Вопросы для самопроверки
- •Модуль 2.2. Метод комплексных амплитуд
- •Понятие о символических методах
- •Комплексные числа и основные операции над ними
- •Операции над комплексными изображениями гармонических функций
- •Комплексные сопротивление и проводимость пассивного участка цепи
- •Порядок анализа цепи методом комплексных амплитуд
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 2.3. Идеализированные пассивные элементы при гармоническом воздействии
- •Резистивный элемент
- •Емкостный элемент
- •Индуктивный элемент
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Делители напряжения и тока
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Мгновенная мощность пассивного двухполюсник
- •Активная, реактивная, полная и комплексная мощности
- •Баланс мощностей
- •Коэффициент мощности
- •Согласование источника энергии с нагрузкой
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 2.6. Преобразования электрических цепей
- •Понятие об эквивалентных преобразованиях
- •Участки цепей с последовательным соединением элементов
- •Участки цепей с параллельным соединением элементов
- •Участки цепей со смешанным соединением элементов
- •Эквивалентное преобразование треугольника сопротивлений в звезду и обратное преобразование
- •Комплексные схемы замещения источников энергии
- •Перенос источников
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 2.7. Цепи с взаимной индуктивностью
- •Понятие о взаимной индуктивности
- •Понятие об одноименных зажимах
- •Коэффициент связи между индуктивными катушками
- •Цепи с взаимной индуктивностью при гармоническом воздействии
- •Понятие о линейных трансформаторах
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 3. Частотные характеристики и резонансные явления
- •Понятие о комплексных частотных характеристиках
- •Комплексные частотные характеристики цепей с одним реактивным элементом
- •Понятие о резонансе в электрических цепях
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 3.2. Последовательный колебательный контур
- •Cхемы замещения и параметры элементов контура
- •Энергетические процессы в последовательном колебательном контуре
- •Входные характеристики
- •Передаточные характеристики
- •Избирательные свойства последовательного колебательного контура
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 3.3. Параллельный колебательный контур
- •Схемы замещения
- •Параллельный колебательный контур основного вида
- •Параллельный колебательный контур с разделенной индуктивностью
- •Параллельный колебательный контур с разделенной емкостью
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 3.4. Связанные колебательные контуры
- •Общие сведения
- •Схемы замещения
- •Настройка связанных контуров
- •Частотные характеристики
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Общие сведения
- •Методы, основанные на непосредственном применении законов Кирхгофа
- •Метод контурных токов
- •Метод узловых напряжений
- •Формирование уравнений электрического равновесия цепей с зависимыми источниками
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 4.2. Основные теоремы теории цепей
- •Принцип наложения
- •Теорема взаимности
- •Теорема компенсации
- •Автономные и неавтономные двухполюсники
- •Теорема об эквивалентном источнике
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 4.3. Метод сигнальных графов
- •Общие сведения
- •Преобразования сигнальных графов
- •Применение сигнальных графов к анализу цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 5. Нелинейные резистивные цепи
- •Модуль 5.1. Постановка задачи анализа нелинейных резистивных цепей
- •Вводные замечания
- •Нелинейные резистивные элементы
- •Уравнения электрического равновесия нелинейных резистивных цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Модуль 5.2. Графические методы анализа нелинейных резистивных цепей
- •Простейшие преобразования нелинейных резистивных цепей
- •Определение рабочих точек нелинейных резистивных элементов
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Задача аппроксимации
- •Выбор аппроксимирующей функции
- •Определение коэффициентов аппроксимирующей функции
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Нелинейное сопротивление при гармоническом воздействии
- •Понятие о режимах малого и большого сигнала
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 6. Методы анализа переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами
- •Модуль 6.1. Задача анализа переходных процессов
- •Возникновение переходных процессов. Понятие о коммутации
- •Законы коммутации
- •Общий подход к анализу переходных процессов
- •Определение порядка сложности цепи
- •Вопросы для самопроверки
- •Модуль 6.2. Классический метод анализа переходных процессов
- •Свободные и вынужденные составляющие токов и напряжений
- •Порядок анализа переходных процессов классическим методом
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 6.3. Операторный метод анализа переходных процессов
- •Преобразование Лапласа и его применение к решению дифференциальных уравнений
- •Порядок анализа переходных процессов операторным методом
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 6.4. Операторные характеристики линейных цепей
- •Реакция цепи на экспоненциальное воздействие
- •Понятие об операторных характеристиках
