- •Аннотация
- •Оглавление
- •Дорогие читатели!
- •Предисловие
- •Введение
- •Книга 1. Основные понятия теории цепей
- •Модуль 1.1. Основные определения
- •Электрическая цепь
- •Электрический ток
- •Напряжение
- •Электродвижущая сила
- •Мощность и энергия
- •Схема электрической цепи
- •Вопросы для самопроверки
- •Модуль 1.2. Идеализированные пассивные элементы
- •Резистивный элемент
- •Емкостный элемент
- •Индуктивный элемент
- •Дуальные элементы и цепи
- •Схемы замещения реальных элементов электрических цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Модуль 1.3. Идеализированные активные элементы
- •Идеальный источник напряжения
- •Идеальный источник тока
- •Схемы замещения реальных источников
- •Управляемые источники тока и напряжения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 1.4. Топология цепей
- •Схемы электрических цепей. Основные определения
- •Понятие о компонентных и топологических уравнениях. Законы Кирхгофа
- •Графы схем электрических цепей
- •Определение числа независимых узлов и контуров
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 1.5. Уравнения электрического равновесия цепей
- •Основные задачи теории цепей
- •Понятие об уравнениях электрического равновесия
- •Классификация электрических цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Ответы
- •Модуль 2.1. Анализ линейных цепей с источниками гармонических токов и напряжений
- •Понятие о гармонических функциях
- •Линейные операции над гармоническими функциями
- •Среднее, средневыпрямленное и действующее значения гармонических токов и напряжений
- •Дифференциальное уравнение цепи при гармоническом воздействии
- •Вопросы для самопроверки
- •Модуль 2.2. Метод комплексных амплитуд
- •Понятие о символических методах
- •Комплексные числа и основные операции над ними
- •Операции над комплексными изображениями гармонических функций
- •Комплексные сопротивление и проводимость пассивного участка цепи
- •Порядок анализа цепи методом комплексных амплитуд
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 2.3. Идеализированные пассивные элементы при гармоническом воздействии
- •Резистивный элемент
- •Емкостный элемент
- •Индуктивный элемент
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Делители напряжения и тока
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Мгновенная мощность пассивного двухполюсник
- •Активная, реактивная, полная и комплексная мощности
- •Баланс мощностей
- •Коэффициент мощности
- •Согласование источника энергии с нагрузкой
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 2.6. Преобразования электрических цепей
- •Понятие об эквивалентных преобразованиях
- •Участки цепей с последовательным соединением элементов
- •Участки цепей с параллельным соединением элементов
- •Участки цепей со смешанным соединением элементов
- •Эквивалентное преобразование треугольника сопротивлений в звезду и обратное преобразование
- •Комплексные схемы замещения источников энергии
- •Перенос источников
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 2.7. Цепи с взаимной индуктивностью
- •Понятие о взаимной индуктивности
- •Понятие об одноименных зажимах
- •Коэффициент связи между индуктивными катушками
- •Цепи с взаимной индуктивностью при гармоническом воздействии
- •Понятие о линейных трансформаторах
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 3. Частотные характеристики и резонансные явления
- •Понятие о комплексных частотных характеристиках
- •Комплексные частотные характеристики цепей с одним реактивным элементом
- •Понятие о резонансе в электрических цепях
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 3.2. Последовательный колебательный контур
- •Cхемы замещения и параметры элементов контура
- •Энергетические процессы в последовательном колебательном контуре
- •Входные характеристики
- •Передаточные характеристики
- •Избирательные свойства последовательного колебательного контура
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 3.3. Параллельный колебательный контур
- •Схемы замещения
- •Параллельный колебательный контур основного вида
- •Параллельный колебательный контур с разделенной индуктивностью
- •Параллельный колебательный контур с разделенной емкостью
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 3.4. Связанные колебательные контуры
- •Общие сведения
- •Схемы замещения
- •Настройка связанных контуров
- •Частотные характеристики
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Общие сведения
- •Методы, основанные на непосредственном применении законов Кирхгофа
- •Метод контурных токов
- •Метод узловых напряжений
- •Формирование уравнений электрического равновесия цепей с зависимыми источниками
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 4.2. Основные теоремы теории цепей
- •Принцип наложения
- •Теорема взаимности
- •Теорема компенсации
- •Автономные и неавтономные двухполюсники
- •Теорема об эквивалентном источнике
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 4.3. Метод сигнальных графов
- •Общие сведения
- •Преобразования сигнальных графов
- •Применение сигнальных графов к анализу цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 5. Нелинейные резистивные цепи
- •Модуль 5.1. Постановка задачи анализа нелинейных резистивных цепей
- •Вводные замечания
