Как и следовало ожидать, выражения для реакции цепи на заданное воздействие, найденные с помощью импульсной характеристики цепи, совпадают с соответствующими выражениями, полученными с использованием переходной характеристики цепи пример

6.9 .

Используя известное из математики [12] свойство интеграла свертки

dd ,

из выражений (6.116) и (6.120) можно получить еще две формы записи интеграла Дюамеля:

d .

Приведенные формы записи интеграла Дюамеля равноценны в смысле полу чаемых результатов, поэтому выбор того или иного выражения определяется толь ко удобством вычислений и не носит принципиального характера.

Вопросы для самопроверки

1. Опишите постановку задачи определения реакции цепи на произвольное внешнее воздействие.

559

2.Какова суть спектрального метода решения задачи из вопроса 1?

3.Укажите основные идеи методов решения задачи из вопроса 1, основанных на применении интегралов Дюамеля.

4.Как и зачем представляют произвольное внешнее воздействие на цепь в виде суммы неединичных скачков? Как применяют далее переходную ха рактеристику цепи?

5.Укажите способ получения и смысл интеграла Дюамеля (интеграла наложе ния).

6.Как применяют интеграл Дюамеля для определения реакции цепи на внеш нее воздействие в виде кусочно непрерывной функции?

7.Как и зачем представляют произвольное внешнее воздействие на цепь в виде суммы импульсов? Как применяют далее импульсную характеристику цепи?

8.Приведите различные формы интегралов Дюамеля, поясните их смысл, ма тематическую структуру и технику применения для решения задачи из во проса 1.

Задачи

560

Эта функция может иметь конечные разрывы в точках , , ,… .

Для нахождения реакции цепи на воздействие такого типа воспользуемся од ной из форм интеграла Дюамеля; при этом реакцию цепи определим для каждого интервала времени в отдельности.

d

d d

Для рис. Т6.64, а

при ;

при .

563

Для рис. Т6.64, г

dпри .

564

6.106р. Как и в задаче 6.105р, разделим исследуемый промежуток времени на два интервала: 1) 0 ; 2) ∞. Определим реакцию цепи на заданное воздействие на каждом интервале времени.

d ,

100

где 10 В; 10 См · с .

Представив интеграл, входящий в выражение для тока, в виде суммы двух ин тегралов

и учитывая, что

получим

Разбивая каждый из интегралов, входящих в это выражение, на два

565

6.108р. а) Применим к интегралу, который стоит в исходном выражении, пра вило интегрирования по частям:

Учитывая, что

найдем

d

где . d

Подставив этот результат в исходную формулу интеграла Дюамеля, получим

0d .

б) Заменим интеграл в последнем выражении эквивалентным:

dd .

Врезультате получим еще одну форму записи интеграла Дюамеля:

d d

где . d d

Ту или иную форму записи интеграла Дюамеля выбирают, руководствуясь удобством и простотой выполнения вычислений. Следует отдать предпочтение той форме, для которой будет проще подынтегральное выражение, что зависит от усло вий конкретной задачи.

566

567