вн |
|
|
; вн |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
вн |
|
|
|
; вн |
|
|
. |
3.122 |
|
|
|
|
Из выражений (3.122) следует, что вещественные составляющие вносимых со противлений всегда положительны, а знаки реактивных составляющих вносимых сопротивлении xвн1 и xвн2 противоположны знакам реактивных составляющих собст венных сопротивлений вторичного и первичного контуров х22 и х11. Если, например, при каком то значении частоты внешнего воздействия собственное сопротивление первичного контура Z11 имеет резистивно емкостный характер, то на этой же часто те сопротивление, вносимое во вторичный контур Zвн2, будет иметь резистивно индуктивный характер. Используя (3.119) — (3.122), выразим токи первичного и вторично контуров через вещественные и мнимые составляющие сопротивлений элементов обобщенной схемы замещения связанных контуров:
. 3.124
Выражения (3.123, 3.124) позволяют рассмотреть основные процессы, имеющие место в связанных контурах, и, в частности, позволяют рассмотреть особенности настройки связанных контуров.
Настройка связанных контуров
Настройка связанных колебательных контуров заключается в таком выборе параметров реактивных элементов контуров, при котором ток вторичного контура достигает максимального значения при заданных частоте и амплитуде напряжения источника энергии. Различают следующие способы настройки связанных контуров:
—настройка на частные резонансы;
—настройка на индивидуальный резонанс;
—настройка на сложный резонанс;
—настройка на полный резонанс.
Настройку на первый или второй частные резонансы осуществляют путем из менения параметров реактивных элементов, входящих только в первичный или только во вторичный контуры. При настройке на первый частный резонанс добива ются равенства нулю мнимой составляющей комплексного входного сопротивления первичного контура
298
а при настройке на второй частный резонанс — мнимой составляющей комплексно го входного сопротивления вторичного контура
При настройке на индивидуальный резонанс параметры реактивных элементов, входящих только в первичный и только во вторичный контур, выбирают таким об разом, чтобы обеспечить равенство нулю мнимой составляющей собственного со противления каждого контура при размыкании другого контура:
0. 3.127
Очевидно, что при выполнении условия (3.127) одновременно выполняются и условия настройки на первый (3.125) и второй (3.126) частные резонансы.
Подставляя условие (3.127) в выражение (3.124), находим действующее значе ние тока вторичного контура при настройке на индивидуальный резонанс:
||
| |
max . 3.128
Настройка связанных контуров на первый и второй частные или на индивиду альный резонансы позволяет получить максимальное значение тока вторичного контура, соответствующее некоторому заданному значению сопротивления связи Z12 = jx12, однако не дает возможности достигнуть максимально возможного значе ния (максимума максиморума) тока I2.
Если настройка связанных контуров на первый или второй частный резонансы сопровождается последующим выбором оптимального значения сопротивления связи, то происходит настройка контуров на сложный (оптимальный) резонанс. Анализируя выражение (3.124) при выполнении (3.125) или (3.126), можно показать,
что максимально возможное значение тока вторичного контура при настройке на сложный резонанс равно
и не зависит от того, какой из контуров был предварительно настроен на частный резонанс.
