Модуль 10.2. Компонентные и топологические матрицы электрической це

пи

Цель модуля: знакомство с методами матричного представления информации о компонентах и топологии электрических цепей, а также изучение свойств тополо гических и компонентных матриц.

Топологические матрицы и топологические уравнения

При применении ЭВМ для составления уравнений электрического равновесия цепи требуется формализованное представление исходных данных о топологии це пи и параметрах входящих в нее элементов. В наибольшей степени этому требова нию удовлетворяет представление исходной информации о цепи в матричной фор ме. Известно, что топологические свойства цепи полностью определяются ее гра фом, причем свойства графа зависят только от числа его ветвей и узлов, а также спо соба соединения ветвей между собой. Эта информация о графе может быть пред ставлена либо в виде списка (перечня) ветвей графа с указанием, каким узлам они

Полная матрица узлов (полная матрица инциденций, матрица соедине­ ний, структурная матрица) — это таблица, число столбцов которой равно числу

Номера узлов

Нетрудно убедиться, что эта же полная матрица узлов (10.1) соответствует и всем графам, изоморфным графу, изображенному на рис. 1.27, а, в частности графам, приведенным на рис. 1.27, б, в.

Таким образом, все изоморфные графы описываются одной и той же полной матрицей узлов.

Имея полную матрицу узлов, всегда можно восстановить исходный граф с точ ностью до изоморфизма.

856

Число ненулевых элементов в каждой строке матрицы с равно числу ветвей, инцидентных соответствующему узлу, т. е. степени узла. В каждом столбце имеется только два ненулевых элемента: 1 и —1, так как каждая ветвь инцидентна двум узлам и направлена от одного из них к другому.

Сумма всех элементов каждого столбца, а, следовательно, и сумма всех строк полной матрицы узлов с равна нулю, т. е. строки полной матрицы узлов являются линейно зависимыми.

На практике обычно используют сокращенную (редуцированную) матрицу узлов А, которая получается из полной матрицы узлов путем отбрасывания любой из ее строк (обычно отбрасывают строку, соответствующую узлу с номером 0). Так, отбрасывая строку с номером 0 у полной матрицы узлов (10.1), получаем сокращен ную матрицу узлов А цепи, граф которой изображен на рис. 1.27:

Зная сокращенную матрицу узлов, соответствующую некоторому графу, всегда можно найти его полную матрицу узлов, для чего необходимо дополнить матрицу А одной строкой так, чтобы сумма всех строк матрицы АС, равнялась нулю*.

В связи с тем, что каждая строка матриц с и A несет информацию о том, какие ветви и с какой ориентацией подключены к определенному узлу цепи, эти матрицы можно использовать для записи уравнений по первому закону Кирхгофа. Действи

Каждая строка этого выражения есть алгебраическая сумма токов ветвей, под ключенных к соответствующему узлу цепи, причем если ветвь направлена от узла,

В связи с тем, что строки полной матрицы узлов являются линейно зависимы ми, система уравнений (10.3) также будет линейно зависимой.

* В дальнейшем будем использовать только сокращенную матрицу узлов А, которую для крат ности будем называть матрицей узлов.

857

Для получения системы линейно независимых уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, можно воспользоваться сокращенной матрицей инци денций, строки которой являются линейно независимыми:

. 10.4

Для матричной записи уравнений баланса токов в обобщенных узлах цепи и уравнений баланса напряжений используют матрицу главных сечений и матрицу главных контуров.

Матрица главных сечений Q (матрица сечений) представляет собой таблицу, число столбцов которой равно числу ветвей графа , а число строк — числу главных сечений —1 (номера столбцов совпадают с номерами ветвей, а номера строк

— с номерами главных сечений, т. е. с номерами соответствующих ветвей дерева).

Каждая строка матрицы главных сечений характеризует состав ветвей графа, входящих в данное сечение. Элементы i й строки принимают значение 1, еслия ветвь графа входит в состав го сечения, причем ее ориентация совпадает с ори ентацией сечения, т. е. с ориентацией соответствующей ветви дерева относительно линии сечения; 1, если я ветвь входит в е сечение, а ее ориентация проти воположна ориентации сечения; 0, если я ветвь не входит в е сечение.

Матрица главных сечений, соответствующая графу, приведенному на рис. 1.35, а, имеет следующий вид:

Номера главных сечений

Используя матрицу главных сечений, можно в компактной форме записать сис тему из — 1 уравнений, составленных на основании первого закона Кирхгофа для главных сечений графа, соответствующих выбранному дереву:

где — вектор токов ветвей.

Если какое­либо из главных сечений графа является каноническим, то уравнение баланса токов для этого сечения с точностью до знака совпадает с уравнением ба­ ланса токов для соответствующего изолированного узла. Если все главные сечения графа являются каноническими, то матрицы узлов A и сечений Q совпадают с точно стью до знака элементов строки. В общем случае строки матрицы сечений Q могут быть получены путем линейной комбинации строк матрицы узлов A.

858

Сравнивая выражение (1.39) и (10.4) или (10.5), убеждаемся, что коэффициен­ ты , входящие в уравнение (1.39), являются элементами матрицы узлов или мат­ рицы сечений соответствующей цепи.

Матрица главных контуров представляет собой таблицу, число столбцов которой равно числу ветвей графа , а число строк — числу главных контуров, т. е.

ориентация й ветви, входящей в й контур, не совпадает с ориентацией контура;

Номера главных контуров

Матрицу главных контуров можно использовать для записи уравнений, состав ленных на основании второго закона Кирхгофа. Пусть исследуемая цепь содержит

Каждая строка этого выражения представляет собой алгебраическую сумму напряжений ветвей, входящих в i й главный контур, причем правило суммирования напряжений ветвей совпадает с соответствующим правилом, установленным для записи уравнений баланса напряжений в контуре (1.40). Так как в соответствии со вторым законом Кирхгофа сумма напряжений ветвей, входящих в каждый контур, в любой момент времени равна нулю, то окончательно имеем

баланса напряжений (1.40) являются элементами матрицы главных контуров со­ ответствующей цепи.

859