Рассмотрим простейшие эквивалентные преобразования, которые можно при менять при анализе безынерционных нелинейных резистивных цепей, находящихся под произвольным внешним воздействием.
Пусть участок цепи (рис. 5.6, а) содержит два последовательно включенных не линейных сопротивления R1 и R2 , ВАХ которых представлены на рис. 5.6, б. Очевид но, что при любом значении тока iвх = i1 = i2 напряжение uвх на зажимах данного уча стка цепи равно сумме напряжений на каждом из нелинейных сопротивлений: uвх = u1(i1) + u2(i2). Суммируя ординаты зависимостей u1(i1)и u2(i2), получаем зависимость между напряжением uвх и током iвх на зажимах рассматриваемого участка цепи (рис. 5.6, б). Таким образом, участок цепи,
Рис. 5.6. Схема участка цепи с последовательно включенными нелинейными сопро тивлениями (а) и их ВАХ (б)
содержащий два последовательно включенных нелинейных сопротивления, может быть заменен одним нелинейным сопротивлением ВАХ uвх(iвх) которого получается путем суммирования ординат ВАХ u1(i1) и u2(i2) сопротивлений и . Аналогич ным образом можно заменить участок цепи, содержащий последовательно вклю ченные линейное и нелинейное сопротивления, а также участок цепи, представ ляющий собой последовательное соединение произвольного числа линейных и не линейных сопротивлений или последовательное соединение нелинейного сопро тивления и источника постоянного напряжения Е_. В последнем случае ВАХ рас сматриваемого участка цепи u(i) получается путем смещения ВАХ нелинейного со противления u1(i) вдоль оси напряжений на ±Е_ (рис. 5.7).
407
Рис. 5.7. Последовательное соединение нелинейного сопротивления и источника по стоянной ЭДС (а), ВАХ нелинейного сопротивления и ВАХ участка цепи при Е_>0 (б)
и Е_ <0 (в).
Пример5.1.Найдем зависимость между током и напряжением участка цепи рис. 5.8, а , представляющего собой последовательное соединение нелинейного R1, и линейного R2 сопротивлений, ВАХ u1 i1 и u2 i2 которых приведены на рис. 5.8, б. Определим изменение напряжения ∆u2 на линейном сопротивлении R2, соответствующее приращению напряже ния на зажимах цепи uвх на ∆uвх.
ВАХ uвх iвх исследуемого участка цепи получаем, суммируя ординаты ВАХ u1 i1 и u2 i2 последовательно включенных элементов. Используя эту характеристику рис. 5.8.б ,
Рис. 5.8. К примеру 5.1
можно найти приращение тока цепи ∆iвх , соответствующее изменению входного напряжения на ∆uвх. По зависимости u2 i2 определяем соответствующее данному прираще нию тока приращение напряжения ∆u2 на линейном сопротивлении. Как видно из рис. 5.8, б, приращение напряжения на линейном сопротивлении оказалось значительно меньше вы звавшего его изменения входного напряжения ∆uвх.
Рассмотрим участок цепи (рис. 5.9, а), представляющий собой параллельное со единение двух нелинейных сопротивлений R1 и R2, ВАХ которых i1(u1) и i2(u2) при ведены на рис. 5.9, б. Как следует из первого закона Кирхгофа, входной ток iвх данно го участка цепи при любом напряжении uвх = u1 = u2 равен сумме токов нелинейных сопротивлений: iвх = i1(u1) + i2(u2). Суммируя ординаты зависимостей i1(u1) и i2(u2), получаем ВАХ iвх(uвх) нелинейного сопротивления, которым можно заменить иссле дуемый участок цепи (рис. 5.9, б). Используя аналогичный прием, можно определить ВАХ участка цепи, содержащего произвольное число параллельно включенных ли
408
Рис. 5.9. Схема участка цепи с параллельно включенными нелинейными сопротив лениями (а) и их ВАХ (б)
нейных и нелинейных сопротивлений или представляющего собой параллельное соединение нелинейного сопротивления и источника постоянного тока J_ [в послед нем случае ВАХ участка цепи i(u) получается путем смещения ВАХ нелинейного со противления i1(u) вдоль оси токов на ± J_ (рис. 5.10)].
