- •Аннотация
- •Оглавление
- •Дорогие читатели!
- •Предисловие
- •Введение
- •Книга 1. Основные понятия теории цепей
- •Модуль 1.1. Основные определения
- •Электрическая цепь
- •Электрический ток
- •Напряжение
- •Электродвижущая сила
- •Мощность и энергия
- •Схема электрической цепи
- •Вопросы для самопроверки
- •Модуль 1.2. Идеализированные пассивные элементы
- •Резистивный элемент
- •Емкостный элемент
- •Индуктивный элемент
- •Дуальные элементы и цепи
- •Схемы замещения реальных элементов электрических цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Модуль 1.3. Идеализированные активные элементы
- •Идеальный источник напряжения
- •Идеальный источник тока
- •Схемы замещения реальных источников
- •Управляемые источники тока и напряжения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 1.4. Топология цепей
- •Схемы электрических цепей. Основные определения
- •Понятие о компонентных и топологических уравнениях. Законы Кирхгофа
- •Графы схем электрических цепей
- •Определение числа независимых узлов и контуров
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 1.5. Уравнения электрического равновесия цепей
- •Основные задачи теории цепей
- •Понятие об уравнениях электрического равновесия
- •Классификация электрических цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Ответы
- •Модуль 2.1. Анализ линейных цепей с источниками гармонических токов и напряжений
- •Понятие о гармонических функциях
- •Линейные операции над гармоническими функциями
- •Среднее, средневыпрямленное и действующее значения гармонических токов и напряжений
- •Дифференциальное уравнение цепи при гармоническом воздействии
- •Вопросы для самопроверки
- •Модуль 2.2. Метод комплексных амплитуд
- •Понятие о символических методах
- •Комплексные числа и основные операции над ними
- •Операции над комплексными изображениями гармонических функций
- •Комплексные сопротивление и проводимость пассивного участка цепи
- •Порядок анализа цепи методом комплексных амплитуд
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 2.3. Идеализированные пассивные элементы при гармоническом воздействии
- •Резистивный элемент
- •Емкостный элемент
- •Индуктивный элемент
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Делители напряжения и тока
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Мгновенная мощность пассивного двухполюсник
- •Активная, реактивная, полная и комплексная мощности
- •Баланс мощностей
- •Коэффициент мощности
- •Согласование источника энергии с нагрузкой
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 2.6. Преобразования электрических цепей
- •Понятие об эквивалентных преобразованиях
- •Участки цепей с последовательным соединением элементов
- •Участки цепей с параллельным соединением элементов
- •Участки цепей со смешанным соединением элементов
- •Эквивалентное преобразование треугольника сопротивлений в звезду и обратное преобразование
- •Комплексные схемы замещения источников энергии
- •Перенос источников
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 2.7. Цепи с взаимной индуктивностью
- •Понятие о взаимной индуктивности
- •Понятие об одноименных зажимах
- •Коэффициент связи между индуктивными катушками
- •Цепи с взаимной индуктивностью при гармоническом воздействии
- •Понятие о линейных трансформаторах
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 3. Частотные характеристики и резонансные явления
- •Понятие о комплексных частотных характеристиках
- •Комплексные частотные характеристики цепей с одним реактивным элементом
- •Понятие о резонансе в электрических цепях
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 3.2. Последовательный колебательный контур
- •Cхемы замещения и параметры элементов контура
- •Энергетические процессы в последовательном колебательном контуре
- •Входные характеристики
- •Передаточные характеристики
- •Избирательные свойства последовательного колебательного контура
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 3.3. Параллельный колебательный контур
- •Схемы замещения
- •Параллельный колебательный контур основного вида
- •Параллельный колебательный контур с разделенной индуктивностью
- •Параллельный колебательный контур с разделенной емкостью
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 3.4. Связанные колебательные контуры
- •Общие сведения
- •Схемы замещения
- •Настройка связанных контуров
- •Частотные характеристики
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Общие сведения
- •Методы, основанные на непосредственном применении законов Кирхгофа
- •Метод контурных токов
- •Метод узловых напряжений
- •Формирование уравнений электрического равновесия цепей с зависимыми источниками
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 4.2. Основные теоремы теории цепей
