ся параметрами пассивных элементов и топологией цепи.

Выражение (10.32) является стандартной формой записи уравнений состояния цепи, не содержащей зависимых источников энергии. Очевидно, что число незави симых уравнений, составляемых по методу переменных состояния, равно числу не зависимо включенных реактивных элементов, т. е. порядку сложности цепи. Если исследуемая цепь будет содержать топологические вырождения, к которым относят ся емкостные контуры и индуктивные сечения, то система уравнений электрическо го равновесия цепи наряду с дифференциальными уравнениями (10.32) будет вклю чать также алгебраические уравнения, составленные на основании второго или пер вого законов Кирхгофа и отражающие связь между напряжениями емкостей или то ками индуктивностей, входящих в соответствующие контуры или сечения.

В ряде случаев, особенно при анализе нелинейных и параметрических цепей, в качестве переменных, относительно которых составляются уравнения состояния цепи, удобно выбирать не токи индуктивностей и напряжения емкостей, а связан ные с ними потокосцепления индуктивностей и заряды емкостей.

Формирование уравнений состояния в матричной форме

Матрицы а, b и d, входящие в уравнения состояния цепи (10.32), могут быть выражены через компонентные и топологические матрицы исследуемой цепи, од нако в общем случае соответствующие соотношения имеют сложный вид [8, 9, 24]. Для того чтобы продемонстрировать методику формирования уравнений состояния в матричной форме, ограничимся рассмотрением цепи, не содержащей управляемых источников и топологических вырождений.

При составлении уравнений состояния используется расширенное топологиче ское описание цепи, причем при выборе дерева графа необходимо учитывать, что топологические уравнения цепи (10.20) позволяют выразить токи ветвей дерева че рез токи главных ветвей, а напряжения главных ветвей — через напряжения ветвей дерева. Следовательно, ветви, напряжения которых выступают в качестве незави симых переменных, должны быть включены в число ветвей дерева, а ветви, токи ко торых выбраны в качестве независимых переменных, в число главных ветвей. Таким образом, дерево графа, используемое для составления уравнений состояния, должно включать в себя все ветви с источниками напряжения и емкостями и не должно со держать ветвей с источниками тока и индуктивностями. Дерево графа, удовлетво ряющее этим требованиям, называется собственным деревом. Для цепей, не имеющих емкостных контуров и индуктивных сечений, всегда можно выделить хотя бы одно собственное дерево [24]*.

*Для цепей с топологическими вырождениями вместо собственного дерева приходится строить так называемое нормальное дерево, которое содержит все независимые источники напряжения, мак симальное число емкостей, минимальное число индуктивностей и не включает в себя независимых источников тока.

881

Пронумеруем ветви графа цепи следующим образом: сначала источники на пряжения, затем емкости, сопротивления, вошедшие в дерево, потом сопротивле ния, не вошедшие в дерево, индуктивности и источники тока. Составим матрицу се чений хорд и разобьем ее на подматрицы по типам ветвей, соответствующих строкам и столбцам матрицы:

Главные ветви

Ветви дерева

Здесь буквой G обозначены главные ветви, содержащие сопротивления.

Разобьем матрицы столбцы токов ветвей дерева в, токов главных ветвей напряжений ветвей дерева в и напряжений главных ветвей на подматрицы по типам ветвей:

С учетом выражений (10.33), (10.34) запишем топологические уравнения цепи (10.20) в следующем виде:

; 10.35

. 10.36

(Знак минус перед напряжениями ветвей с источниками напряжения или тока объясняется тем, что положительные направления напряжений данных ветвей про тивоположны направлениям токов ветвей, т. е. направлениям этих ветвей.)

Компонентные уравнения для каждой группы невырожденных ветвей цепи также можно представить в матричной форме:

где С, L, R, G — диагональные матрицы емкостей, индуктивностей, сопротивлений, включенных в ветви дерева, и проводимостей, входящих в главные ветви.