Рис. 5.10. Параллельное соединение нелинейного сопротивления и источника постоянного тока (а), ВАХ нелинейного сопротивления и ВАХ участка цепи при J_ >0 (б)
Поочередное применение правил эквивалентного преобразования участков с последовательным и параллельным соединением элементов позволяет постепенно «сворачивать» участки цепей со смешанным соединением линейных и нелинейных сопротивлений с монотонными ВАХ.
Пример5.2.Найдем зависимость между током и напряжением на входе участка цепи со смешанным соединением элементов рис. 5.11, а . ВАХ u1 i1 , u2 i2 и u3 i3 сопротивлений R1, R2 и R3 приведены на рис. 5.11, б. Определим приращение напряжения на сопротивлении R2, соответствующее изменению входного напряжения на ∆uвх.
Суммируя абсциссы кривых u2 i2 и u3 i3 , получаем ВАХ u2 iвх u3 iвх участка цепи, представляющего собой параллельное соединение сопротивлений R2 и R3. Далее, суммируя ординаты кривых u1 i1 и u2 iвх u3 iвх , строим зависимость между током и напряжением uвх iвх на входе рассматриваемого участка цепи.
Пусть напряжение на входе цепи изменилось на ∆uвх. Используя зависимость uвх iвх находим приращение тока ∆iвх , соответствующее этому изменению входного напряжения, и далее с помощью кривой u2 iвх u3 iвх определяем приращение напряжения на линейном
409
Рис. 5.11. К примеру 5.2
сопротивлении R2. Как и для цепи, исследованной в примере 5.1, приращение напряжения u2 оказывается значительно меньшим, чем вызвавшее его изменение входного напряжения uвх.
Цепи, рассмотренные в примерах 5.1 и 5.2, можно использовать для стабилиза ции напряжения. Отношение относительного приращения напряжения на входе та ких цепей к относительному приращению выходного напряжения называется ко эффициентом стабилизации:
∆ вх
вх
ст
∆ вых
вых
.
5.2
Очевидно, что для цепи, схема которой приведена на рис. 5.8, а, kст. >1, если ВАХ нелинейного элемента [кривая u1(i1) на рис. 5.8, б] будет иметь нарастающую кру тизну (будет вогнутой), а для цепи, схема которой приведена на рис. 5.11, а, в том случае, когда ВАХ нелинейного элемента [кривая u3(i3) на рис. 5.11, б] будет обла дать убывающей крутизной (будет выпуклой).
Следует подчеркнуть, что эффект стабилизации напряжения в принципе не может иметь места в цепях, составленных из элементов с линейными ВАХ.
Определение рабочих точек нелинейных резистивных элементов
Задача анализа нелинейной цепи постоянного тока обычно сводится к опреде лению рабочих точек нелинейных резистивных элементов, т. е. к нахождению токов и напряжений на зажимах этих элементов, соответствующих заданным значениям ЭДС независимых источников постоянного напряжения и токов независимых источ
410
ников постоянного тока. Эта задача во многих случаях легко решается графически ми методами.
Рассмотрим простейшую цепь, состоящую из идеального источника постоянно го напряжения Е_ и нелинейных сопротивлений R1 и R2 (рис. 5.12, а), ВАХ которых приведены на рис. 5.12, б [кривые i1(u1) и i2(u2)]. Для нахождения рабочих точек со противлений R1 и R2 воспользуемся методикой преобразования участка цепи с по следовательным соединением нелинейных элементов. Суммируя абсциссы кривых i1(u1) и i2(u2), получаем ВАХ участка цепи, представляющего собой последовательное соединение сопротивлений R1 и R2 [кривая i(u)]. Используя эту зависимость, опреде ляем постоянный ток I_, протекающий через данный участок цепи, а следовательно, и через каждое из сопротивлений, если напряжение на зажимах этого участка цепи равно напряжению независимого источника Е_ Далее по ВАХ i1(u1) и i2(u2) каждого из сопротивлений определяем падения напряжения на этих сопротивлениях U1− и U2−,
Рис. 5.12. Определение рабочих точек нелинейных сопротивлений
вызванное током I_. Аналогично можно найти рабочие точки произвольного числа последовательно включенных нелинейных и линейных сопротивлений, соответст вующие различным значениям ЭДС независимого источника постоянного напряже ния.