- •Принцип наложения
- •Теорема взаимности
- •Теорема компенсации
- •Автономные и неавтономные двухполюсники
- •Теорема об эквивалентном источнике
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 4.3. Метод сигнальных графов
- •Общие сведения
- •Преобразования сигнальных графов
- •Применение сигнальных графов к анализу цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 5. Нелинейные резистивные цепи
- •Модуль 5.1. Постановка задачи анализа нелинейных резистивных цепей
- •Вводные замечания
- •Нелинейные резистивные элементы
- •Уравнения электрического равновесия нелинейных резистивных цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Модуль 5.2. Графические методы анализа нелинейных резистивных цепей
- •Простейшие преобразования нелинейных резистивных цепей
- •Определение рабочих точек нелинейных резистивных элементов
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Задача аппроксимации
- •Выбор аппроксимирующей функции
- •Определение коэффициентов аппроксимирующей функции
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Нелинейное сопротивление при гармоническом воздействии
- •Понятие о режимах малого и большого сигнала
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 6. Методы анализа переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами
- •Модуль 6.1. Задача анализа переходных процессов
- •Возникновение переходных процессов. Понятие о коммутации
- •Законы коммутации
- •Общий подход к анализу переходных процессов
- •Определение порядка сложности цепи
- •Вопросы для самопроверки
- •Модуль 6.2. Классический метод анализа переходных процессов
- •Свободные и вынужденные составляющие токов и напряжений
- •Порядок анализа переходных процессов классическим методом
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 6.3. Операторный метод анализа переходных процессов
- •Преобразование Лапласа и его применение к решению дифференциальных уравнений
- •Порядок анализа переходных процессов операторным методом
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 6.4. Операторные характеристики линейных цепей
- •Реакция цепи на экспоненциальное воздействие
- •Понятие об операторных характеристиках
- •Методы определения операторных характеристик
- •Дифференцирующие и интегрирующие цепи
- •Вопросы для самопроверки
- •Единичные функции и их свойства
- •Переходная и импульсная характеристики линейных цепей
- •Методы определения временных характеристик
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие
- •Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее переходной характеристике
- •Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее импульсной характеристике
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 7. Основы теории четырехполюсников и многополюсников
- •Модуль 7.1. Многополюсники и цепи с многополюсными элементами
- •Задача анализа цепей с многополюсными элементами
- •Классификация и схемы включения многополюсников
- •Основные уравнения и первичные параметры линейных неавтономных многополюсников
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Классификация проходных четырехполюсников
- •Основные уравнения и первичные параметры неавтономных проходных четырехполюсников
- •Методы определения первичных параметров неавтономных проходных четырехполюсников
- •Первичные параметры составных четырехполюсников
- •Схемы замещения неавтономных проходных четырехполюсников
- •Автономные проходные четырехполюсники
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Характеристические постоянные передачи неавтономного проходного четырехполюсника
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Модуль 7.4. Невзаимные проходные четырехполюсники
- •Идеальные усилители напряжения и тока
- •Однонаправленные цепи и цепи с обратной связью
- •Идеальные операционные усилители
- •Преобразователи сопротивления
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Модуль 7.5. Электрические фильтры
- •Классификация электрических фильтров
- •Реактивные фильтры
- •Активные фильтры
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 8. Цепи с распределенными параметрами
- •Модуль 8.1. Задача анализа цепей с распределенными параметрами
- •Общие сведения
- •Общее решение дифференциальных уравнений длинной линии
- •Вопросы для самопроверки
- •Волновые процессы в однородной длинной линии
- •Режим стоячих волн
- •Режим смешанных волн
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Проходной четырехполюсник с распределенными параметрами
- •Входное сопротивление отрезка однородной длинной линии
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Распределение напряжения и тока в однородной линии без потерь при произвольном внешнем воздействии