- •Нелинейные резистивные элементы
- •Уравнения электрического равновесия нелинейных резистивных цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Модуль 5.2. Графические методы анализа нелинейных резистивных цепей
- •Простейшие преобразования нелинейных резистивных цепей
- •Определение рабочих точек нелинейных резистивных элементов
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Задача аппроксимации
- •Выбор аппроксимирующей функции
- •Определение коэффициентов аппроксимирующей функции
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Нелинейное сопротивление при гармоническом воздействии
- •Понятие о режимах малого и большого сигнала
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 6. Методы анализа переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами
- •Модуль 6.1. Задача анализа переходных процессов
- •Возникновение переходных процессов. Понятие о коммутации
- •Законы коммутации
- •Общий подход к анализу переходных процессов
- •Определение порядка сложности цепи
- •Вопросы для самопроверки
- •Модуль 6.2. Классический метод анализа переходных процессов
- •Свободные и вынужденные составляющие токов и напряжений
- •Порядок анализа переходных процессов классическим методом
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 6.3. Операторный метод анализа переходных процессов
- •Преобразование Лапласа и его применение к решению дифференциальных уравнений
- •Порядок анализа переходных процессов операторным методом
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 6.4. Операторные характеристики линейных цепей
- •Реакция цепи на экспоненциальное воздействие
- •Понятие об операторных характеристиках
- •Методы определения операторных характеристик
- •Дифференцирующие и интегрирующие цепи
- •Вопросы для самопроверки
- •Единичные функции и их свойства
- •Переходная и импульсная характеристики линейных цепей
- •Методы определения временных характеристик
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие
- •Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее переходной характеристике
- •Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее импульсной характеристике
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 7. Основы теории четырехполюсников и многополюсников
- •Модуль 7.1. Многополюсники и цепи с многополюсными элементами
- •Задача анализа цепей с многополюсными элементами
- •Классификация и схемы включения многополюсников
- •Основные уравнения и первичные параметры линейных неавтономных многополюсников
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Классификация проходных четырехполюсников
- •Основные уравнения и первичные параметры неавтономных проходных четырехполюсников
- •Методы определения первичных параметров неавтономных проходных четырехполюсников
- •Первичные параметры составных четырехполюсников
- •Схемы замещения неавтономных проходных четырехполюсников
- •Автономные проходные четырехполюсники
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Характеристические постоянные передачи неавтономного проходного четырехполюсника
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Модуль 7.4. Невзаимные проходные четырехполюсники
- •Идеальные усилители напряжения и тока
- •Однонаправленные цепи и цепи с обратной связью
- •Идеальные операционные усилители
- •Преобразователи сопротивления
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Модуль 7.5. Электрические фильтры
- •Классификация электрических фильтров
- •Реактивные фильтры
- •Активные фильтры
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 8. Цепи с распределенными параметрами
- •Модуль 8.1. Задача анализа цепей с распределенными параметрами
- •Общие сведения
- •Общее решение дифференциальных уравнений длинной линии
- •Вопросы для самопроверки
- •Волновые процессы в однородной длинной линии
- •Режим стоячих волн
- •Режим смешанных волн
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Проходной четырехполюсник с распределенными параметрами
- •Входное сопротивление отрезка однородной длинной линии
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Распределение напряжения и тока в однородной линии без потерь при произвольном внешнем воздействии
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Модуль 8.5. Цепи с распределенными параметрами специальных типов
- •Резистивные линии
- •Неоднородные линии
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Ответы
- •Книга 9. Синтез электрических цепей
- •Модуль 9.1. Задача синтеза линейных электрических цепей
- •Понятие физической реализуемости
- •Основные этапы синтеза цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Понятие о положительных вещественных функциях
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 9.3. Методы реализации реактивных двухполюсников
- •Методы выделения простейших составляющих (метод Фостера)
- •Метод разложения в цепную дробь (метод Кауэра)
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 9.4. Основы синтеза линейных пассивных четырехполюсников
- •Задача синтеза четырехполюсников
- •Методы реализации пассивных четырехполюсников
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 10. Методы автоматизированного анализа цепей
- •Модуль 10.1. Задача автоматизированного анализа цепей
- •Понятие о ручных и машинных методах анализа цепей