В простейшем случае, когда цепь содержит только два последовательно вклю ченных сопротивления, а ЭДС независимого источника имеет одно заданное значе ние Е_, для определения рабочих точек сопротивлений можно воспользоваться бо лее простым приемом, позволяющим обойтись без построения суммарной ВАХ со противлений. С этой целью на оси напряжений (рис. 5.12, в) откладывают отрезок, соответствующий заданному значению ЭДС источника напряжения, и из конца этого отрезка строят зеркальное отображение ВАХ одного из элементов, например сопро тивления R2 [кривая i2 (Е_— u) на рис. 5.12, в]. В точке пересечения i1(u) и i2(E_ — u) выполняются условия электрического равновесия цепи I1− = I2− = I−; U1− + U2− = Е_. Следовательно, точка пересечения i1(u) и i2(E_—u) и есть искомая рабочая точка не линейных сопротивлений R1 и R2. Сопротивление R2, ВАХ которого представляется в виде i2 (Е_—u),обычно рассматривается как сопротивление нагрузки нелинейного элемента R1, а кривая i2(E_—u)называется нагрузочной кривой.
411
Рис. 5.13. Определение рабочей точки нелинейного сопротивления с линейной на грузкой
Задача определения рабочей точки нелинейной цепи с последовательным со единением двух сопротивлений особенно упрощается, если одно из сопротивлений, например R2, является линейным (рис. 5.13, а). В этом случае для определения рабо чей точки нелинейного сопротивления R1 необходимо найти точку пересечения ВАХ этого сопротивления с нагрузочной прямой i2(E_— u) = (E_— u)/R2, проведенной че рез точку u = E_ на оси напряжений и точку i=E_/R2 на оси токов (рис. 5.13, б). Анало гичным образом определяют рабочие точки элементов с немонотонными ВАХ и управляемых нелинейных резистивных элементов.
Пример5.3.Определим ток стока I_ и напряжение сток исток U_. полевого транзи стора с изолированным затвором, входящего в электрическую цепь, схема, которой приве дена на рис. 5.14 R 2,5 кОм, Е_ 20 В, Uзи 1 В . Выходные ВАХ транзистора приведены на рис. 5.4, а.
Рис. 5.14. К примеру 5.3
Рабочая точка транзистора определяется пересечением ВАХ транзистора, соответ
ствующей напряжению
затвор исток Uзи 1 В, и нагрузочной прямой, проведенной через
точки u Е_ 20 В, i 0
мА и u 0,
i Е_/R
8 мА, см. рис. 5.4, а . Искомые значения тока
стока и напряжения сток исток: I_
6,4 мА, U_
4 В.
Используя графические построения, несложно убедиться, что в тех случаях, ко гда ВАХ нелинейного резистивного элемента монотонна, эта ВАХ пересекается с на грузочной прямой только в одной точке, т. е. имеется единственная рабочая точка (единственное состояние равновесия). Немонотонная ВАХ может пересекаться с на грузочной прямой в нескольких точках (рис. 5.15), и, следовательно, нелинейный рези
412
стивный элемент с немонотонной ВАХ может иметь несколько рабочих точек (не сколько состояний равновесия) *.
i
i1(u)
i2(E_- u)
0
E_ u
Рис. 5.15. К определению рабочих точек нелинейного сопротивления с немонотонной ВАХ
Если в состав сложной цепи, содержащей произвольное число источников энергии и линейных сопротивлений, входит только один нелинейный элемент, то для определения его рабочей точки можно воспользоваться теоремой об эквива лентном источнике. С этой целью нелинейный элемент выделяют из цепи, а остав шуюся ее часть представляют в виде линейного автономного двухполюсника АД (рис. 5.16, а). Заменяя двухполюсник последовательной схемой замещения (рис. 5.16, б), задачу анализа сложной цепи сводят к рассмотренной ранее задаче определения рабочей точки нелинейного элемента с линейной нагрузкой (см. рис. 5.13, а).