Наибольший практический интерес представляет настройка связанных конту ров на полный резонанс, которая, как и настройка на сложный резонанс, выполняет ся в два этапа. На первом этапе связанные контуры настраивают на индивидуаль
299
ный резонанс, а на втором этапе выбирают оптимальное сопротивление связи меж ду ними Z12opt = jx12opt. Анализируя выражение (3.128), находим, что максимально возможное значение тока вторичного контура при настройке на полный резонанс также определяется выражением (3.129) и достигается при
Таким образом, при настройке на полный резонанс, как и при настройке на сложный резонанс, достигается одно и то же значение тока вторичного тура
I2 = I2 max max
Рис. 3.46. Зависимости вносимой ЭДС (а), резистивной составляющей вносимого со противления, суммарного сопротивления (б) и тока (в) вторичного контура от со противления связи
Зависимость тока вторичного контура от абсолютного значения сопротивле ния связи при настройке на полный или сложный резонанс иллюстрируется кривы ми, приведенными на рис. 3.46. Как следует из (3.117) и (3.122), с ростом сопротив ления связи ЭДС, вносимая во вторичный контур, растет несколько медленнее, чем по линейному закону (рис. 3.46, а), а вещественная составляющая вносимого во вто ричный контур сопротивления — по закону, близкому к квадратичному (рис. 3.46, б). При сопротивлении связи, меньшем оптимального, суммарное сопротивление вторичного контура r22 + rвн2 зависит в основном от собственного сопротивления вторичного контура r22, поэтому с ростом сопротивления связи и вносимой во вто ричный контур ЭДС, происходит увеличение тока вторичного контура (рис. 3.46, в). При сопротивлении связи, большем оптимального, суммарное сопротивление вто ричного контура определяется в основном сопротивлением, вносимым во вторич ный контур rвн2, которое с увеличением |х12| растет быстрее, чем вносимая в контур ЭДС. Вследствие этого при сопротивлении связи, большем |х12opt|, дальнейший рост |х12| приводит к уменьшению тока вторичного контура.
Частотные характеристики
Рассмотрим зависимость тока вторичного контура от частоты для случая, ко гда параметры обоих контуров одинаковы:
;;
;; .
Собственные сопротивления первичного и вторичного контуров при этом мо гут быть представлены в следующем виде:
где ξ = х/r— обобщенная расстройка.
Подставляя (3.120), (3.131) в (3.115), найдем выражения для комплексного дей ствующего значения и действующего значения тока вторичного контура:
14
Принимая во внимание, что E1/(2r) есть максимально возможное значение тока вторичного контура
выражение (3.132) можно записать в более компактном виде:
где A = kсвQ |x12|/r — постоянный коэффициент, называемый, параметром (факто ром) связи.
Очевидно, что экстремумы функции I2 = I2(ξ) совпадают с экстремумами знаме нателя выражения (3.133). Приравнивая нулю первую производную знаменателя по ξ, получаем
―4ξ(1― ξ2 + А2) + 8ξ=0
или
Уравнение (3.134) имеет три решения:
Первое из них соответствует настройке контуров на индивидуальный резо нанс, т. е. случаю, когда ω = ω0. Второе и третье решения имеют физический смысл только при А2 – 1 0, т. е. когда параметр связи А имеет значение не меньше неко торого критического Акр = 1, и соответствуют так называемым нижней (более низ кой) и верхней (более высокой) частотам связи.
I = I2Таким(ξ) |
образом, |
при больших значениях параметра связи (A |
> А |
кр |
) функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
один2 |
|
имеет три экстремума, а при малых значениях параметра связи (A А ) |
. При A = Акр все три решения уравнения (3.134) совпадают и функция I2 = I2(крξ) |
имеет один экстремум. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим, что |
критическое значение параметра связи соответствует опти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мальной связи между контурами при настройке на полный резонанс. |
|
|
|
|
Зависимость нормированного тока вторичного контура |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
4 |
|
|
|
|
от обобщенной расстройки |
ξ |
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, показана на рис. 3.47. При слабой связи между конту |
|
А |
< |
А |
кр) частотные характеристики |
|
2 имеют вид «одногорбых» кривых, при |
рами ( |
|
|
чем максимальноеξ |
значение тока вторичного контура, достигаемоеI |
на резонансной |
частоте ( = 0), будет меньше максимально возможного |
значения |
2 max max.С увели |
чением параметра связи, вплоть до |
А = А |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
кр |
|
|
, значения тока в максимуме увеличи |
ваются, но кривые остаютсяξ |
«одногорбымиI |
». При |
А = А |
кр ток вторичного контура на |
|
резонансной частоте ( = 0) равен 2maxmax. При дальнейшем увеличении связи между |
контурами |
ток |
|
вторично |
контура |
на |
|
резонансной |
|
частоте |
(ξ = 0) начнет уменьшаться и частотные характеристики 2 приобретают вид «дву горбых» кривых. Максимальное значение тока I2 = I2 max max достигается на так назы ваемых частотах связи, соответствующих обобщенным расстройкам ξ =± √ 1. С ростом параметра связи А при сильной связи между контурами (А>Акр) максималь ное значение тока вторичного контура, достигаемое на частотах связи, остается равным I2 max max , расстояние между максимумами увеличивается, а значение тока I2 на резонансной частоте (ξ = 0) в соответствии с кривой, изображенной на рис. 3.46, в, уменьшается.
