емкостного или индуктивного элемента могут быть преобразованы одна в другую с помощью приемов преобразования активных двухполюсников (см. модуль 2.6 ).

Используя операторные схемы замещения идеализированных элементов, мож но получить операторную схему замещения произвольного участка линейной цепи или всей цепи в целом. С этой целью каждый идеализированный пассивный эле мент, изображенный на схеме замещения цепи для мгновенных значений, должен быть заменен операторной схемой замещения, а токи и напряжения идеализиро ванных источников тока или напряжения — представлены операторными изобра жениями соответствующих функций.

Операторная схема замещения цепи имеет такую же структуру, что и схема замещения цепи для мгновенных значений, но содержит дополнительные не­ зависимые источники энергии, определяющие запасы энергии цепи в момент времени, непосредственно предшествовавший коммутации.

Используя операторную схему замещения цепи, можно с помощью любого из рассмотренных ранее методов сформировать систему уравнений электрического равновесия в операторной форме, которая будет равносильна основной системе уравнений электрического равновесия цепи после коммутации в операторной фор ме.

Как следует из рассмотренного материала, уравнения электрического равнове сия цепи в операторной форме могут быть построены двумя способами:

1)исходя из уравнений электрического равновесия цепи для мгновенных зна

чений;

2)непосредственно по операторной схеме замещения цепи, минуя этап форми рования уравнений электрического равновесия для мгновенных значений.

Второй способ является менее трудоемким и поэтому он нашел более широкое применение на практике. Метод анализа переходных процессов в линейных цепях, ос­ нованный на формировании операторных уравнений электрического равновесия це­ пей по их операторным схемам замещения, получил название операторного метода анализа переходных процессов. Этот метод представляет собой дальнейшее развитие операторного метода решения дифференциальных уравнений и позволяет анализи ровать процессы в цепи после коммутации, минуя этап формирования уравнений электрического равновесия цепи для мгновенных значений токов и напряжений.

Порядок анализа переходных процессов операторным методом

Рассмотрим основные этапы анализа переходных процессов в линейных цепях с помощью операторного метода.

Анализ цепи до коммутации и определение независимых началь ных условий. Выполняются так же, как и при использовании классического метода анализа переходных процессов.

499

Составление операторной схемы замещения цепи после коммута ции. Составление операторной схемы замещения цепи производится непосредст венно по схеме замещения цепи для мгновенных значений путем замены каждого идеализированного пассивного элемента его операторной схемой замещения и представления токов и напряжений идеализированных источников тока или на пряжения их операторными изображениями.

Составление уравнений электрического равновесия цепи в опера торной форме. Система уравнений электрического равновесия цепи в оператор ной форме может быть сформирована любым из рассмотренных в книге 4 методов непосредственно по операторной схеме замещения цепи.

Решение уравнений электрического равновесия цепи относительно изображений искомых токов и напряжений. Может производиться любым методом, в том числе с помощью изложенного ранее метода сигнальных графов.

Определение оригиналов искомых токов и напряжений. Как правило, определение оригиналов искомых токов и напряжений производится путем приме нения таблиц обратного преобразования Лапласа [12] с учетом основных свойств преобразования Лаплаca. Если изображение интересующей функции представляет собой отношение двух полиномов р, для выполнения обратного преобразования Ла пласа можно воспользоваться теоремой разложения.

Пример6.4. Для цепи, схема которой приведена на рис. 6.11, а, найдем зависимость тока i3 и напряжения индуктивности u3, от времени при t 0. ЭДС идеализированного ис точника постоянного напряжения е t при t 0 скачком изменяется от Е1, до Е2:

Рис. 6.11. К примеру 6.4

Анализируя процессы в цепи до коммутации, определяем начальное значение тока индуктивности:

0 0 0 ⁄ .

Для построения операторной схемы замещения цепи после коммутации рис. 6.11, б заменяем идеализированные пассивные элементы их операторными схемами замещения, а ЭДС идеализированного источника напряжения Е2 — операторной ЭДС Е2 р Е2/р. Ис пользуя метод контурных токов, составляем систему уравнений электрического равновесия цепи в операторной форме:

500

⁄ ; ⁄ ,

Решая эту систему уравнений, получаем операторные изображения искомого тока

⁄

и напряжения

Преобразуем полученные выражения к такому виду, при котором для выполнения обратного преобразования Лапласа можно было бы непосредственно воспользоваться таб лицами, приведенными в приложении 1:

дуктивности принимают такие значения, которые они имели бы в случае, если индуктив ность была заменена идеализированным источником тока рис. 6.11, в , ток которого i3 0 E1/R1. Таким образом, в начальный момент после коммутации индуктивность ведет себя по добно идеализированному источнику тока при нулевых начальных условиях ток этого ис точника равен нулю, и, следовательно, ветвь, содержащую индуктивность, в начальный мо мент времени можно считать разомкнутой .

