Решения и методические указания
6.1р. Вывод дифференциальных уравнений в задачах 6.1 — 6.7 осуществляют в два этапа. Сначала составляют уравнения электрического равновесия относительно неизвестных токов и напряжений, затем из полученной системы уравнений исклю чают все неизвестные, кроме одной переменной, указанной в условиях задачи.
|
|
. |
Для этой цепи |
; |
. |
Рассмотрим цепь рис. Т6.1, а |
Выразим напряжения и токи через заданную п |
еременную — напряжение : |
1 |
d ; |
⁄ . Отсюда |
|
|
d |
|
. |
|
|
Подставим этот результат во второе уравнение электрического равновесия:
Чтобы избавиться от интеграла в правой части последнего уравнения, осуще ствим дифференцирование обеих частей уравнения по времени. После простых пре образований получим
|
|
|
|
d |
1 |
|
|
|
|
|
|
d |
, |
|
|
|
|
|
где |
|
. |
|
d |
|
|
|
|
|
: |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
Выразим напряжения и токи через ток |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
; |
|
d |
|
; |
|
|
|
d |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
. |
|
, после |
|
Подставив эти выражения в уравнение баланса напряжений |
простых преобразований получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
пи |
Теперь рассмотрим цепь, схема которой приведена на рис. Т6.1, б Для этой це |
; |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выразим напряжения и токи через заданную переменную — напряжение :
Отсюда
С учетом этих выражений уравнение баланса напряжений примет вид
d
d . d
После дифференцирования правой и левой частей этого уравнения получаем дифференциальное уравнение рассматриваемой цепи относительно напряжения u
Выразим напряжение и токи через ток :
d |
; |
d |
d |
; |
|
d |
; |
d |
d |
d |
|
d |
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
d |
. |
|
Подставляя эти выражения в уравнение баланса напряжения получаем дифферен циальное уравнение рассматриваемой цепи относительно тока индуктивности
|
|
d |
1 d |
1 |
|
1 |
. |
|
|
|
6.6м. |
|
d |
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
с помо |
|
Сначала следует выразить токи и |
через напряжения и |
щью компонентных уравнений связанных индуктивностей |
|
|
|
d |
|
|
|
d |
|
|
|
d |
|
d |
|
|
|
d |
|
|
|
d |
; |
|
|
|
d |
|
d |
. |
|
Проинтегрировав эти уравнения, получим |
|
|
|
d , |
|
|
|
|
|
|
|
d |
; |
|
|
|
|
|
|
481
6.9р. |
. |
0_, непосредственно предшествующего ком |
мутации, |
Для момента времени |
согласно условию задачи |
0 |
и |
0 |
⁄ |
. По |
следнее выражение получают в результате расчета простейшего делителя напряже
|
|
|
|
|
|
ния, состоящего из элементов , |
, . |
|
непосредственно пе |
Поскольку в данном случае напряжения емкостей и |
ред коммутацией имеют различные значения |
0 |
0 , |
а после коммутации и |
оказываются включенными параллельно, выполнение |
второго закона коммутации приведет к результатам,противоречищам второму |
закону Кирхгофа.Следовательно, |
данная комутация является некорректной и |
вто |
рой закон коммутации не выполняется. |
|
|
|
Для решения задачи нужно использовать принцип непрерывности во времени |
суммарного заряда. Так как у линейных, |
емкостей заряд емкости связан с напряже |
нием соотношением |
поэтому можно записать |
0 |
0 |
00 .