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Модуль 8.5. Цепи с распределенными параметрами специальных типов
- •Резистивные линии
- •Неоднородные линии
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Ответы
- •Книга 9. Синтез электрических цепей
- •Модуль 9.1. Задача синтеза линейных электрических цепей
- •Понятие физической реализуемости
- •Основные этапы синтеза цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Понятие о положительных вещественных функциях
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 9.3. Методы реализации реактивных двухполюсников
- •Методы выделения простейших составляющих (метод Фостера)
- •Метод разложения в цепную дробь (метод Кауэра)
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 9.4. Основы синтеза линейных пассивных четырехполюсников
- •Задача синтеза четырехполюсников
- •Методы реализации пассивных четырехполюсников
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 10. Методы автоматизированного анализа цепей
- •Модуль 10.1. Задача автоматизированного анализа цепей
- •Понятие о ручных и машинных методах анализа цепей
- •Общие представления о программах машинного анализа цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Топологические матрицы и топологические уравнения
- •Свойства топологических матриц
- •Компонентные матрицы и компонентные уравнения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Методы узловых напряжений и контурных токов
- •Метод переменных состояния
- •Формирование уравнений состояния в матричной форме
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 10.4. Особенности современных программ автоматизированного анализа цепей
- •Выбор методов формирования уравнений электрического равновесия. Понятие о поколениях программ автоматизированного анализа цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Ответы
- •Заключение
- •Приложения
- •Приложение 1. Таблица оригиналов и изображений по Лапласу
- •Приложение 2. Основные уравнения проходных четырёхполюсников
- •Приложение 3. Соотношения между первичными параметрами проходных четырехполюсников
- •Приложение 5. Соотношения между первичными параметрами взаимных и симметричных четырехполюсников
- •Приложение 6. Приставки для образования кратных и дольных единиц
- •Приложение 7. Инструкция для работы с Самоучителем по курсу «Основы теории цепей»
- •Список литературы
Модуль 1.2. Идеализированные пассивные элементы
Цель модуля: ознакомление с основными свойствами и математическими мо делями идеализированных пассивных элементов.
Резистивный элемент
Резистивным элементом или идеальным резистором называется идеализи рованный пассивный элемент, в котором электрическая энергия необратимо преоб разуется в другие виды энергии, например в тепловую, световую или механическую. Запасания энергии электрического или магнитного полей в резистивном элементе не происходит. По своим свойствам к резистивному элементу наиболее близки ре альные элементы электрической цепи — резисторы, в которых электрическая энер гия в основном преобразуется в тепловую. Важнейшей характеристикой резистора, которая определяет меру преобразования электрической энергии в тепловую, явля ется его сопротивление. Помимо основного процесса — преобразования электриче ской энергии в тепловую — в резисторе имеют место также другие процессы, на пример запасание энергии электрического и магнитного полей.
Резистивный элемент можно рассматривать как упрощенную модель резисто ра, в которой абстрагируется только его основная характеристика — сопротивление. В соответствии с этим резистивный элемент или идеальный резистор в теории це пей часто называют просто сопротивлением*.
Условное графическое изображение резистивного элемента приведено на рис. 1.3. Условно положительные направления напряжения и тока показываются стрел ками. Рядом с условным графическим изображением резистивного элемента поме щают его условное буквенное обозначениеR.
Рис. 1.3. Условное графическое изображение резистивного элемента
Вольт амперная характеристика (ВАХ) резистора, т. е. зависимость между то ком и напряжением на его зажимах u = u(i) или i = i(u), в общем случае имеет нели нейный характер. Соответствующие зависимости, полученные для постоянных то ков и напряжений, или, точнее, для случая бесконечно медленно изменяющихся то
*Использование термина «сопротивление», а также вводимых далее терминов «емкость» и «ин дуктивность» не только в качестве характеристик реального и идеализированного элементов, но и в качестве названий идеализированных элементов является не вполне удачным и оправдывается только компактностью изложения.
18
ков и напряжений, получили название статических вольтамперных характери стик (рис. 1.4, а — в).