- •Методы определения операторных характеристик
- •Дифференцирующие и интегрирующие цепи
- •Вопросы для самопроверки
- •Единичные функции и их свойства
- •Переходная и импульсная характеристики линейных цепей
- •Методы определения временных характеристик
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие
- •Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее переходной характеристике
- •Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее импульсной характеристике
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 7. Основы теории четырехполюсников и многополюсников
- •Модуль 7.1. Многополюсники и цепи с многополюсными элементами
- •Задача анализа цепей с многополюсными элементами
- •Классификация и схемы включения многополюсников
- •Основные уравнения и первичные параметры линейных неавтономных многополюсников
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Классификация проходных четырехполюсников
- •Основные уравнения и первичные параметры неавтономных проходных четырехполюсников
- •Методы определения первичных параметров неавтономных проходных четырехполюсников
- •Первичные параметры составных четырехполюсников
- •Схемы замещения неавтономных проходных четырехполюсников
- •Автономные проходные четырехполюсники
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Характеристические постоянные передачи неавтономного проходного четырехполюсника
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Модуль 7.4. Невзаимные проходные четырехполюсники
- •Идеальные усилители напряжения и тока
- •Однонаправленные цепи и цепи с обратной связью
- •Идеальные операционные усилители
- •Преобразователи сопротивления
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Модуль 7.5. Электрические фильтры
- •Классификация электрических фильтров
- •Реактивные фильтры
- •Активные фильтры
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 8. Цепи с распределенными параметрами
- •Модуль 8.1. Задача анализа цепей с распределенными параметрами
- •Общие сведения
- •Общее решение дифференциальных уравнений длинной линии
- •Вопросы для самопроверки
- •Волновые процессы в однородной длинной линии
- •Режим стоячих волн
- •Режим смешанных волн
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Проходной четырехполюсник с распределенными параметрами
- •Входное сопротивление отрезка однородной длинной линии
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Распределение напряжения и тока в однородной линии без потерь при произвольном внешнем воздействии
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Модуль 8.5. Цепи с распределенными параметрами специальных типов
- •Резистивные линии
- •Неоднородные линии
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Ответы
- •Книга 9. Синтез электрических цепей
- •Модуль 9.1. Задача синтеза линейных электрических цепей
- •Понятие физической реализуемости
- •Основные этапы синтеза цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Понятие о положительных вещественных функциях
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 9.3. Методы реализации реактивных двухполюсников
- •Методы выделения простейших составляющих (метод Фостера)
- •Метод разложения в цепную дробь (метод Кауэра)
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 9.4. Основы синтеза линейных пассивных четырехполюсников
- •Задача синтеза четырехполюсников
- •Методы реализации пассивных четырехполюсников
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 10. Методы автоматизированного анализа цепей
- •Модуль 10.1. Задача автоматизированного анализа цепей
- •Понятие о ручных и машинных методах анализа цепей
- •Общие представления о программах машинного анализа цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Топологические матрицы и топологические уравнения
- •Свойства топологических матриц
- •Компонентные матрицы и компонентные уравнения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Методы узловых напряжений и контурных токов
- •Метод переменных состояния
- •Формирование уравнений состояния в матричной форме
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 10.4. Особенности современных программ автоматизированного анализа цепей
- •Выбор методов формирования уравнений электрического равновесия. Понятие о поколениях программ автоматизированного анализа цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Ответы
- •Заключение
- •Приложения
- •Приложение 1. Таблица оригиналов и изображений по Лапласу
- •Приложение 2. Основные уравнения проходных четырёхполюсников
- •Приложение 3. Соотношения между первичными параметрами проходных четырехполюсников
- •Приложение 5. Соотношения между первичными параметрами взаимных и симметричных четырехполюсников
- •Приложение 6. Приставки для образования кратных и дольных единиц
- •Приложение 7. Инструкция для работы с Самоучителем по курсу «Основы теории цепей»
- •Список литературы
Матрицы , и , называемые топологическими, содержат полную ин
формацию о топологии цепи. Элементы топологических матриц связаны между собой определенными соотношениями, так что, зная одну из них, всегда можно найти и любую другую, причем вид матрицы узлов А зависит только от выбора базисного узла и порядка нумерации узлов и ветвей, а вид матриц В и Q зависит еще и от выбора дерева графа рассматриваемой цепи.