Вмомент коммутации напряжения на параллельно включенных емкостях
скачком принимают одинаковые значения. |
, |
|
|
0 |
0 |
0 , поэтому |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
Подставляя в это выражение ранее най |
денные значения напряжений для |
0_, получаем |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.10м. Задача решается аналогично. |
предыдущей. Различие состоит лишь в зна |
чениях напряжений |
0 |
и |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.11м. |
|
0 |
, |
0 |
|
и |
|
∞ |
определяют в результате расчета |
|
Напряжения |
|
|
цепей постоянного тока. |
Напряжения |
0 |
|
и |
0 |
находят в соответствии с |
принципом непрерывности во времени суммарного заряда цепи (см. задачу 6.9р).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.12м. |
|
Напряжения |
∞ |
и |
∞ определяют |
в результате расчета |
про |
стейшей цепи постоянного тока, состоящей из элементов |
, , |
. Цепь не содер |
жит начального запаса энергии, поэтому легко найти |
0 |
и |
0 . Для расчета |
напряжений |
0 |
и |
|
0 нужно использовать уравнение баланса напряжений |
06.13р. |
|
0 |
|
и принцип непрерывности суммарного заряда. |
|
|
До коммутации ток |
замыкается через индуктивность |
1 и ключ, минуя |
индуктивность : |
0 |
|
0 |
|
⁄ ; |
0 |
0. В момент коммутации токи |
индуктивностей должны скачком принять одинаковые значения |
0 = 0 |
и, |
следовательно, первый закон коммутации не выполняется (сравните с режимом ра боты цепи в задаче 6.9р).
Для определения токов 0 и 0 нужно использовать принцип непрерыв ности суммарного потокосцепления
482
|
Ψ 0 |
Ψ 0 |
Ψ 0 |
Ψ 0 . |
0, а |
0 |
Выразив потокосцепления через токи Ψ |
|
и учитывая, что 0 |
0 , получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
. |
и |
|
|
|
|
|
Для случая, когда в исходном состоянии ключ S разомкнут, индуктивности |
до коммутации включены последовательно и их токи имеют одинаковые значе
ния |
|
|
0 |
0 |
⁄ . |
нуле |
После замыкания ключа ток индуктивности |
должен скачком принять |
вое значение |
0 |
= |
0, |
а |
ток индуктивности |
|
удовлетворять принципу непрерывности суммарного потокосцепления |
|
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
Подставляя в это выражение найденные выше значения токов, получаем
|
|
|
|
|
0 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
потокосцепления: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.15м. Примените принцип |
непрерывности суммарного |
|
06.16р. |
|
0 |
0 |
|
0 |
2 |
|
0 . |
|
|
|
точника: |
В установившемся режиме напряжение емкости. |
равно напряжению ис |
|
5 В при |
0 и |
|
|
10 В при |
∞ |
|
|
|
|
|
Для определения напряжения |
|
в переходном режиме составим на основании |
второго закона Кирхгофа уравнение электрического равновесия цепи при |
0: |
|
|
. |
Учитывая, что |
|
, |
|
|
, |
получим дифференциальное |
|
|
|
|
уравнение цепи для |
0: |
|
|
d |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
св и вынужденной |
Будем искать решение этого уравнения в виде суммы свободной |
вын составляющих: |
св |
|
вын. Свободную составляющую напряжения на |
емкости найдем, решив однородное дифференциальное уравнение |
|
0. |
|
Этому уравнению соответствует характеристическое уравнение |
1 |
0, кото |
рое имеет единственный корень |
|
1⁄ |
10 |
|
с . Учитывая это, можно за |
писать |
|
|
|
св |
|
|
|
В, |
|
|
|
|
|
|
|
где |
постоянная интегрирования. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вынужденная составляющая вын равна напряжению на емкости в установи
вшемсярежимепослекоммутации,те.при |
∞: вын |
10В. |
Суммируя свободную и вынужденную составляющие, получим выражение для |
напряжения на емкости в переходном режиме: |
|
10 В. |
Для определения постоянной интегрирования |
|
воспользуемся вторым зако |
ном коммутации, в соответствии с которым напряжение на емкости в начальный момент времени после коммутации ( 0) равно напряжению на емкости в момент
|
времени, непосредственно предшествующий коммутации ( |
0 ): |
|
|
Из выражения для |
0 |
0 |
5 В. |
|
|
|
|
|
найдем |
|
5 В. Таким образом, окончатель |
|
ное выражение для напряжения на емкости имеет вид |
В. |
|
|
|
|
|
|
10 |
5 |
|
|
Напряжение после коммутации плавно увеличивается, начиная со значения |
|
0 |
. |
5 В, и стремится к установившемуся значению |
|
|
10 В при |
∞ |
|
(рис. 6.20, а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ток |
цепи является |
током |
через емкость |
|
|
|
|
|
|
0 ток скачком возрастает). |
от 0 |
|
1·10 |
|
А. В начальный момент времени |
|
до 1 мА, а затем плавно уменьшаться, стремясь к нулю при |
|
∞ (рис. Т6.20, б |
|
|
|
|
|
|
|
|
6.21р. |
|
Рис. Т6.20 |
∞на два интервала: |
0 |
и и |
Разделим исследуемый промежуток времени0 |
и |
∞. В начале первого интервала (при |
0) напряжение на входе |
цепи скачком увеличивается от 0 до E 5 В. В начале второго интервала (при |
и) |
напряжение на входе скачком уменьшается от 5 В до 0. Таким образом, в пределах каждого интервала времени реакция цепи может быть определена таким же обра зом, как и при подключении цепи к источнику постоянного напряжения.
