Таким образом, зависимости между токами и напряжениями всех ветвей элек­ трической цепи могут быть представлены в виде одного матричного компонентного уравнения в форме (10.24) или (10.25), причем вся информация о характере ветвей и параметрах входящих в них элементов заключается в компонентных матрицах ,

,или , , .

Необходимо отметить, что введенные компонентные и топологические матри цы цепи относятся к так называемым разреженным матрицам, содержащим боль шое число нулевых элементов. Хранение таких матриц в памяти ЭВМ в виде двух мерных массивов неэкономично (значительная часть памяти будет занята хранени ем нулевых коэффициентов). Как правило, программы анализа цепей организуют таким образом, чтобы в памяти ЭВМ хранилась информация только о ненулевых элементах матриц. Данные о координатах и значениях ненулевых элементов компо нентных и топологических матриц представляют в виде совокупности одномерных массивов, называемых списками [8, 22]. Дополнительно объем памяти ЭВМ можно сэкономить за счет того, что ненулевые элементы топологических матриц могут принять значения только 1 или — 1.

Так как элементы компонентных и топологических матриц численно рав­ ны коэффициентам компонентных (10.24) или (10.25) и топологических (10.4), (10.6) уравнений, запись в память ЭВМ элементов этих матриц можно рассмат­ ривать как занесение и память ЭВМ коэффициентов основной системы уравне­ ний электрического равновесия цепи, а формирование компонентных и топо­ логических матриц равносильно, следовательно, формированию основной сис­ темы уравнений электрического равновесия цепи в матричной форме.

При использовании принятого в этой главе топологического описания основ ная система уравнений электрического равновесия цепи, содержащей ветвей, включает в себя 2 уравнений. Число уравнений электрического равновесия может быть уменьшено за счет исключения из основной системы уравнений зависимых токов и напряжения с помощью методов узловых напряжений и контурных токов.

Вопросы для самопроверки

1.Почему в программах автоматизированного (машинного) анализа исполь зуется матричное описание цепей, а не скалярное?

2.Что представляют собой топологические матрицы цепей?

3.Как формируется полная матрица узлов цепи? Какую информацию о цепи выражает эта матрица?

4.Как по сокращенной (редуцированной) матрице узлов построить изоморф ные графы исследуемой цепи?

5.Каким образом используют матрицы узлов для записи уравнений по перво му закону Кирхгофа?

6.Какую именно матрицу узлов – полную или сокращенную – нужно исполь зовать для получения системы линейно независимых уравнений, состав ленных по первому закону Кирхгофа?

868

7.Как формируется матрица главных сечений? Разъясните её физический смысл и способ применения.

8.Модифицируйте ответ на предыдущий вопрос для матрицы главных конту ров.

9.Запишите в матричной форме первый и второй законы Кирхгофа и разъяс ните смысл используемых матриц и векторов.

10.Перечислите и охарактеризуйте важнейшие свойства топологических мат риц.

11.Запишите все известные вам скалярные компонентные уравнения произ

15.Что представляет собой матрица сопротивлений ветвей и матрица прово димостей ветвей произвольной цепи?

16.Почему компонентные и топологические матрицы цепи относятся к разре женным матрицам? Какие практические результаты даёт разреженность матриц?

Задачи*

10.1р. Составьте полную и сокращенную матрицы узлов электрической цепи, схема которой приведена на рис. Т10.1. Найдите матрицы главных контуров и глав ных сечений данной цепи, выбрав ветви 1, 3, 5 в качестве ветвей дерева.

Рис. Т10.1

10.2. Составьте матрицы узлов для цепей, изображенных на рис. Т10.2, а — е.

* Во всех задачах модуля 10.2 и задачах 10.10 – 10.22 модуля 10.3 предполагается использова ние одного из вариантов расширенного топологического описания, часто применяемого в програм мах автоматизированного анализа цепей, при котором идеализированный активный двухполюсник, содержащий источник напряжения или тока и соответствующее внутреннее сопротивление, рассмат риваетсявкачествеодной ветви.