- •Общие представления о программах машинного анализа цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Топологические матрицы и топологические уравнения
- •Свойства топологических матриц
- •Компонентные матрицы и компонентные уравнения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Методы узловых напряжений и контурных токов
- •Метод переменных состояния
- •Формирование уравнений состояния в матричной форме
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 10.4. Особенности современных программ автоматизированного анализа цепей
- •Выбор методов формирования уравнений электрического равновесия. Понятие о поколениях программ автоматизированного анализа цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Ответы
- •Заключение
- •Приложения
- •Приложение 1. Таблица оригиналов и изображений по Лапласу
- •Приложение 2. Основные уравнения проходных четырёхполюсников
- •Приложение 3. Соотношения между первичными параметрами проходных четырехполюсников
- •Приложение 5. Соотношения между первичными параметрами взаимных и симметричных четырехполюсников
- •Приложение 6. Приставки для образования кратных и дольных единиц
- •Приложение 7. Инструкция для работы с Самоучителем по курсу «Основы теории цепей»
- •Список литературы
Решения и методические указания
10.10р. Вектор узловых токов содержит в данном случае три элемента (по числу независимых узлов) и определяется выражением
,
где А матрица узлов; Y — матрица проводимостей ветвей; , — векторы за дающих токов и напряжений. Перечисленные матрицы рассматриваемой цепи были
определены ранее при решении задач 10.1 р и 10.7р. Подставив |
A Y |
, |
и , в выра |
|||||||||
, |
||||||||||||
жение для |
, найдем |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|||||||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
||||||
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
||
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
. |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
Каждый элемент вектора соответствует определенному независимому узлу цепи; его значение равно алгебраической сумме тока источника тока и начального
тока индуктивной ветви, инцидентных этому),узлу. Если некоторому узлу ин |
|||
цидентна ветвь с источником, |
напряжения ( , |
то ее влияние учитывается с по |
|
мощью члена |
что эквивалентно преобразованию источника напряжения в ис |
||
точник тока. |
Матрица узловых проводимостей |
рассматриваемой цепи имеет |
|
10.11р. |
|
|
|
размеры 3x3 (число независимых узлов равно трем) и определяется выражением
(10.29): , .
Матрицы А и Y были найдены ранее при решении задач 10.1р и 10.7р. После выполнения требуемых действий над матрицами находим элементы искомой мат рицы:
; |
; |
0; |
; |
. |
; |
10.16р. Вектор контурных ЭДС рассматриваемой цепи |
содержит три эле |
мента (по числу независимых контуров) и определяется выражением
,
где В — матрица главных контуров; Z — матрица сопротивлений ветвей; , — векторы задающих токов и напряжений.
890
Для рассматриваемой цепи |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
||
|
|
|
0 |
1 |
0 |
1 |
1 . |
|
При этом матрица |
Z |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
— квадратная, диагональная, |
; |
, |
|||||
|
|
diag |
; |
|
; |
; |
||
векторы и имеют вид (см. решение задачи 10.8р) |
0 . |
|||||||
|
|
, |
|
; |
0 |
; |
;0; |
После выполнения указанных операций над матрицами получим
0 ; |
0 |
0 ; |
. |
Каждый элемент этого вектора соответствует определенному независимому контуру цепи, его значение равно алгебраической сумме ЭДС источников напря жения и начальных напряжений емкостных ветвей, входящих в этот контур.
10.17р. Матрица контурных сопротивлений |
имеет размеры 3x3 (число не |
||
зависимых контуров равно трем) и определяется выражением |
= |
. Матри |
цы и рассматриваемой цепи определены при решении задачи 10.16р. Выполнив необходимые действия над матрицами, найдем элементы искомой матрицы:
; |
0; |
; |
; |
; |
|
. |
10.22м. Топологические матрицы рассматриваемой цепи, соответствующие за данному дереву, найдены при решении задачи 10.1р; компонентные матрицы этой цепи получены при решении задачи 10.8р.
10.23р. Собственным деревом графа электрической цепи называют дерево, со держащее все источники напряжения и все емкостные элементы и не содержащее источников тока и индуктивных элементов. Для цепей, не имеющих топологических вырождений (емкостных контуров и индуктивных сечений), всегда можно постро
ить, поа, |
крайней мере, одно собственное дерево. Граф цепиа, изображенной на рис. |
|
Т10.5, |
имеет три различных собственных дерева (рис. 10.9, |
в . |
) |
891
Рис. Т10.9
Матрица сечений хорд , соответствующая какому либо собственному дереву графа, может быть сформирована двумя способами: 1) выделена из матрицы глав ных сечений; 2) построена при рассмотрении главных контуров, соответствующих выбранному собственному дереву.
Для построения матрицы |
первым из указанных способов пронумеруем вет |
ви графа в следующем порядке: |
|
ветви с источниками напряжения;
ветви с емкостными элементами;
ветви с резистивными элементами, вошедшими в собственное дерево;
ветви с резистивными элементами, не вошедшими в собственное дерево;
—ветви с индуктивными элементами;
ветви с источниками тока.