Свойства топологических матриц
До сих пор мы не накладывали никаких ограничений на порядок нумерации ветвей графа и его главных контуров (главных сечений). Условимся теперь нумеро вать ветви графа следующим образом: сначала все ветви дерева, а затем — главные ветви. Соответствующим образом расположим и столбцы матриц , и : сначала в порядке возрастания номеров поставим столбцы, соответствующие ветвям дерева, а затем — столбцы, соответствующие главным ветвям; строки матриц и запишем в порядке возрастания номеров ветвей дерева и главных ветвей соответственно. В этом случае порядок нумерации главных сечений соответствует порядку нумерации ветвей дерева, а порядок нумерации главных контуров — порядку нумерации глав ных ветвей, причем каждая из матриц и может быть разбита на две подматри цы, соответствующие ветвям дерева и главным ветвям:
в
в
; |
10.7 |
, |
10.8 |
где |
в, в, — подматрицы, содержащие столбцы, соответствующие ветвям дерева; |
, и |
х — подматрицы, включающие столбцы, соответствующие главным ветвям |
(хордам). |
|
|
Учитывая, что каждая ветвь дерева входит только в одно главное сечение, а |
каждая главная ветвь — только в один главный контур, приходим к заключению, что квадратные матрицы в и , являются единичными:
в
х
1 |
0 |
… |
0 |
|
|
0 |
1 |
… |
0 |
; |
10.9 |
… |
… |
… |
… |
||
0 |
0 |
… |
1 |
|
|
1 |
0 |
… |
0 |
|
|
0 |
1 |
… |
0 |
|
10.10 |
… |
… |
… |
… . |
||
0 |
0 |
… |
1 |
|
|
Подставляя выражения (10.7) и (10.8) в (10.5) и (10.6) и разбивая матрицы
столбцы токов и напряжений |
на |
подматрицы токов и |
напряжений ветвей |
|
ва в , в и токов и напряжений главных ветвей , |
получаем |
10.11 |
||
в |
в |
в в |
0; |
860
в |
в |
в |
в |
0. |
10.12 |
С учетом того что матрицы |
, и |
х, являются единичными, выражения (10.11) |
|||
и (10.12) преобразуются к следующему виду: |
|
10.13 |
|||
|
в |
в |
; |
|
|
|
|
в. |
|
10.14 |
Выражения (10.13) и (10.14) вытекают непосредственно из уравнений баланса токов и напряжений и показывают, каким образом токи ветвей дерева могут быть выражены через токи главных ветвей, а напряжения главных ветвей — через на пряжения ветвей дерева.
Подматрицы , и в связаны между собой простыми соотношениями, для оп ределения которых необходимо сначала убедиться в справедливости выражений
|
|
|
|
; |
|
|
|
10.15 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
10.16 |
получивших название соотношений ортогональности (здесь |
— транспонирован |
|||||||
ная матрица контуров). |
|
|
|
i |
й строки |
|||
|
Соотношение (10.15) равносильно утверждению, что произведение |
|
||||||
матрицы |
А |
на й столбец матрицы или на транспонированную ю строку матри |
||||||
цы |
равно нулю: |
я строка |
|
0. |
|
10.17 |
||
|
|
|
я строка |
и |
|
|||
i |
Из правил формирования топологических матриц |
следует, что элементы |
||||||
|
й строки матрицы не равны нулю только в том случае, когда я ветвь ин |
|||||||
цидентна му узлу, а элементы |
й строки матрицыi |
не равны нулю только в |
||||||
случае, когда я ветвь входит в |
й контур. Если й узел не инцидентен ни одной |
ветви, входящей в й контур, то ненулевым элементам й строки матрицы соот ветствуют нулевые элементы й строки матрицы и, следовательно, сумма произ
веденийj |
будет равна нулю. Если узел инцидентен какой либо ветви, входя |
щий в й контур, то он обязательно инцидентен также еще одной ветви, входящей |
в этот контур. Если эти ветви одинаково сориентированы относительно узла (обе направлены к узлу или от узла), то они различным образом сориентированы отно сительно направления обхода контура . Если же они одинаково сориентированы
относительно направления обхода контура , то они различным образом сориентиi |
|
|
рованы относительно узла . В любом случае либо два ненулевых элемента й стро |
||
ки матрицы имеют одинаковые, а соответствующие им элементыi |
й строки мат |
рицы различные знаки, либо, наоборот, ненулевые элементы й строки матрицы имеют различные знаки, а соответствующие им элементы й строки матрицы —
861
одинаковые. В обоих случаях соотношение (10.17), а следовательно, и (10.15) будут выполняться.
