Задачи

2.13м. К зажимам идеализированного пассивного элемента (рис. Т2.2) прило жено напряжение u = 0,24 cos (1885t + 74○) мВ. Определите тип и параметры элемен та, если: a) i = 2,8 cos (1885t + 74°) мкА; б) i = 2,8 cos (1885t + 164°) мкА; в) i = 2,8 cos (1885 + 344°) мкА.

2.17.К идеализированному емкостному элементу С1 = 0,5 мкФ приложено на пряжение u = 8,5cos(106t + π/2) В. Определите комплексное входное сопротивление элемента, комплексную входную проводимость, сдвиг фаз между напряжением и то ком, комплексную амплитуду и комплексное действующее значение тока. Вычисли те энергию w, запасенную в емкостном элементе в момент времени t = 2,5∙10– 6 с, а также максимальное значение запасаемой энергии. При каких значениях t запасае мая энергия равна половине максимальной? Найдите значения тех же величин, если С2 = 0,1С1.

2.18.Ток через индуктивный элемент L = 24 мкГн изменяется по косинусои дальному закону i = 0,15 cos (106 t + 60°) А. Определите комплексное входное сопро тивление элемента и комплексное действующее значение напряжения на нем. За пишите выражение для мгновенного значения напряжения u. Рассчитайте энергию w, запасенную в индуктивном элементе в момент времени t = 1 мкс. В какие момен ты времени запасаемая энергия равна 0,1 от своего максимального значения?

2.19.Начиная с момента t0 = 0 ток через резистивный элемент (R = 50 кОм) из меняется по следующему закону: i = 2 cos (106 t – 60°) мА. Найдите комплексное дей

126

Модуль 2.4. Анализ простейших линейных цепей при гармоническом воз действии

Цель модуля: освоение метода комплексных амплитуд на примерах простей ших цепей с последовательным и параллельным соединением элементов, изучение свойств простейших пассивных цепей при гармоническом воздействии.

Последовательная RL цепь

Рассмотрим идеализированную электрическую цепь, состоящую из последова тельно включенных сопротивления R и индуктивности L (рис. 2.18, а). Пусть напря жение, приложенное к внешним зажимам цепи, изменяется по гармоническому за кону

где U, ω, ψu — заданные величины. Используя метод комплексных амплитуд, найдем установившееся значение тока i в цепи.

Искомый ток i является гармонической функцией времени той же частоты, что и приложенное напряжение:

где I, ψi — неизвестные действующее значение и начальная фаза тока i.

Представляя сопротивление и индуктивность комплексными схемами замеще ния и переходя от тока i и напряжения u к их комплексным изображениям

Рис. 2.18. Схемы и векторные диаграммы последовательной RL цепи

128

получаем комплексную схему замещения цепи (рис. 2.18, б). Далее, используя законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме, составляем систему уравнений электрическо го равновесия цепи:

цепь идеализированных элементов.

Подставляя (2.82) — (2.84) в уравнение (2.81), находим соотношение, связы вающее комплексные изображения искомого тока и заданного напряжения:

. 2.85

Выражение (2.85) представляет собой математическую запись закона Ома в комплексной форме для рассматриваемого участка цепи, причем Z = ZR + ZL= R + jωL комплексное входное coпротивление данного участка цепи. Выражению (2.85) мож но поставить в соответствие комплексную схему замещения цепи (рис. 2.18, в). Та ким образом, комплексное входное сопротивление цепи, состоящей из последова тельно включенных сопротивления R и индуктивности L, равно сумме комплексных сопротивлений этих элементов. В дальнейшем мы убедимся (см. модуль 2.6), что аналогично можно найти комплексное сопротивление любого участка цепи, пред ставляющего собой последовательное соединение произвольного числа идеализи рованных двухполюсных элементов.

Комплексное входное сопротивление рассматриваемой цепи может быть изо бражено на комплексной плоскости в виде вектора Z, равного геометрической сумме векторов ZR и ZL (рис. 2.18, г). Длина этого вектора равна, в выбранном масштабе, мо дулю комплексного входного сопротивления цепи

а угол наклона к положительной вещественной полуоси — его аргументу

Очевидно, что при конечных значениях ω, L и R угол φ лежит в пределах

Когда аргумент комплексного входного сопротивления φ какого либо двухпо люсника равен нулю, то говорят, что его входные сопротивление и проводимость

129

имеют чисто резистивный (вещественный) характер, когда |φ| = π/2, то входные со противление и проводимость имеют чисто реактивный (мнимый) характер. Если аргумент комплексного входного сопротивления двухполюсника равен + π/2, то его входные сопротивление и проводимость имеют индуктивный характер, если φ = ­ π/2 — емкостный. В рассматриваемом случае значение аргумента φ определяется соотношением (2.88), поэтому входное сопротивление цепи имеет резистивно­ индуктивный характер.

Используя (2.85), находим комплексное действующее значение искомого тока:

где z и φ определяются соотношениями (2.86) и (2.87). Из выражений (2.89) и (2.80) можно найти действующее значение и начальную фазу тока:

,.

Переходя от комплексного изображения тока к оригиналу, окончательно полу

чаем

В связи с тем, что при заданной частоте внешнего воздействия ω устано­ вившиеся значения токов и напряжений цепи полностью определяются их дей­ ствующими значениями и начальными фазами, на практике обычно не возни­ кает необходимости находить оригиналы токов и напряжений. Решение задачи анализа цепи считается законченным, если получены комплексные действую­ щие значения соответствующих функций.