Рассмотрим интервал времени |
0 |
и |
. |
Начальное значение тока для данно |
|
|
|
го интервала (0) (0 ) 0. Для нахождения тока в переходном режиме составим
на основании второго закона Кирхгофа уравнение электрического равновесия цепи
для 0 |
и: |
|
d |
. |
|
|
|
|
|
|
d |
Решение этого уравнения ищем в виде суммы свободной св и вынужденной |
вын составляющих: |
св вын. Вынужденная |
составляющая вын на данном ин |
тервале времени равна установившемуся значению тока, который протекал бы в це
|
|
|
|
|
|
пи при условии, что к входу ее в течение бесконечно. |
большого промежутка времени |
приложено постоянное напряжение : вын |
⁄ Для определения свободной со |
ставляющей тока св составим. |
характеристическое уравнение |
0 и найдем |
его корень: |
⁄ Таким образом, свободная составляющая тока для рассмат |
риваемого первого интервала времени
а искомый ток цепи |
|
св |
|
⁄ , |
⁄ , |
|
|
св |
|
вын |
|
|
|
|
|
где |
⁄ |
|
|
|
|
|
|
|
интегрирова |
20 мкс – постоянная времени цепи, а |
постояннаяt |
ния. Постоянная. |
интегрирования может быть определена при |
|
= 0: 0 0 |
|
⁄ |
Для 0 |
и окончательно получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
⁄ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим интервал времени и |
∞. Начальное значение тока для дан |
ного интервала |
и в соответствии с первым законом коммутации равно значению |
тока в |
момент |
времени, |
непосредственно предшествующий |
и: |
|
|
|
|
|
i( и) = i( и ) = |
|
1 |
и⁄ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дифференциальное уравнение цепи для |
|
и имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
d |
0. |
|
|
|
Вследствие того, что на этом. |
d |
|
0, ток цепи |
содержит только |
интервале вын |
свободную составляющую: |
св Так как свободные процессы в цепи не зависят от |
вида внешнего воздействия, свободная составляющая тока имеет такой же характер,
что и на первом интервале времени,Bт.е. |
|
|
⁄ . |
|
Постоянную интегрирования |
2 найдем по известному значению тока цепи |
и вначалерассматриваемогоинтервалавремени |
|
и |
и |
|
|
1 |
и⁄ |
и⁄ , |
|
|
откуда
и, следовательно, при |
и |
|
|
∞ |
|
|
|
|
и⁄ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и⁄ |
1 |
⁄ . |
0 изменяется по следующе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, ток рассматриваемой цепи при |
му закону: |
|
|
|
|
1 |
|
|
⁄ |
|
при 0 |
|
и; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и⁄ |
|
1 |
|
|
⁄ |
при |
и |
∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя компонентное уравнение индуктивности |
|
, найдем напря |
|
|
жение индуктивности в переходном режиме: |
и; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⁄ |
при 0 |
|
∞. |
|
|
|
τГрафики |
, |
, |
|
|
|
и⁄ |
|
1 |
|
⁄ |
при и |
|
мкс или |
|
соответствующие длительности импульса и 5 |
0.25 |
, приведены на рис. Т6.21, |
а, б. |
В начальный момент времени |
0 |
напряже |
ние |
скачком возрастает от 0 до 5 В. На интервале 0 |
и напряжение |
плавно |
уменьшается, достигая в конце интервала значения 3,9 В. В момент |
и |
скачком |
изменяется от 3,9 до —1,1 В, а затем плавно уменьшается по абсолютному значению, стремясь к нулю при t ∞. Таким образом, при воздействии на цепь относительно короткого импульса напряжение по форме не очень сильно отличается от входно
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
го напряжения. |
и |
|
|
для и |
80 мксв |
( иг |
4 ) приведены на рис. Т6.21, |
в |
, |
г. |
Из |
Графики |
а |
|
|
|
сравнения рис. Т6.21, |
|