882

Из уравнений (10.35) — (10.37) найдем напряжения индуктивных и токи емко стных и резистивных ветвей:

уравнений, систему уравнений (10.39) можно привести к виду (10.32).

Пример10.5. Составим уравнения состояния цепи, схема которой приведена на рис.

10.1, а.

Данная цепь имеет единственное собственное дерево, включающее ветви с источ ником напряжения е, емкостями С1, С2 и сопротивлением R3 см. рис. 10.1, б . Матрица сече ний хорд рассматриваемой цепи, соответствующая данному собственному дереву, получена в примере 10.1. Разбивая матрицу Qx на подматрицы по типам ветвей, получим

883

Понятие о численных методах решения уравнений электрического равно весия

При решении частных задач теорий цепей, таких, как исследование цепей ну левого порядка или анализ установившегося режима постоянного тока в линейных или нелинейных цепях, процессы в электрических цепях можно описывать системой линейных или нелинейных алгебраических уравнений, однако в общем случае урав нения электрического равновесия произвольной идеализированной цепи с сосредо точенными параметрами представляют собой систему интегро дифференциальных уравнений. Интегрирование таких уравнений в современных программах анализа цепей осуществляется, как правило, численными методами, основанными на замене рассматриваемого непрерывного интервала времени последовательностью точек

шагов интегрирования.

Известные методы численного интегрирования принято разделять на явные и неявные. При использовании явных методов для получения (решения системы уравнений на n шаге интегрирования) используют результаты, полученные на m предыдущих шагах:

решают с помощью различных методов последовательного приближения, причем

884

для определения значений на каждом шаге интегрирования требуется выполнить несколько последовательных приближений (итераций).

Очевидно, что по сравнению с явными методами реализация одного шага ин тегрирования с использованием неявных методов требует бо́льшего объема вычис лений, а следовательно, и бо́льших затрат ресурсов ЭВМ (памяти и машинного вре мени). Поэтому практическое применение неявных методов стало возможным толь ко в последние годы, в результате разработки мощных ЭВМ, обладающих высоким быстродействием и значительным объемом памяти. В большинстве программ ма шинного анализа, разработанных до появления таких ЭВМ, использовались явные методы интегрирования, что объясняется относительной простотой вычисления функции (10.40) на каждом шаге интегрирования. В то же время явные методы ин тегрирования обладают двумя существенными недостатками:

1) Для использования этих методов уравнения электрического равновесия должны быть представлены в форме Коши, т. е. разрешены относительно производ ных от искомой реакции цепи d /d , . Из всех рассмотренных методов только метод переменных состояния позволяет получить систему уравнений электрическо го равновесия цепи в форме Коши, причем процесс машинного формирования урав нений электрического равновесия этим методом более трудоемок по сравнению с методами узловых напряжений или контурных токов.

2) Явные методы весьма критичны к выбору шага интегрирования

меньшей из постоянных времени рассматриваемой цепи, происходит потеря устой чивости вычислений, приводящая к неограниченному возрастанию погрешности решения. Необходимость интегрирования с малым шагом значительно увеличивает трудоемкость анализа и существенно ограничивает применение явных методов для анализа цепей большой сложности.

Неявные методы интегрирования не требуют представления исходных урав нений обязательно в форме Коши. Они менее чувствительны к выбору шага интег рирования. Поэтому, несмотря на высокую трудоемкость определения решения на каждом шаге интегрирования, суммарные затраты машинного времени при исполь зовании неявных методов могут оказаться значительно меньше, чем при примене нии явных методов.

Наибольшую известность среди неявных методов интегрирования получил ме тод ФДН (формулы дифференцирования назад), используемый в большинстве экс плуатируемых в настоящее время программ автоматизированного анализа цепей

[9].

Эффективность любого комплекса программ автоматизированного анализа цепей определяется не только рациональным выбором методов интегрирования интегро дифференциальных уравнений, но также в значительной степени зависит от выбора методов решения систем линейных (СЛАУ) и нелинейных (СНАУ) алгеб

885