Рис. 1.4. Статические вольт амперные характеристики различных резистивных элементов
Используя статические ВАХ резистора, можно определить его статическое и дифференциальное сопротивления. Статическое сопротивление — это отношение напряжения к току на зажимах резистора:
ст |
|
. |
1.7 |
|
Дифференциальное сопротивление резистора определяется производной напряжения на его зажимах по току:
d |
1.8 |
диф d . |
В общем случае дифференциальное сопротивление резистора не равно стати ческому, причем значения обоих величин зависят от положения рабочей точки, т. е. от выбора пары значений u1 и i1 на характеристике u = u(i) или i = i(u), при которых производится определение Rст и Rдиф. Пусть, например, определение Rст и Rдиф произ водится в рабочей точке i = i 1, u = u1 (рис. 1.5, а). Значение Rст пропорционально tg α, т. е. тангенсу угла наклона прямой, проведенной из начала координат в рабочую точку; значение Rдиф пропорционально tg ,βт. е. тангенсу угла наклона касательной к кривой и = и(i), в точке i = i1, u = u1 = u(i1). Очевидно, что для рассматриваемого случая Rст > Rдиф. Анализируя рис. 1.4, нетрудно убедиться, что в зависимости от выбора ра бочей точки значение Rдиф может быть как больше, так и меньше нуля, а в частном случае может равняться нулю, в то время как значение Rст всегда больше нуля.
В случае, если зависимость между напряжением и током на зажимах резистора имеет линейный характер (рис. 1.5, б), значения Rст и Rдиф не зависят от выбора ра бочей точки и равны между собой: Rст = Rдиф = R, где R — сопротивление резистора.
Резистор, для которого зависимость напряжения от тока имеет линейный ха рактер и, следовательно, значения статического и дифференциального сопротивле ний равны между собой и не зависят от выбора рабочей точки, называется резисто ром с линейным сопротивлением. Резистор, для которого зависимость u = u(i) или
19
i = i(u) имеет нелинейный характер, называется резистором с нелинейным сопро тивлением. Следует отметить, что для большинства резисторов зависимость u = u(i) или i = i(u) несколько отличается от линейной, однако в ограниченном диапазоне изменений напряжения этой нелинейностью можно пренебречь и рассматривать сопротивление такого резистора, как линейное.
u |
u1=u(i1) |
|
u |
|
|
u1 |
|
β |
|
u1=u(i1) |
|
|
|
u1 |
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
α=β |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
i1 |
i |
0 |
i1 |
i |
|
a) |
|
|
б) |
|
Рис. 1.5. Вольт амперные характеристики резисторов с нелинейным (а) и линейным (б) со противлениями
Резистивный элемент, так же как и резистор, характеризуется зависимостью между током и напряжением на его зажимах и определяемыми по ней значениями статического и дифференциального сопротивлений. Для линейного резистивного элемента зависимость между током и напряжением имеет линейный характер, для нелинейного — эта зависимость отличается от линейной. В дальнейшем, если не будет оговорено особо, ограничимся рассмотрением цепей с линейным сопротивле нием.
Зависимость между током и напряжением на зажимах линейного сопротивле ния подчиняется закону Ома, который можно записать в виде
1.9
или
. 1.10
где G = 1/R — проводимость.
В ряде случаев при исследовании электрических цепей проводимость удобно рассматривать в качестве отдельного идеализированного двухполюсного элемента, имеющего такие же свойства и такое же условное графическое изображение, как со противление, и буквенное обозначение G. Идеализированные резистивные элемен ты электрической цепи сопротивление и проводимость относятся к так называемым диссипативным элементам (от латинского dissipare — рассеивать); их наличие в це
20
пи приводит к потерям электрической энергии, или, точнее, к необратимому преоб разованию ее в другие виды энергии.
Значения сопротивления R и проводимости G не зависят от выбора рабочей точки, причем R > 0 и G > 0. В Международной системе единиц сопротивление изме ряют в омах (Ом), а проводимость — в сименсах (См).
Очевидно, что при изменении значения сопротивления R (проводимости G) угол наклона ВАХ линейного резистивного элемента (рис. 1.5, б) изменяется, причем при R = 0 (G = ∞) ВАХ совпадает с осью токов (α =β = 0), а при R = ∞ (G = 0) — с осью напряжений (α = β = π/2).
Мгновенная мощность резистивного элемента может быть выражена через со противление R или проводимость G:
. 1.11
Мгновенная мощность резистивного элемента при выбранных положительных направлениях тока и напряжения (см. рис. 1.3) — неотрицательная величина. Элек трическая энергия, поступающая в резистивный элемент и преобразуемая в нем в другие виды энергии, также всегда положительна (кроме случая uR = 0, iR = 0):
d |
d |
d |
0. |
1.12 |
Отметим, что функция wR(t) является неубывающей функцией времени [по скольку она вычисляется как площадь, заключенная под кривой p = p(t) > 0].