Рис. 5.16. К применению теоремы об эквивалентном источнике для анализа цепи с одним нелинейным элементом
Определение реакции безынерционного нелинейного резистивного эле мента на произвольное внешнее воздействие
Графические методы позволяют определить реакцию произвольного безынер ционного нелинейного элемента на заданное внешнее воздействие. Пусть s(x) — ВАХ некоторого нелинейного сопротивления (рис. 5.17, а), причем х — величина, принятая в качестве внешнего воздействия, а s — величина, рассматриваемая как
* Более подробно вопросы, связанные с определением рабочих точек элементов с немонотон ной ВАХ, в том числе с исследованием устойчивости состояний равновесия цепей с такими элемента ми, будут рассмотрены в курсе «Радиотехнические цепи и сигналы».
413
реакция нелинейного сопротивления на это воздействие. Построим на этом же ри сунке зависимости внешнего воздействия x=x(t) и реакции s=s(t) от времени. График x(t) расположим в нижней части рисунка так, чтобы ось х этого графика была парал лельна оси х ВАХ, а ось времени — направлена вниз и являлась продолжением оси s графика s(x). Зависимость s=s(t) построим в правой части рисунка так, чтобы ось времени была направлена вправо и являлась продолжением оси х графика s(x), а ось s(t) была расположена параллельно оси s ВАХ.
Рис. 5.17. К определению реакции безынерционного нелинейного резистивного элемента на заданное внешнее воздействие
Для определения реакции цепи на заданное внешнее воздействие необходимо для каждого момента времени t1 выполнить следующие графические построения: по графику функции x(t) найти мгновенное значение внешнего воздействия x(t1) затем по ВАХ определить соответствующее этому внешнему воздействию мгновенное зна чение реакции s(t1) и построить точку с координатами t1, s(t1) на графике s=s(t). Оче видно, что при увеличении числа точек на временной оси, для которых выполняют ся такие построения, точность нахождения реакции элемента на заданное внешнее воздействие возрастает. Недостатком рассмотренного приема является то, что гра фики x(t) и s(t) построены в разных местах чертежа, а это неудобно при определе нии взаимно соответствующих точек на временных осях и затрудняет сравнение формы кривых x(t) и s(t).
Этот недостаток может быть устранен, если график x(t) построить непосредст венно под графиком s(t) (рис. 5.17, б). В этом случае линии, проецирующие точки графика x=x(t) на ВАХ s(x), перегнутся под углом 90°, причем точки перегиба распо ложатся на некоторой вспомогательной прямой, проведенной под углом 45° к коор
414
динатным осям через точку пересечения оси s ВАХ и оси времени зависимости x =x (t).
Как видно из рисунка, реакция нелинейной цепи на гармоническое воз действие в общем случае не является гармонической функцией времени.
Графические построения, приведенные на рис. 5.17, б, можно использовать и для решения обратной задачи — определения вида ВАХ безынерционного нелиней ного резистивного элемента по известной реакции этого элемента на заданное внешнее воздействие. Например, на рис. 5.18 показано, как с помощью описанных графических построений найти вид ВАХ нелинейных резистивных элементов, обес печивающих двустороннее ограничение гармонических колебаний (Рис 5.18, а), од нополупериодное (рис. 5.18, б) и двухполупериодное (рис. 5.18, в) выпрямление пе
Рис. 5.18. К определению вида ВАХ по известной реакции безынерционного рези стивного элемента на заданное внешнее воздействие