Из векторной диаграммы видно, что действующие значения напряжения на входе цепи U, напряжения на сопротивлении UR и напряжения на индуктивности UL, которые определяют длину сторон треугольника напряжений, связаны соотноше

нием , т. е. действующее значение напряжения на входе цепи не равно алгебраической сумме действующих значений напряжений на элементах цепи.

130

Пример2.3.Найдем комплексное входное сопротивление и ток последовательной RL цепи см. рис. 2.18, а , к зажимам которой приложено напряжение

Последовательная RC цепь

Рассмотрим последовательную RC цепь (рис. 2.19, а), к зажимам которой при ложено напряжение u, изменяющееся по гармоническому закону. Найдем комплекс ный ток цепи и ее комплексное входное сопротивление.

Рис. 2.19. Схемы и векторные диаграммы последовательной RL цепи

131

противление цепи имеет резистивно индуктивный характер (0 < φ < π/2). Векторная диаграмма, построенная на основании уравнения (2.96) и иллюстрирующая данный случай, представлена на рис. 2.20, г (для большей наглядности векторы ZL и ZC изо бражены немного смещенными один относительно другого). Если xL < |xC|, то вход ное сопротивление цепи имеет резистивно емкостный характер (—π/2 < φ < 0) (рис. 2.20, д). При xL = |xC| мнимые составляющие входного сопротивления емкости хC и индуктивности xL взаимно компенсируются и входное сопротивление цепи имеет чисто резистивный характер (φ = 0) (рис. 2.20, е).

Используя уравнение (2.95), можно по известному напряжению, приложенному к внешним зажимам цепи, найти ток, и наоборот, найти напряжение по заданному току. Векторные диаграммы тока и напряжений цепи, соответствующие различным

напряжение на сопротивлении, совпадает по направлению с вектором ; вектор

нию на сопротивлении , ток цепи совпадает по фазе с приложенным напряжением

(φ = 0).

Рис. 2.21. Векторные диаграммы тока и напряжений последовательной RLC цепи

Пример2.4.Определим комплексное входное сопротивление и комплексный ток последовательной RLC цепи см. рис. 2.20, а с параметрами L 80 мкГн; С 500 пФ; R 100

Комплексное входное сопротивление цепи 2.96 равно сумме комплексных сопро тивлений входящих в нее элементов. Подставляя в 2.96 параметры элементов цепи, нахо дим комплексное сопротивление цепи при интересующих значениях частоты внешнего воз действия:

134

Таким образом, при ω ω1, входное сопротивление цепи имеет резистивно емкостный, при ω ω2 — резистивно индуктивный, при ω ω3 — чисто резистивный харак тер.

Используя закон Ома в комплексной форме 2.95 , находим комплексный ток цепи:

Как и следовало ожидать, учитывая характер комплексного входного сопротивле ния цепи на заданных частотах, при ω ω1 ток опережает напряжение по фазе на угол 80,5°, при ω ω2 ток отстает по фазе от напряжения на угол 75,6°, а при ω ω3 напряжение и ток совпадают по фазе.

Параллельная RLC цепь

Рассмотрим параллельную RLC цепь (рис. 2.22, а), к зажимам которой приложе но напряжение u, изменяющееся по гармоническому закону. Комплексная схема за мещения цепи, в которой идеализированные двухполюсные элементы представле ны их комплексными проводимостями, изображена на рис. 2.22, б.

Рис. 2.22. Схемы и векторные диаграммы проводимостей параллельной RLC цепи

Используя законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме, составим систему уравнений электрического равновесия цепи:

;

;

135

где YR=1/R; YС = jωС; YL=1/(jωL) — комплексные проводимости входящих в цепь идеализированных пассивных элементов.

где Y = YR + YC + YL — комплексная проводимость параллельной RLC цепи, равная сумме комплексных проводимостей параллельно включенных идеализированных элементов. Далее будет показано (см. модуль 2.6), что комплексная проводимость любого участка цепи, состоящего из произвольного числа параллельно включенных ветвей, равна сумме комплексных проводимостей этих ветвей.

Комплексная проводимость параллельной RLC цепи, как и комплексная прово димость любой линейной цепи, не зависит от амплитуды (действующего значения) и начальной фазы внешнего воздействия, а определяется только параметрами вхо дящих в цепь элементов и частотой внешнего воздействия:

Анализ выражений (2.101) показывает, что характер входной проводимости, а следовательно, и характер входного сопротивления параллельной RLC цепи зависят от соотношения между реактивными составляющими входной проводимости емко сти ЬC = ωC и индуктивности bL= ―1/(ωL). Если bC > |bL| (рис. 2.22, г), то входная про водимость цепи имеет резистивно емкостный характер аргумент комплексной про водимости π/2 > > 0, поэтому аргумент комплексного входного сопротивления φ лежит в пределах ― π/2 < φ < 0). При bC < |bL| (рис. 2.22, д) входная проводимость це пи имеет резистивно индуктивный характер, а при bC = |bL| (рис. 2.22, е) реактивные составляющие входной проводимости емкости ЬC и индуктивности bL взаимно ком пенсируются и входная проводимость цепи имеет чисто резистивный (веществен ный) характер.

Уравнение (2.99) представляет собой математическую запись закона Ома в комплексной форме для параллельной RLC цепи. Комплексная схема замещения це пи, соответствующая этому выражению, приведена на рис. 2.22, в. Используя урав нение (2.99), можно по заданному напряжению определить ток через внешние за жимы цепи и, наоборот, по заданному току вычислить приложенное к цепи напря жение. Векторные диаграммы для токов и напряжения параллельной RLC цепи приведены на рис. 2.23.

136