Таким образом, в любой момент времени резистивный элемент может только потреблять энергию от источников и ни в какие моменты времени он не может от давать электрическую энергию другим элементам цепи.
Емкостный элемент
Емкостным элементом, идеальным конденсатором или емкостью называ ется идеализированный элемент электрической цепи, обладающий свойством запа сать энергию электрического поля, причем запасания энергии магнитного поля или преобразования электрической энергии в другие виды энергии в нем не происходит. По свойствам к емкостному элементу наиболее близки реальные элементы электри ческой цепи — конденсаторы. Основной особенностью конденсатора является его способность запасать энергию электрического поля, однако в отличие от емкостно го элемента в конденсаторе имеют место потери энергии в диэлектрике и обклад ках, т. е. преобразование электрической энергии в другие виды энергии, а также происходит запасание энергии магнитного поля.
Так же как и в случае сопротивления, термин «емкость» используется не только для обозначения идеализированного элемента электрической цепи, но
21
и как количественная характеристика способности этого элемента или его прототипа (конденсатора) запасать энергию электрического поля.
Условное графическое изображение емкостного элемента приведено на рис. 1.6, а.
Рис. 1.6. Условные графические изображения емкостного (а) и индуктивного (б) элементов
Зависимость заряда q, накопленного в емкостном элементе, от напряжения uC, называемая кулонвольтной характеристикой, имеет в общем случае нелинейный характер (кривая 1 на рис. 1.7).
Количественно характер зависимости накопленного заряда от оценивают значениями статической и дифференциальной емкостей: Ccт
Cдиф = dq/du.
Рис. 1.7. Кулон вольтные характеристики емкостного элемента:
напряжения
= q/u и
1— нелинейная, 2 — линейная
Вобщем случае дифференциальная емкость не равна статической, причем обе величины зависят от выбора рабочей точки на характеристике q = q(u). Если зави симость заряда, накопленного в емкости, от напряжения имеет линейный характер (кривая 2 на рис. 1.7), то значения дифференциальной и статической емкостей оди наковы и не зависят от напряжения: Сдиф = Сст = С.
Всистеме единиц СИ емкости С, Сст и Cдиф выражают в фарадах (Ф).
22
Емкость, значение которой не зависит от напряжения, называется линейной; емкость, значение которой зависит от напряжения,— нелинейной. В дальнейшем ограничимся рассмотрением только цепей с линейной емкостью.
Найдем зависимость между мгновенными значениями тока и напряженияC |
на |
||||||||
зажимах линейной емкости. Очевидно, |
что всякое изменениеqнапряжения |
u |
на за |
||||||
|
|||||||||
жимах емкости должно в соответствии с видом зависимости |
= q(u) |
привести к из |
|||||||
q |
заряда по времени определяет |
ток |
емкости: |
||||||
менению заряда . Производная |
|||||||||
d |
d |
|
d |
|
|
|
|
|
|
d |
d |
· |
d |
. |
|
|
|
|
|
Учитывая, что для линейной емкости производная заряда по напряжению рав на С и не зависит от напряжения uС : C = dq/duC = q/uC, получаем
d |
1.13 |
d . |
Как следует из выражения (1.13), ток емкости пропорционален скорости изме нения приложенного к ней напряжения. Если напряжение на зажимах емкости не изменяется во времени, то ток емкости равен нулю. Таким образом, сопротивление емкости постоянному току бесконечно велико.
Используя выражение (1.13), находим зависимость напряжения емкости от то
ка:
1 |
d . |
1.14 |
Интегрирование ведется, начиная с момента времени t = — ∞, для того, чтобы учесть все возможные изменения заряда емкости и, следовательно, напряжения uC , причем предполагается, что в момент времени t = — ∞ напряжение на зажимах ем кости равно нулю.
Пусть наблюдение процессов в емкости началось в момент времени t = t0. На пряжение емкости в начальный момент
1 |
|
|
d . |
|
1.15 |
|
Разбивая интеграл (1.14) на два |
|
|
|
d |
|
d и используя выра |
|
|
|
|
жение (1.15), определим напряжение емкости в произвольный момент времени t:
1 |
d . |
1.16 |
Мгновенная мощность емкости
23