8.35. Вычислите волновое сопротивление вт четвертьволнового трансфор матора, используемого для согласования однородной линии с волновым сопротив

зок линии) с волновым сопротивлением вш 200 Ом, чтобы добиться согласова ния линии с нагрузкой? Найдите длину шлейфа . Размеры и должны быть минимально возможными. Имеет ли задача единственное решение?

Решения и методические указания

8.14м. параметры четырехполюсника можно рассчитать по известным параметрам ch ; вsh ; в sh с помощью формул пе рехода от к параметрам.

8.15м. Используйте результаты решения задач 7.64р, 8.14м.

8.16р. Входное сопротивление короткозамкнутого отрезка длинной линии без

ное сопротивление которого на частоте 100 МГц эквивалентно емкости 100 пФ, мо

763

8.18р. Минимальная длина разомкнутого отрезка линии, входное сопротивле ние которого на частоте ф/ 100 МГц эквивалентно емкости 20 пФ, 0,43 м (см. задачу 8.17р). Мысленно присоединим этот разомкнутый отрезок к рассматриваемой линии. Полученная воображаемая линия работает в режиме хо

лостого хода на выходе, и ближайший узел напряжения располагается на расстоя нии /4 0,75 м от ее конца, т.е. на расстоянии /4 0,32 м от конца ли нии. Это совпадает с результатом, полученным при решении задачи 8.11р.

Аналогичным методом можно решить задачу 8.12, заменив катушку индук тивности н эквивалентным ей короткозамкнутым отрезком линии и учтя, что в ко роткозамкнутой линии узлы напряжения расположены на расстоянии /2 друг от друга, считая от конца линии.

8.25м. Рассмотрите зависимость входного сопротивления отрезка длинной ли нии от электрической длины / , частоты приложенного напряжения и условий на выходе (короткое замыкание или холостой ход). Выбрав надлежащим образом па раметры этого отрезка, следует подключить его параллельно входу линии. Учтите, что колебания, подлежащие разделению, отличаются по частоте ровно в 2 раза.

8.26р. Выпишем соотношения, устанавливающие связь между входными со противлениями разомкнутой и короткозамкнутой линий и их характеристическими параметрами: х вcth , к вth .

Характеристические параметры можно выразить через погонные параметры линии

в отличие от коэффициента ослабления определяется неоднозначно. Для устране ния этой неоднозначности необходимо знать хотя бы приближенное значение фазо вой скорости в линии. В задаче рассматривается линия передачи, оба провода кото рой расположены в воздухе, следовательно, фазовая скорость в ней приблизительно равна скорости распространения электромагнитных колебаний в свободном про странстве, т. е. 3 105 км/с. Заметим, что если бы в задаче рассматривалась кабельная линия, то нужно было бы знать (приближенно) относительную диэлектрическую проницаемость изоляции кабеля ; в этом случае ф 3 10 /√ , км/с.

764

Как известно, входное сопротивление короткозамкнутого четвертьволнового отрезка линии без потерь бесконечно велико. В линии имеет место резонанс токов. В

резка уже не равно бесконечности, хотя и может достигать очень больших значений.

766

767

Модуль 8.4. Переходные процессы в цепях с распределенными параметра

ми

Цель модуля: изучение методов анализа переходных процессов в однородных длинных линиях.

Задачи анализа переходных процессов в цепях с распределенными пара метрами

Различают два типа задач, связанных с исследованием переходных процессов в одномерных цепях с распределенными параметрами:

1)определение токов и напряжений на зажимах линии или в более общем слу чае токов и напряжений внешних по отношению к линии ветвей при произвольном внешнем воздействии;

2)нахождение напряжений и токов в различных сечениях линии при произ вольном внешнем воздействии.

Эти задачи обычно решают операторным методом. При решении задач первого типа операторные изображения искомых токов и напряжений находят с помощью изученных ранее методов анализа сложных цепей, причем линию рассматривают как четырехполюсник, первичные параметры которого считаются известными. При решении задач второго типа операторные изображения токов и напряжений в раз личных сечениях линии определяют из выражений (8.7), (8.8), причем входящие в эти выражения постоянные интегрирования должны быть найдены исходя из зна чений токов и напряжений на внешних зажимах линии. В отличие от цепей с сосре­ доточенными параметрами операторные изображения токов и напряжений в цепях с распределенными параметрами, как правило, выражаются в терминах трансцен­ дентных функций и обладают бесконечно большим числом полюсов, что в ряде случа­ ев усложняет переход от изображений токов и напряжений к оригиналам.

