Определение коэффициентов аппроксимирующей функции

ними погрешность аппроксимации может быть весьма существенной (информация о ходе аппроксимируемой функции в них не учитывается), что является недостатком этого метода.

В отличие от метода выбранных точек метод наименьших квадратов обеспе чивает наименьшую сумму квадратов отклонений ξ значений аппроксимирующей функции s = s(x, а0, а1, …, an) от значений исходной функции sj = sj(xj) в произвольном числе точек m не связанном с числом неизвестных коэффициентов n+1:

Приравнивая нулю первые производные ξ по каждому из коэффициентов, по лучаем систему из n +1 уравнений для определения n +1 неизвестных числовых зна чений коэффициентов:

Метод наименьших квадратов требует громоздких вычислений и применяется обычно только в тех случаях, когда необходима высокая точность аппроксимации.

Если гипотеза о характере аппроксимирующей функции проверялась методом выравнивания, то неизвестные значения коэффициентов аппроксимирующей функ ции могут быть определены по известным коэффициентам К0 и К1 линейного урав нения (5.3), связывающего между собой вспомогательные переменные X и S. Состав ляя уравнение прямой линии, вдоль которой располагаются точки {Xj, Sj}, и сравни вая его с уравнением, описывающим зависимость между вспомогательными пере менными X и Y, которое соответствует проверяемой гипотезе о виде функции s(x), например, с уравнениями (5.5), (5.7) или (5.10), находим искомые коэффициенты.

Пример5.6.Определим коэффициенты экспоненциального полинома

i a ebu c, аппроксимирующего ВАХ полупроводникового диода см. рис. 5.19, а в диапа зоне напряжений от 0 до 1 В.

Возможность аппроксимации ВАХ, приведенной на рис. 5.19, экспоненциальным полиномом указанного типа была показана в примере 5.5. Там же было найдено числовое значение коэффициентас.Составим уравнение прямой см. рис.5.20 , на которой в рассмат риваемом диапазоне изменения аргумента располагаются точки Xj, Sj :

,

426

На практике для аппроксимации характеристик нелинейных элементов в ос новном используют степенные полиномы

и кусочно линейные функции. Аппроксимация с помощью степенного полинома универсальна и позволяет повышать точность расчета путем увеличения степени полинома. Любые аппроксимирующие функции могут быть разложены в степенные ряды и приведены к виду (5.14). Поскольку сложность определения коэффициентов аппроксимирующей функции возрастает с увеличением числа членов полинома, для аппроксимации ВАХ обычно используют полиномы низких степеней.

Рис. 5.21. Кусочно линейная аппроксимация выходных (а) и проходных (б) характе ристик полевого транзистора

Аппроксимация с помощью кусочно линейных функций заключается в разбие нии рабочей области аппроксимируемой функции на несколько участков (интерва лов) и замене функции на каждом из них отрезком прямой. С увеличением числа ин тервалов точность аппроксимации возрастает, однако для упрощения анализа цепи желательно использовать кусочно линейные функции с минимальным числом ин тервалов. Примеры кусочно линейной аппроксимации ВАХ представлены на рис. 5.21.

427

Аппроксимация вольт амперных характеристик в окрестности рабочей точки

На практике часто приходится иметь дело с рабочей областью ВАХ настолько узкой, что можно считать, что изменение токов и напряжений происходит только в окрестности некоторой рабочей точки. В таких случаях нет необходимости аппрок симировать BAХ в широком диапазоне токов и напряжений, а достаточно ограни читься аппроксимацией лишь в окрестности выбранной рабочей точки.

Пусть ток и напряжение некоторого нелинейного резистивного элемента в ра бочей точке равны iр и uр. Выражение для тока i этого элемента, соответствующее некоторому новому значению напряжения u =uр + ∆u, можно представить в виде ря да Тейлора:

Здесь i(uр) = iр — значение тока в рабочей точке; i’(uр), i’’(uр)— значения произ водных тока по напряжению в рабочей точке, определяемые либо по заданной функции i = i(u), аппроксимирующей ВАХ в широком диапазоне токов и напряжений, либо по табличным значениям функции ij(uj) с помощью формул численного диффе ренцирования:

;

2

.

Вводя обозначения a0 = i(uр)= iр; a1= !i’ (uр) ; a2= !i’’ (uр), …, выражение (5.15)

можно представить в виде полинома относительно приращения напряжения

5.16

Рассмотренная методика может быть использована и для аппроксимации ВАХ электрически управляемых нелинейных резистивных элементов. Пусть, например, ток нелинейного резистивного трехполюсника (см. рис. 5.2) является функцией на пряжений u и uупр:

428