и б с рис. Т6.21, |
и |
видно, что форма напряжения |
|
резко |
отличается от прямоугольной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, характер переходного процесса зависит от соотношения между |
длительностью импульса входного напряжения и постоянной времени цепи. |
|
|
|
|
6.22м. |
Рассмотрите |
аналитическое |
выражение |
для тока последовательной |
цепи, включаемой на постоянное напряжение (см. задачу 6.21р). Установившееся. |
значение тока уст |
|
⁄ определите по заданному графику, что позволит найти |
|
|
В момент времени |
|
|
⁄ |
ток |
|
|
|
1 |
0,632 |
|
. По графику |
|
|
най |
|
|
. |
|
|
|
дитевремя , а затем индуктивность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. Т6.21
6.25р. Критическое сопротивление контура кр 2 |
2 |
⁄ |
4 кОм. Сум |
марное сопротивление контура |
20 Ом |
кр. Свободные процессы в контуре |
имеют колебательный характер. |
|
|
|
|
|
6.27р. Можно предложить несколько способов приближенного определения добротности контура по графику тока контура . Все они основаны на исполь зовании аналитического выражения
|
|
|
|
|
|
|
sin св |
|
sin |
св |
, |
|
|
|
|
|
|
св |
|
|
|
|
где |
/ 2 — коэффициент |
затухания; |
св |
|
|
|
|
— частота |
свободных |
|
|
|
|
колебаний в контуре; |
|
1⁄√ |
|
|
|
— резонансная частота; |
⁄ св |
— |
|
|
|
|
амплитуда (точнее, огибающая) свободных колебаний. |
|
найдем их |
отношение: |
Определим ток |
в моменты |
времени |
; |
|
св и |
⁄ |
св |
⁄ |
св |
св. Следовательно, |
отношение двух значе |
ний тока, взятых через период, не зависит от времени |
, поэтому удобно использо |
вать отношение двух соседних максимальных значений тока. Если затухание конту
ра |
достаточно |
мало ( |
), TO |
св |
; |
св 2 ⁄ |
. Поэтому |
св |
⁄ , где |
⁄ |
—добротность контура. Отсюда |
|
|
|
487 |
|
ln |
св |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсчитаем |
периодов колебаний тока на интервале времени [0; |
|
, |
|
св. |
Огибающая тока |
|
/( св |
) максимальна в начале этого интервала |
|
/( св ) и |
уменьшается до уровня. |
Для |
/( св ) |
в его конце. Отношение этих двух, |
значений |
огибающей |
. |
св |
|
контура |
с малыми потерями св |
⁄ |
|
|
поэтому |
|
ln |
|
|
|
|
|
|
. |
Например, |
при |
Практически удобно заранее. задаваться некоторыми значениями |
|
20 |
⁄ln |
|
1,05; |
Поэтому добротность контура приближенно равна |
числу периодов колебаний тока, подсчитанных на интервале времени, в конце кото
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рого огибающая тока уменьшается в 20 раз по.сравнению со своим значением в на |
чале интервала. Аналогично, |
|
2 при |
5 |
|
|
= 0,368 от своего |
|
|
Пусть в момент времени t =огибающая тока составляет |
максимального значения (при. |
0), а |
интервалу [0, |
] соответствует |
периодов |
колебаний тока, т. е. |
св |
Поскольку |
1, |
св |
⁄ ,то |
|
|
|
|
3 . |
|
|
6.29м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используйте результаты решения задачи 6.27р. По графику токаконту |
ра определитеt |
период колебаний тока |
св и максимальное значение огибающей тока |
|
|
(при |
= . |
|
|
|
/ |
св ); |
св 2 |
⁄ св найдите индуктивность |
. |
|
0) Из выражений |
|
( |
|
Определив по графику добротность |
и учитывая, что |
⁄ |
|
св ⁄ ; св |
1⁄√ |
|
, вычислите |
и . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.30р. Дифференциальное уравнение цепи при |
0 имеет вид |
· |
|
|
. |
|
|
|
|
Свободная составляющая тока (см. задачу 6.21р) |
св |
⁄ |
|
|
|
А. |