869

10.7р. Составьте компонентные уравнения в форме Y для цепи, схема которой изображена на рис. Т10.1.

10.8р. Составьтекомпонентныеуравнения в форме Z для цепи, представленной на рис. Т10.1.

10.9. Составьте матричные компонентные уравнения в формах Y и Z для цепей, схемы которых приведены на рис. Т10.2, а, в.

Решения и методические указания

10.1. Граф цепи, соответствующий принятому в данном параграфе топологи

совпадают с номерами соответствующих узлов, причем строка с номером 0 распола

871

Матрица главных контуров В графа рассматриваемой цепи, соответствующая выбранному дереву, содержит 5 столбцов и 1 2 строки, причем номера строк совпадают с номерами соответствующих им главных контуров (будем нумеровать главные контуры в порядке возрастания номеров входящих в них глав ных ветвей):

строки, номера которых соответствуют номерам главных сечений (будем нумеро вать главные сечения в порядке возрастания номеров входящих в них ветвей дере

Элемент , стоящий на пересечении й строки и го столбца, равен единице, если ветвь входит в главное сечение и ее направление относительно линии сече

10.3м. Отыскание графа упрощается, если от сокращенной матрицы узлов А перейти к полной матрице узлов Аc.

10.6м. Основными контурами планарной (плоской) цепи называют контуры, образованные ячейками графа цепи (на рис. Т10.2, е показаны стрелками). Направ ление обхода всех контуров удобно выбирать одинаковым (например, по часовой стрелке).

872

1

0 .

Используя эти соотношения, составим компонентные уравнения для каждой из вет вей цепи, схема которой изображена на рис. Т10.1:

Объединив эти уравнения в одно, получим матричное компонентное уравне ние цепи в форме Y:

,

где

Матрица проводимостей ветвей Y — квадратная, диагональная, элементы ее глав ной диагонали представляют собой проводимости ветвей:

Анализируя структуру полученного компонентного уравнения цепи, можно сформулировать простые правила, позволяющие записать матричное компонентное уравнение цепи непосредственно по виду схемы цепи, т. е. минуя этап составления системы скалярных уравнений:

матрицы столбцы (векторы) i и u содержат токи и напряжения ветвей; число элементов в них равно общему числу ветвей;

вектор учитывает наличие в ветвях источников напряжения, причем ЭДС каждого такого источника записывается со знаком минус, если положительные на правления ЭДС и тока ветви совпадают, и со знаком плюс — в противоположном случае;

в векторе от нуля отличаются только элементы, относящиеся к индук тивным ветвям и к ветвям с источниками тока — эти элементы равны соответст венно начальным значениям токов индуктивных элементов и токам источников то ка;

873

число элементов в каждом из векторов и равно числу ветвей;

матрица проводимостей Y — квадратная, отличными от нуля в ней являются лишь элементы главной диагонали, которые представляют собой проводимости ветвей рассматриваемой цепи.

альныйисточниктока свнутреннимсопротивлением ,имеютследующийвид:

00 ;

0 1 0 ;

00 ;

0 ;

0.

Используя эти соотношения, составим компонентное уравнение для каждой из ветвей рассматриваемой цепи:

0.

Объединив эти уравнения в одно, получим матричное компонентное уравне ние цепи в форме Z:

задачи 10.7р), матричное компонентное уравнение в форме можно записать для

874

любой цепи сразу, минуя этап получения системы скалярных компонентных урав нений.

Матрицы столбцы (векторы) i и u содержат токи и напряжения ветвей; число элементов в них равно числу ветвей. Вектор учитывает начальные значения на пряжений емкостных ветвей, а также наличие в ветвях источников напряжения. ЭДС каждого такого источника записывается со знаком минус, если положительные на

рах и равно числу ветвей рассматриваемой цепи.

875