Эквивалентное преобразование треугольника сопротивлений в звезду и обратное преобразование

Решая систему уравнений (2.144) относительно Z12, Z23, Z31, получаем соотно шения, позволяющие производить эквивалентную замену звезды сопротивлений треугольником (преобразование звезда — треугольник):

;

; 2.145

.

Преобразование звезда — треугольник приводит к уменьшению числа узлов преобразуемой цепи (за счет устранения узла, являющегося местом соединения со противлений Z1, Z2, Z3), однако при этом появляется новый контур, образуемый со противлениями Z12, Z23, Z31.

Заменим в выражениях (2.145) комплексные сопротивления элементов их про водимостями. Проведя преобразования, установим, что выражения для комплекс ных проводимостей элементов, образующих стороны треугольника,

;

имеют такую же структуру, как и выражения для комплексных сопротивлений, вхо дящих в лучи звезды (2.144). Подобным образом можно получить выражения для комплексных проводимостей лучей звезды Y1, Y2, Y3, которые оказываются анало гичными выражениям для комплексных сопротивлений сторон треугольника

(2.145).

Выражения (2.146) могут быть обобщены и для преобразования N лучевой звезды (см. рис. 1.24, б) в N угольник (см. рис. 1.24, а):

,

где Ykl — проводимость стороны N угольника, соединяющей узлы k и l; Y1, Y2, …, YN

— проводимости элементов, образующих лучи звезды.

Обратное преобразование полного N­угольника в N­лучевую звезду в общем слу­ чае невозможно.

175

Применение преобразований треугольник — звезда и звезда — треугольник в ряде случаев позволяет существенно упростить анализ цепей, в частности иногда с помощью этих преобразований удается приводить сложные участки цепей к более простым, представляющим собой параллельное, последовательное или смешанное соединение элементов.

Пример2.15. Для цепи рис. 2.41, a с элементами R1 20 Ом, R2 50 Ом, R3 30 Ом,

цепи, однако этот путь весьма трудоемок. Учитывая, что по условию задачи требуется вы числить только ток независимого источника , целесообразно остальную часть цепи, к ко торой подключен этот источник, заменить ее комплексным входным сопротивлением. Не посредственное нахождение входного сопротивления пассивного двухполюсника, к которо му подключен идеальный источник напряжения, постепенным «сворачиванием» по прави лам преобразования участков цепей с параллельным и последовательным соединением элементов невозможно, так как в данном двухполюснике отсутствуют последовательно или параллельно включенные элементы.

Рис. 2.41. К примеру 2.15

Заменим треугольник сопротивлений R1, R2, R3 звездой сопротивлений R10, R20, R30 рис. 2.41, б . Используя формулы 2.144 , находим

6 Ом ;

10 Ом ;

15 Ом .

Преобразуя полученную цепь с помощью правил преобразования участков цепей со смешанным соединением элементов, определяем входное сопротивление пассивного двух полюсника и искомый ток: R 26 Ом; 50 мА.

К этому же результату можно прийти, если использовать преобразование звезда — треугольник. В частности, заменяя сопротивления R1, R2, R5. рис. 2.41, а сопротивлениями

103,3 Ом ;

62 Ом ;

155 Ом ;

переходим к цепи рис. 2.41, в , которая легко поддается дальнейшим преобразова

ниям.

176

Последовательная и параллельная схемы замещения пассивного двухпо люсника

Два линейных пассивных двухполюсника с одинаковыми комплексными со противлениями (комплексными проводимостями) эквивалентны, так как при заме не одного из них другим токи и напряжения внешних выводов, соединяющих двух полюсники с остальной частью цепи, не изменятся. Следовательно, условием экви валентности линейных пассивных двухполюсников является равенство их ком плексных сопротивлений (проводимостей).

Комплексное сопротивление любого пассивного двухполюсника Z = r + jx можно представить как сумму комплексных сопротивлений двух последовательно вклю ченных двухполюсников. Комплексное сопротивление одного из них имеет чисто резистивный Za = r, а другого Zp = jx — чисто реактивный характер. Комплексную проводимость этого двухполюсника Y = 1/Z = g + jb можно рассматривать как ком плексную проводимость цепи из двух параллельно соединенных элементов с прово димостями Ya = g и Yp = jb. Поэтому произвольному линейному пассивному двухпо люснику, находящемуся под гармоническим воздействием, можно поставить в соот ветствие две схемы замещения — последовательную (рис. 2.42, а) и параллельную

Рис. 2.42. Последовательные схемы замещения пассивного двухполюсника

(рис. 2.43, а), причем каждая из них содержит один реактивный элемент и один эле мент, входное сопротивление которого имеет чисто резистивный характер.

Рис. 2.43. Параллельные схемы замещения пассивного двухполюсника

177

В общем случае вещественные r, g и мнимые х, b составляющие комплексного входного сопротивления и комплексной входной проводимости пассивного двухпо люсника являются сложными функциями частоты: r = r(ω), х = х(ω), g = g(ω), b = b(ω). При изменении частоты вещественные составляющие r и g могут изменяться только по абсолютному значению, а мнимые составляющие х и b — как по абсолютному значению, так и по знаку. При фиксированном значении угловой частоты ω = ω1 ве щественные и мнимые составляющие входных сопротивления и проводимости двухполюсника, а следовательно, Za, Zp, а также Yа, Yp элементов последовательной и параллельной схем замещения принимают определенные значения: Za = r(ω1), Zp = jx(ω1), Ya = g(ω1), Yp = jb(ω1). Постоянное вещественное число Za = r(ω1) можно рас сматривать как комплексное сопротивление резистивного элемента, входящего в последовательную схему замещения двухполюсника (рис. 2.42, б, в):

Мнимое число Zp = jx(ω1) в зависимости от знака х(ω1) можно рассматривать либо как комплексное сопротивление емкости (х(ω1) < 0)

либо как комплексное сопротивление индуктивности (х(ω1)>0)

входящих в эту же схему замещения.

Параллельная схема замещения двухполюсника (рис. 2.43, б, в) содержит со противление

и либо емкость (b(ω1)>0)

В частном случае, когда входное сопротивление двухполюсника имеет чисто резистивный или чисто реактивный характер, обе схемы замещения вырождаются в одну, содержащую единственный идеализированный пассивный элемент (сопро тивление, емкость или индуктивность).

178