Составим матрицу главных сечений графа рассматриваемой цепи, располагая столбцы в порядке возрастания номеров ветвей, а строки в порядке увеличения но меров ветвей дерева, соответствующих каждому из главных сечений. Для собствен ного дерева цепи, изображенного на рис. Т10.9, а, матрица главных сечений имеет следующий вид:
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
в х |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
, |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
где в — единичная матрица, число столбцов и строк которой равно числу ветвей
дерева; |
— искомая матрица сечений хорд [строки этой матрицы соответствуют |
||||||||||
ветвям собственного дерева, а столбцы |
0 |
главным ветвям (хордам)]: |
0 |
||||||||
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
||
|
в |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
; х |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
0 0 1 0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 . |
|||||
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
Элементы, входящие в какой либо столбец матрицы |
показывают, какие |
|||
ветви дерева и с какой ориентацией входят в главный контур, замыкаемый, |
главной |
|||
ветвью, соответствующейi |
рассматриваемому столбцу . Элемент |
стоящий на пере |
||
сечении й строки и го столбца, равен нулю, если |
яветвь дерева не входит в глав |
|||
ный контур, соответствующий й главной ветви; |
1, если |
я ветвь дерева вхо |
892
дит в й главный контур и ее ориентация совпадает с направлением обхода конту ра; 1, если я ветвь дерева входит в й главный контур, а ее направление про тивоположно направлению обхода контура. С учетом указанных свойств элементов матрица может быть получена путем анализа состава главных контуров, со ответствующих выбранному собственному дереву цепи, минуя этап составления ма
трицы главных сечений.
10.25р. Понятие нормального дерева вводится для цепей с топологическими вырождениями, для которых невозможно построить собственное дерево. Нормаль ным деревом графа электрической цепи называют дерево, содержащее все источни ки напряжения, максимально возможное число емкостных элементов, минимально возможное число индуктивных элементов и не содержащее источников тока. Для цепи, приведенной на рис. Т10.6, нормальное дерево состоит из источников напря
жения , и одной из емкостей ИЛИ (рис. Т10.10, |
а, б |
). |
|
Рис. Т10.10
10.27м. Матрица сечений хорд, соответствующая выбранному нормальному дереву, для цепи с топологическими вырождениями строится таким же образом, как и матрица , соответствующая собственному дереву для цепи без топологических вырождений (см. решение задачи 10.23р).
10.28р. Матрица сечений хорд |
позволяет выразить токи ветвей дерева в |
||||||
через токи главных ветвей |
х и напряжения главных ветвей |
х через напряжения |
|||||
ветвей дерева в: в |
х , х |
|
х в. |
|
|
а |
(см. решение задачи |
Для собственного дерева, изображенного на рис. Т10.9, |
|
||||||
10.23р), можно записать |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
; |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
или в скалярной форме
893
; |
; |
; ;
; ;
; .
;
Напомним, что направления напряжений источников тока и ЭДС проти воположны направлениям стрелок на условном графическом изображении этих ис точников.
Рис. Т10.11
10.30р. В соответствии с числом и типом энергоемких элементов цепи выберем в качестве независимых переменных (переменных состояния) ток индуктивного элемента и напряжение емкостных элементов и . Данная цепь обладает единственным собственным деревом (рис. Т10.11). Соответствующая этому дереву матрица сечений хорд имеет следующий вид:
|
1 |
0 |
0 |
х |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 . |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
С помощью матрицы |
запишем топологические уравнения рассматриваемой |
||||
цепи: |
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
1 |
0 |
; |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
||
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
894
Используя эти уравнения, а также компонентные уравнения
d |
; |
d |
; |
; |
; |
; |
d |
, |
d |
d |
d |
найдем уравнения для производных от переменных состояния и для токов рези стивных ветвей:
d
d ;
d
d ;
d
d ;
;
1
;
1
.
Исключив из найденных уравнений все переменные, кроме переменных со стояния, получим:
d
d ;
d
d ;
d |
1 |
1 |
|
|
|
|
, |
||||
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или в матричной форме
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
||||
|
0 |
0 |
d |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
|
|||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
0 |
0 |
|
d |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
10.32м. Уравнения состояния цепей с топологическими вырождениями наряду с ν дифференциальными уравнениями, где порядок сложности цепи, содержат также алгебраические уравнения, связывающие между собой напряжения емкост ных элементов, образующих емкостные контуры, или токи индуктивных элементов, входящих в индуктивные сечения.
895