Модуль 2.3. Идеализированные пассивные элементы при гармоническом воздействии

Цель модуля: изучение свойств идеализированных пассивных элементов при гармоническом внешнем воздействии.

Резистивный элемент

Пусть к резистивному элементу (рис. 1.3) приложено напряжение, изменяю щееся по гармоническому закону (рис. 2.9, а):

Определим ток резистивного элемента iR и его комплексное входное сопротив ление ZR, а также построим диаграммы, характеризующие зависимость тока, напря жения и мгновенной мощности от времени (временны́е диаграммы).

Связь между мгновенными значениями тока и напряжения линейного рези стивного элемента определяется законом Ома (1.9) (1.10). Подставляя (2.61) в (1.10), находим

Из этого выражения следует, что при гармоническом внешнем воздействии ток резистивного элемента является гармонической функцией времени той же частоты, что и напряжение (рис. 2.9, б):

Сравнивая выражения (2.62) и (2.63), устанавливаем, что ток и напряжение ли нейного резистивного элемента совпадают no фазе:

,

а действующие значения напряжения и тока связаны между собой соотношением IR = UR/R, подобным закону Ома для мгновенных значений. Мгновенная мощность ре зистивного элемента определяется произведением мгновенных значений напряже ния uR и тока iR:

2.

Выражая cos2(ωt+ψ) через косинус двойного угла, получаем выражение для мгновенной мощности резистивного элемента:

Из выражения (2.64) следует, что мгновенная мощность резистивного элемен та содержит две составляющие: постоянную, равную произведению действующих значений напряжения и тока, и переменную, изменяющуюся во времени по гармо ническому закону с частотой, удвоенной по сравнению с частотой воздействующего

116

пряжение равны нулю, и достигает максимума в моменты времени, когда ток и на­ пряжение максимальны по абсолютному значению.

Среднее значение мощности резистивного элемента за период называется ак­ тивной мощностью; оно равно произведению действующих значений напряжения и тока:

1

cp d 1 cos2 d .

Активная мощность численно равна постоянной составляющей мгновенной мощности и характеризует среднюю за период скорость потребления энергии от источника.

Энергия, поступившая в резистивный элемент к произвольному моменту вре мени t, может быть найдена как интеграл от мощности (1.12). Подставляя (2.64) в выражение (1.12) и полагая, что энергия, поступившая в элемент к моменту времени t = 0, равна wR(0), получаем

Как и следовало ожидать, функция wR(t) является неубывающей функцией времени (рис. 2.9, г), причем в моменты времени, когда мгновенная мощность рези стивного элемента принимает нулевые значения, на графике появляется горизон тальный участок («полочка»).

имеют одинаковые аргументы и отличаются по модулю в R раз. На ком плексной плоскости напряжение и ток изображаются векторами, которые сов падают по направлению и отличаются только масштабом (рис. 2.10, а).

Комплексное сопротивление ZR резистивного элемента равно отношению ком

Рис. 2.10. Векторные диаграммы тока и напряжения (а), комплексного сопротивле ния (б) и комплексной проводимости (в) резистивного элемента

118

плексных действующих значений напряжения и тока:

. 2.65

Представляя комплексное сопротивление ZR в показательной и алгебраической формах

2.66

и сравнивая (2.65) с (2.66), устанавливаем, что модуль комплексного сопротивления zR = UR/IR = R, его аргумент φR = ψu ­ ψi = 0, а комплексное входное сопротивление ZR резистивного элемента содержит только вещественную составляющую: rR = R, xR = 0.

На комплексной плоскости сопротивление ZR изображается вектором, направ ленным вдоль вещественной оси (рис. 2.10, б). Комплексная проводимость рези стивного элемента YR = l/ZR = 1/R также изображается вектором, направление кото рого совпадает с направлением положительной вещественной полуоси (рис. 2.10, в).

Рис. 2.11. Комплексная схема замещения участка цепи, содержащего резистивный элемент

Комплексная схема замещения резистивного элемента (рис. 2.11) имеет такой

Емкостный элемент

Рассмотрим емкость (см. рис. 1.6, а), к которой приложено напряжение uC, из меняющееся по гармоническому закону (рис. 2.12,a):

Используя выражение (1.13), найдем

Как следует из (2.67), ток емкости изменяется по гармоническому закону:

119

Рис. 2.12. Временные диаграммы напряжения и тока (а), мощности (б) и энергии (в) емкост ного элемента

Действующее значение тока емкости пропорционально действующему значе нию напряжения: IC = ωCUC.

Мгновенная мощность емкости pC при гармоническом воздействии изменяется по гармоническому закону с частотой, в два раза большей частоты воздействующего напряжения (рис. 2.12, б):

Как видно из временных диаграмм (рис. 2.12, а и б), в течение половины перио да изменения мощности ток и напряжение емкости имеют одинаковый знак (ем кость заряжается), при этом мгновенная мощность емкости положительна. В тече ние второй половины периода емкость отдает запасенную энергию (разряжается),

120

при этом ток и напряжение емкости имеют различные знаки, а мгновенная мощ ность емкости отрицательна. Среднее значение мощности емкости за период (актив­ ная мощность) равно нулю:

Энергия wC , запасенная в электрическом поле емкости, определяется в соот ветствии с выражением (1.18) приложенным к ней напряжением:

Из выражения (2.70) следует, что энергия, запасенная в емкости, содержит две составляющие: переменную и постоянную, причем переменная составляющая энер гии изменяется во времени по гармоническому закону с частотой, равной 2ω (рис. 2.12, в).

Энергия, запасенная в емкости, достигает максимального значения в те момен ты времени, когда напряжение емкости максимально по абсолютному значению. При уменьшении (по абсолютному значению) напряжения на емкости запасенная в ней энергия уменьшается и становится равной нулю в моменты времени, когда на пряжение емкости равно нулю.

Таким образом, емкость периодически обменивается энергией с остальной ча стью цепи, причем энергия, запасенная в емкости, является неотрицательной вели чиной. Емкость не содержит внутренних источников энергии и поэтому в процессе разрядки не может отдать больше энергии, чем она получила от остальной части цепи в процессе зарядки.

ϑ =π / 2

Рис. 2.13. Векторные диаграммы тока и напряжения (а), комплексного сопротивления (б) и комплексной проводимости (в) емкостного элемента

В связи с тем что ток емкости iС опережает напряжение емкости uC по фазе на

мость емкости

121