Напряжение на выходе линии без потерь при согласованной нагрузке. По нятие о линиях без искажений

Пусть при <0 напряжение на входе однородной линии без потерь u1 = 0, а при 0 оно изменяется по произвольному закону u1( ):

Найдем напряжение на выходе линии u2 для случая, когда сопротивление на грузки линии равно волновому сопротивлению Rв.

Операторные изображения напряжений на входе U1 (р) и выходе U2 (р) линии связаны соотношением

,

где K21 (р) — операторный коэффициент передачи линии по напряжению при согла сованной нагрузке. Рассматривая линию как симметричный пассивный проходной

768

четырехполюсник, коэффициент передачи по напряжению и первичные параметры которого определяются выражениями (7.86), (8.52), получаем

1 .

Согласно теореме запаздывания (6.54), умножению изображения произвольной функции времени на соответствует смещение функции времени на t0. Следова тельно,

.

Время запаздывания равно времени распространения падающей волны вдоль линии:

Таким образом, напряжение u2 на выходе линии без потерь при согласованной нагрузке представляет собой смещенное во времени на 0 напряжение u1 на входе линии. Ток на выходе линии повторяет по форме выходное напряжение u2 и равен смещенному во времени на t0 току на входе линии:

.

вв

Следовательно, линия без потерь, работающая на согласованную нагрузку, осуществляет неискажающую передачу колебаний с входа линии на выход с задержкой на время, требуемое для распространения падающей волны вдоль линии.

Это свойство линии без потерь обусловлено тем, что фазовая скорость, волно вое сопротивление и коэффициент ослабления линии не зависят от частоты. Если сложное воздействие на входе такой линии представить в виде суммы гармониче ских колебаний различных частот, то условия распространения колебаний всех час тот будут одинаковы. Поэтому суммы гармонических колебаний на входе и выходе линии также одинаковы.

Можно убедиться, что условия неискажающей передачи выполняются и в ли нии с потерями, погонные параметры которой удовлетворяют условию

Комплексные волновое сопротивление и коэффициент распространения такой линии

769

⁄⁄

⁄⁄ ,

причем волновое сопротивление линии, фазовая скорость и коэффициент ослабле

Если к входу линии, параметры которой удовлетворяют условию (8.69), при ложено произвольное напряжение 1 , то операторное напряже ние на выходе линии при согласованной нагрузке

где t0 — время распространения падающей волны вдоль линии, определяемое вы ражением (8.68).

Переходя от операторного изображения напряжения U2(p) на выходе линии к оригиналу

Линии без потерь, а также линии, погонные параметры которых удовлетворя ют условию (8.69), называются линиями без искажений. Рассмотренные свойства линий без искажения используются на практике для построения устройств задерж ки сигналов (линий задержки), назначение которых сдвигать сигнал во времени без искажения.

Подключение разомкнутого на конце отрезка линии к источнику посто янного напряжения

Пусть в момент времени 0 к входу однородной длинной линии без потерь подключается источник постоянного напряжения . Найдем напряжение на выходе линии, если сопротивление нагрузки линии бесконечно велико (линия разомкнута на выходе).

770

Используя таблицы обратного преобразования Лапласа (см. приложение 1), оп ределяем напряжение на выходе рассматриваемой линии (рис. 8.12)

Рис. 8.12. Напряжение на выходе разомкнутого отрезка длинной линии без потерь, подклю чаемой к источнику постоянного напряжения

где 1, 2, 3, … , которое представляет собой бесконечную последовательность прямоугольных импульсов длительностью 2t0, удвоенных по высоте по сравнению с напряжением источника энергии. (Физический смысл полученных результатов бу дет пояснен при рассмотрении распределения напряжения и тока в однородной ли нии без потерь.)

Подключение короткозамкнутого отрезка линии к источнику постоянно го напряжения

Операторное изображение тока на выходе отрезка линии может быть найдено из основных уравнений четырехполюсника с распределенными параметрами в фор ме А (8.51):

,

в sh в sh sh

Используя таблицы обратного преобразования Лапласа, переходим от изобра жения тока к оригиналу:

где 1, 2, 3, ...

771