Аналогичным образом доказывается и справедливость соотношения (10.16). В этом случае необходимо учесть, что если какие либо сечение и контур имеют общие ветви, то их число должно быть четным (линия сечения делит графна две части, при этом любой замкнутый путь должен начинаться и заканчиваться в одной и той же части графа), причем если какие либо две ветви, входящие и в сечение, и в контур, одинаково сориентированы относительно сечения, то они различным образом сори ентированы относительно направления обхода контура и, наоборот, если они оди наково сориентированы относительно направления обхода контура, то они различ ным образом сориентированы относительно сечения.
Подставляя выражения (10.7) и (10.8) в соотношение (10.16) и учитывая (10.9) и (10.10), получаем
в |
в |
в в |
в |
, |
|
откуда |
|
|
в |
|
10.18 |
или |
|
|
|
||
|
в |
. |
|
10.19 |
|
Выражения (10.18), (10.19) устанавливают связь между подматрицами |
в и , |
что позволяет записать уравнения (10.13) и (10.14) либо с помощью подматрицы
:
в |
|
; |
10.20 |
|
либо с помощью подматрицы в : |
|
в, |
||
в |
; |
10.21 |
||
в |
||||
|
в |
в. |
|
Уравнения (10.20) или (10.21) равносильны уравнениям (10.4), (10.6) или (10.5), (10.6); при машинном анализе цепей они часто используются вместо (10.4) — (10.6).
На практике при составлении топологических уравнений чаще применяется под матрица , которая получила название матрицы сечений — хорд. Подматрица в называется матрицей контуров — ветвей.
Анализируя правила формирования матрицы главных сечений Q и то, каким
образом она была разбита на подматрицы в и |
устанавливаем, что матрица се |
||
чений — хорд |
является прямоугольной |
и содержит |
1 строк и |
862
1 столбцов. Строки матрицы |
показывают, какие главные ветви вхо |
|
дят в соответствующее главное сечение, причем элемент |
1, если j я главная |
ветвь входит в е главное сечение и ее направление совпадает с направлением се
чения; |
1, если я главная ветвь входит в е сечение и ее направление проти |
|
воположно направлению сечения. Столбцы матрицы сечений — хорд |
показыва |
ют, какие ветви дерева входят в главный контур, замыкаемый главной ветвью, со ответствующей каждому столбцу. Элемент 1, если я ветвь дерева входит в j й главный контур, причем ее направление совпадает с направлением обхода кон
тура; |
1, если |
я ветвь входит в |
й главный контур, а ее направление не сов |
||||||
падает с направлением обхода контура; |
0, если |
|
я главная ветвь не входит в e |
||||||
главное сечение или я ветвь дерева не входит в й главный контур. |
|
||||||||
|
Пример10.1. Построим матрицу сечений хорд и составим топологические уравне |
||||||||
ния в форме |
10.20 для цепи, схема которой изображена на рис. 10.1, а. |
|
|||||||
|
Выберем в качестве ветвей дерева ветви, содержащие источник напряжения , со |
||||||||
противление |
и емкости |
, |
. Пронумеруем токи и соответствующие ветви следующим |
||||||
образом: |
, |
, |
, |
, |
, |
, |
, |
. Граф цепи с |
учетом принятой нумерации ветвей изображен на рис. 10.1, б. Матрица главных сечений
этого графа |
Номера ветвей |
Номера главных |
|
|||||||
|
|
1 |
дерева |
5 |
ветвей |
8 |
|
|||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
6 |
7 |
|
|||
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
в . |
|
3 0 0 1 0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|||||
|
4 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
Номера главных сечений |
|
|
|
|
|
|||||
номера ветвей дерева |
|
|
|
|
|
|
||||
разбивается на подматрицы |
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
||||
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
||||
в |
0 |
1 |
0 |
0 |
и |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
0 0 1 0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 . |
|||||
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
|
1 |
Используя матрицу сечений хорд Qх, составляем топологические уравнения рас |
||||||||||
сматриваемой цепи в форме |
10.20 : |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
|
; |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
. |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
В справедливости полученных соотношений нетрудно убедиться, составляя урав нения баланса токов и напряжений для главных сечений и главных контуров рассматри ваемой цепи.
863