При |
A |
> (1 + |
2 |
2,41 |
значение тока на резонансной частоте падает ниже |
|
|
уровня 0,707, при этом полоса пропускания связанных контуров распадется на два участка.
Физически существование максимумов тока на частотах связи объясняется тем, что на этих частотах реактивная составляющая собственного сопротивления каждого контура компенсируется реактивной составляющей вносимого сопротив ления. Действительно, как следует из выражений (3.122), мнимая составляющая со противления, вносимого в каждый из связанных контуров, противоположна по зна
Рис. 3.47. Зависимость нормированного тока вторичного контура от обобщенной расстройки при различных значениях параметра связи (пунктиром показана час тотная характеристика одиночного колебательного контура)
303
ку мнимой составляющей собственного сопротивления другого контура. Так, на час тотах ниже частоты настройки на индивидуальный резонанс мнимые составляющие собственных сопротивлений каждого из контуров отрицательны, а мнимые состав ляющие вносимых сопротивлений — положительны. Аналогичным образом при ξ >0 x11 и х22 положительны, а хвн1 и хвн2 — отрицательны. Очевидно, что при достаточно больших значениях сопротивления связи, т. е. при А > Акр, мнимые составляющие собственного и взаимного сопротивлений каждого контура на каких то частотах, отличных от частоты индивидуального резонанса, могут взаимно компенсировать ся. При этом комплексное входное сопротивление каждого контура имеет чисто ре зистивный характер, токи контуров достигают максимально возможного значения, а зависимости тока вторичного контура от частоты становятся «двугорбыми». При малых значениях сопротивлений связи (А < Акр) мнимые составляющие вносимых сопротивлений каждого из контуров на всех частотах остаются меньшими по абсо лютному значению, чем мнимые составляющие собственных сопротивлений соот ветствующих контуров. При этих условиях взаимная компенсация мнимых состав ляющих собственного и взаимного сопротивлений каждого контура на частотах, от личных от частоты индивидуального резонанса, становится невозможной и зави симости I2(ξ) будут «одногорбыми».
Для оценки избирательных свойств связанных контуров, используя (3.133), оп ределим полосу пропускания на уровне 1/√2:
Π |
√ |
|
Π |
|
2 1 |
1 |
при |
1, |
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
при 1 |
1 |
√2 |
|
|
|
и коэффициент прямоугольности АЧХ связанных контуров с одинаковыми парамет рами
10 |
2 1 |
1 |
1 |
при |
1, |
Π |
|
|
|
|
|
|
|
|
Π |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
2 |
|
1 |
при 1 |
1 |
√2. |
Зависимости коэффициента прямоугольности АЧХ КП и нормированной полосы пропускания связанных контуров на уровне 1/√2
Π Π Π
от параметра связи А приведены на рис. 3.48 (полоса пропускания связанных конту ров нормируется по полосе пропускания одиночного контура). При изменении па раметра связи от А = 0 до A = 1+√2 2,41 полоса пропускания связанных контуров изменяется примерно в 5 раз: при А 0 полоса пропускания связанных контуров со
