Модуль 8.2. Однородная длинная линия при гармоническом внешнем воз действии

Цель модуля: изучение волновых процессов в однородных цепях с распреде ленными параметрами и основных режимов работы однородных одномерных цепей с распределенными параметрами при гармоническом воздействии.

Волновые процессы в однородной длинной линии

Распределение комплексных действующих значений напряжения ( ) и тока ( в однородной длинной линии, находящейся под гармоническим внешним воз

Входящие в выражения (8.10) и (8.11) комплексный коэффициент распространения

в дальнейшем для краткости будем называть коэффициентом распространения и волновым сопротивлением линии. Представим коэффициент распространения линии в алгебраической

а волновое сопротивление линии и постоянные интегрирования в показательной

в в ;

||

формах и преобразуем каждое из входящих в выражения (8.10), (8.11) слагаемых в показательную форму:

Переходя от комплексных действующих значений напряжения и тока к мгно венным, получаем

731

Как следует из выражений (8.15), (8.16), установившиеся значения напряже ния и тока в произвольном сечении линии, находящейся под гармоническим внеш ним воздействием, можно представить в виде алгебраической суммы двух подобных по структуре, но отличающихся знаками перед коэффициентами α и β составляю щих:

При фиксированном каждая из составляющих тока и напряжения представ ляет собой гармоническую функцию времени . В связи с тем, что сумма двух гармо нических функций времени, имеющих одинаковую частоту, есть гармоническая функций времени той же частоты, напряжение и ток во всех сечениях линии изме няются по гармоническому закону с частотой внешнего воздействия ω. Как видно из рис. 8.2, а, для каждого фиксированного момента времени напряжение uпад( , ) из меняется вдоль линии по косинусоидальному закону, причем амплитуда напряже ния экспоненциально уменьшается с ростом . При увеличении t точки функции uпад( , ), имеющие одинаковую фазу, смещаются вправо. Аналогичный вид имеют зависимости iпад( , ). Следовательно, uпад( , ) и iпад( , ) представляют собой волны напряжения и тока, распространяющиеся в направлении увеличения . Эти волны называют падающими волнами напряжения и тока.

Из рассмотрения зависимостей uотр ( , ) и iотр( , ) следует, что uотр( , ) и iотр( , ) представляют собой волны напряжения и тока, распространяющиеся в на правлении уменьшения , т. е. от конца линии к ее началу (рис. 8.2, б). Эта волны на зываются отраженными волнами напряжения и тока.

Таким образом, мгновенное значение напряжения в любой точке линии опре деляется суммой падающей и отраженной волн напряжения (8.17), а мгновенное значение тока — разностью падающей и отраженной волн тока (8.18). Положитель ные направления uпад и uотр выбраны одинаково (от верхнего проводника к нижне

732

му), поэтому напряжения uпад и uотр суммируются; положительные направления то ков iпад и iотр противоположны (падающая волна тока направлена от начала линии к концу, а отраженная от конца линии к началу), поэтому ток iотр вычитается из тока

iпад.

Рис. 8.2. Распределение напряжения падающей (а) и отраженной (б) волн вдоль линии

(t3>t2>t1)

Совокупность падающей волны напряжения и падающей волны тока для крат кости называют падающей волной, а совокупность отраженной волны напряжения и отраженной волны тока — отраженной волной.

Как следует из выражений (8.17), (8.18) и рис. 8.2, амплитуды напряжения и то ка падающей и отраженной волн уменьшаются в направлении распространения волн. Величина , характеризующая уменьшение амплитуды (действующего значе ния) падающей или отраженной волны на единицу длины линии,

733

характеризующая изменение фазы прямой и обратной волн на единицу длины ли нии, называется коэффициентом фазы. Для линии без потерь коэффициент фазы прямо пропорционален частоте:

. 8.20

Расстояние между двумя точками волны, фазы которых различаются на 2 , на зывается длиной волны в линии. Длина волны в линии определяется значением коэффициента фазы. Действительно, изменение фазы падающей или отраженной волны на участке линии длиной

вдоль линии точки волны, фаза колебания в которой остается неизменной, называ

734

Из выражения (8.24) следует, что за время, равное периоду внешнего воздейст­ вия Т, падающая и отраженная волны перемещаются на расстояние, равное длине волны .

В связи с тем, что напряжение и ток в любом сечении линии можно рассматри вать как результат наложения двух волн — падающей и отраженной, нетрудно прийти к заключению, что первое и второе слагаемые, входящие в выражения (8.10), (8.11), представляют собой комплексные действующие значения напряжения или тока падающей и отраженной волн:

Из выражений (8.25) и (8.26) следует, что волновое сопротивление однородной линии в является коэффициентом пропорциональности между комплексными на пряжением и током падающей или отраженной волны:

Таким образом, волновое сопротивление однородной линии можно рассматри вать как комплексное сопротивление линии падающей или отраженной волнам в отдельности.