Вынужденная составляющая тока равна установившемуся значению тока цепи по сле коммутации (при ∞). Использовав метод комплексных амплитуд, найдем
вын |
|
|
cos 10 |
arctg |
|
1,73·10 cos 10 |
79° А. |
|
|
|
|
Просуммировав свободную и вынужденную составляющие, определим ток це
пи
|
|
|
|
|
|
1,73·10 |
cos 10 |
79° |
· |
А. |
Постоянную интегрирования |
В |
найдем, исходя из условия, что начальное зна |
|
чение тока через индуктивность равно значению тока в момент времени непосред ственно предшествующий коммутации. Подставив в полученное выражение для то
ка цепи |
0, |
0, определим |
1,73·10 |
cos79° |
0,33·10 А. Оконча |
тельноимеем |
|
1,73cos 10 |
79 |
0,33 · |
мА. |
|
6.33р. При подаче импульса напряжения на вход цепи емкость С заряжается и напряжение иC возрастает. В промежутках времени между импульсами емкость С разряжается и напряжение иC убывает. Изменения иC во времени происходят плавно,
без скачков (в противном случае нарушался бы второй закон коммутации). Таким образом, процессы зарядки и разрядки емкости чередуются.
Во время действия первого импульса напряжение иC увеличивается, начиная со значения иC (0) = 0, по закону (см. задачу 6.16р)
К моменту окончанияC |
|
|
⁄ ,0 |
и. |
|
С |
оказывается заря |
первого импульса |
и емкость |
|
женной до напряжения |
|
( |
и |
и , а затем наRинтервале между первым и вторым |
|
|
и |
|
|
|
|
и источникиCвходного напряжения, |
импульсами разряжается через сопротивление |
который принимаем идеальным. При разрядке напряжение |
изменяется по экспо |
ненциальному закону |
|
|
|
и |
и ⁄ , |
и |
|
|
|
|
и при |
становится равным |
|
|
|
|
|
. Поскольку изменяется непрерывно, |
верхние границы двух указанных временных интервалов |
|
|
и и |
соответст |
венно) могут быть включены в эти интервалы. |
|
|
|
|
|
К моменту прихода второго импульса напряжение на емкости отлично от нуля ( 0). Поэтому напряжение во время действия этого импульса (см. задачу
6.16р)
|
|
|
⁄ , |
|
и. |
При этом процесс разрядки емкости описывают формулой |
где и |
и . |
и |
и ⁄ , |
и |
2 , |
Аналогичным образом можно записать выражение для реакции цепи на третий |
и последующие импульсы. |
|
перейти к отсчету времени от начала очередного |
Если при вычислениях |
|
импульса, то выражения для реакции цепи на любой импульс входной после довательности станут единообразными по форме
|
|
|
|
и |
⁄ |
и |
0 |
, |
и; |
|
|
где |
0 |
—; |
|
и ⁄ , , |
|
|
начальное напряжение на емкости (для всех импульсов, кроме |
первого, |
|
0) |
и |
и — напряжение на емкости к моменту окончания им |
пульса; |
|
|
1 —время, отсчитываемое от начала рассматриваемого им |
пульса; |
|
= 1, 2, 3,...— порядковый номер импульса. |
|
|
a в |
. |
Графики |
|
для заданных значений и и |
приведены на рис. Т6.22, |
|
Рис. Т6.22
Очевидно, что по прошествии достаточно большого времени уст с момента подачи на вход цепи первого импульса бесконечной импульсной последовательно сти переходный режим в цепи затухает и устанавливается стационарный режим, в котором напряжение на емкости представляет собой периодическую функцию
времени: |
. [Заметим, что теоретически уст ∞, поэтому при |
расчете |
по приведенным формулам для переходного режима последнее равен |
ство выполняется лишь приближенно]. Исследованию стационарного режима в про стейших цепях при периодическом импульсном воздействии посвящены задачи 6.69
— 6.71.
Из графиков рис. Т6.22 видно, что в первом случае стационарный режим уста
навливается |
практически сразу ( уст 0), во втором — уст 6 мс, а в |
третьем — уст |
З мс. |
490