Волновое сопротивление линии без потерь имеет чисто резистивный характер:

Используя выражения (8.25), (8.26), можно установить и физический смысл ко эффициента . С этой целью найдем комплексные действующие значения напряже ний падающей волны в точках, отстоящих одна от другой на расстоянии ∆ :

735

Таким образом, коэффициент распространения однородной длинной ли­ нии характеризует изменение комплексного действующего значения напря­ жения или тока падающей и отраженной волн, приходящееся на единицу дли­ ны линии.

Представляя комплексное действующее значение напряжения падающей вол ны в показательной форме

пад пад пад

и используя выражения (8.14), (8.29), устанавливаем, что коэффициент ослабления линии численно равен натуральному логарифму отношения действующих значе ний напряжения падающей волны, взятых в точках, отстоящих одна от другой на единицу длины линии:

а коэффициент фазы — разности фаз напряжений, измеренных в тех же точках:

Волновое сопротивление и коэффициент распространения называются волно­ выми параметрами линии. В общем случае коэффициент распространения и вол новое сопротивление линии для падающей и отраженной волн могут иметь различ ные значения, поэтому линия произвольного вида характеризуется четырьмя вол новыми параметрами. У однородной линии коэффициенты распространения и вол новые сопротивления для падающей и отраженной волн, соответственно, имеют одинаковые значения, поэтому однородная линия характеризуется двумя волновы ми параметрами.

Коэффициент отражения линии. Определение постоянных интегрирова

ния

Распределение токов и напряжений в длинной линии определяется не только волновыми параметрами, которые характеризуют собственные свойства линии и не зависят от свойств внешних по отношению к линии участков цепи, но и коэффици ентом отражения линии, который зависит от степени согласования линии с нагруз кой.

Комплексным коэффициентом отражения длинной линии называется от ношение комплексных действующих значений напряжений или токов отраженной и падающей волн в произвольном сечении линии:

736

Подставляя (8.31) в (8.30), выражаем коэффициент отражения через ток и на пряжение в конце линии:

конце линии, значение которого определяется только соотношением между сопро

Как и всякое комплексное число, коэффициент отражения линии может быть представлен в показательной форме:

|| .

Анализируя выражение (8.32), устанавливаем, что модуль коэффициента отра жения

находим, что модуль коэффициента отражения в начале линии в е2αl раз меньше, чем модуль коэффициента отражения в ее конце. Из выражений (8.34), (8.35) следует, что модуль коэффициента отражения однородной линии без потерь имеет одно и то же значение во всех сечениях линии.

737

С помощью формул (8.31), (8.33) напряжение и ток в произвольном сечении линии можно выразить через напряжение или ток и коэффициент отражения в кон це линии:

Режимом бегущих волн называется режим работы однородной линии, при котором в ней распространяется только падающая волна напряжения и тока, т. е. амплитуды напряжения и тока отраженной волны во всех сечениях линии равны

достичь конца линии и отразиться от него), либо в линии конечной длины, сопро тивление нагрузки которой выбрано таким образом, что коэффициент отражения в конце линии 2 = 0. Из этих случаев практический интерес представляет только вто рой, для реализации которого, как следует из (8.33), необходимо, чтобы сопротивле ние нагрузки линии было равно волновому сопротивлению Zв (такая нагрузка назы вается согласованной).

Полагая в выражениях (8.36), (8.37) 2 0, выразим комплексные действую щие значения напряжения и тока в произвольном сечении линии в режиме бегущих волн через комплексные действующие значения напряжения 2 и тока в конце линии:

Используя выражение (8.38), найдем комплексные действующие значения на пряжения и тока в начале линии:

;

8.39

.

Подставляя (8.39) в (8.38), выразим напряжение и ток в произвольном сечении линии в режиме бегущих волн через напряжение и ток в начале линии:

738

, а в линии без потерь ( = 0) сохраняют одно и то же значение во всех сечени­ ях линии (рис 8.3).

Рис. 8.3. Распределение амплитуд напряжения вдоль линии в режиме бегущих волн

Начальные фазы напряжения и тока в режиме бегущих волн изменяются вдоль линии по линейному закону, причем сдвиг фаз между напряже

У линии без потерь волновое сопротивление имеет чисто резистивный ха­ рактер (8.28), поэтому в режиме бегущих волн сдвиг фаз между напряжением и током во всех сечениях линии без потерь равен нулю

Мгновенная мощность, потребляемая участком линии без потерь, расположен ным правее произвольного сечения (см. рис. 8.1), равна произведению мгновенных

Из выражения (8.42) следует, что мгновенная мощность, потребляемая произ вольным участком линии без потерь в режиме бегущих волн, не может быть отрица тельной, следовательно, в режиме бегущих волн передача энергии в линии произво­ дится только в одном направлении — от источника энергии к нагрузке.

739