Вопросы для самопроверки

1.Какова математическая основа операторного метода анализа переходных процессов (ПП)?

2.Охарактеризуйте преобразование Лапласа и объясните смысл относящихся к нему терминов (операторное изображение функции, оригинал и др.)

3.Для каких функций времени существует операторное изображение?

4.Перечислите важнейшие свойства преобразования Лапласа.

5.Ранее было указано, что операторный метод относится к символическим методам. Какие ещё символические методы вам известны? Каков фундамен тальный принцип построения символических методов?

501

6.Как применяют преобразование Лапласа для решения дифференциальных уравнений? Можно ли его использовать и для интегродифференциальных уравнений?

7.Как формируют уравнения электрического равновесия цепи в операторной форме? Надо ли составить сначала аналогичные уравнения для мгновенных значений токов и напряжений, или без этого можно обойтись? Если да, то насколько это полезно для практики?

8.Как выглядят уравнения баланса токов и баланса напряжений в оператор ной форме? Каков смысл этих уравнений? Сравните их с другими уравне

ниями баланса: 1) для мгновенных значений; 2) для комплексных амплитуд.

10.Как учитывают независимые начальные условия в цепи при использовании операторного метода?

11.Выше было указано, что уравнение электрического равновесия в оператор ной форме можно построить двумя способами. Какие это способы? Одинако вы ли они по трудоёмкости или же один из них предпочтительнее другого? Приведите несложные примеры.

12.Укажите основные этапы анализа ПП операторным методом, их логическую последовательность и содержание.

13.Какие этапы из перечисленных Вами в ответе на предыдущий вопрос самые трудоёмкие? Возможно ли, что решение задачи операторным методом не удастся довести до конца?

14.Какие факторы сильнее затрудняют применение классического метода ана лиза ПП: 1) высокий порядок цепи или 2) сложный характер воздействия на цепь после коммутации? Почему?

15.Сравните классический метод и операторный методы анализа ПП с позиций их практической ценности. В каких условиях работы один метод предпоч тительнее другого?

Задачи

6.34р. Постройте операторную схему замещения и, используя метод токов вет вей в операторной форме, составьте уравнения электрического равновесия цепи, схема замещения которой для мгновенных значений приведена на рис. Т6.23.

6.35р. Постройте операторную схему замещения цепи рис. Т6.24. Составьте уравнения электрического равновесия цепи в операторной форме, используя мето ды контурных токов и узловых напряжений.

6.36р. Постройте операторную схему замещения цепи, содержащей связанные индуктивности (рис. Т6.25).

502

му характеру переходного процесса. Определите частоту свободных колебаний цепи. Задачу решите двумя способами на основании: а) анализа характеристического уравнения цепи; б) анализа уравнения вх 0 вх входное сопротивление цепи в операторной форме].

6.55.Решите задачу 6.54м для цепи рис. Т6.30.

6.56.Решите задачу 6.54м для цепи рис. Т6.31.

6.57м. Цепь (рис. Т6.32) подключают к идеальному источнику постоянного то ка. Какому условию должно отвечать сопротивление R, чтобы переходный процесс в цепи носил колебательный характер? Определите частоту свободных колебаний це пи. Как изменятся результаты решения задачи, если сопротивление, включенное параллельно индуктивности (рис. Т6.32) заменить сопротивлением, включенным последовательно с индуктивностью (рис. Т6.33)?

6.58р. Найдите операторные изображения одиночных импульсов (рис. Т6.34, а

— ж).

506

6.60. Найдите изображение по Лапласу периодической ( 0) последователь ности импульсов, полученной повторением каждого импульса на рис. Т6.34 с перио

6.62. Найдите операторное изображение ступенчатой функции (рис. Т6.35) с бесконечным числом ступенек.

6.63м. Определите изображения по Лапласу периодических функций, графики которых приведены на рис. Т6.36 и Т6.37.

6.64р. На цепь с нулевыми начальными условиями воздействует треуголь ный импульс напряжения (рис. Т6.38, а, б). Найдите напряжение на выходе цепи

.

Рис. Т6.38

6.65м. Решите предыдущую задачу, считая, что напряжение на входе цепи пред ставляетсобойпериодическуюпоследовательностьимпульсовтреугольнойформы(рис.

Т6.38,а, в).

6.66м. Последовательную цепь (рис. Т6.39) с нулевыми начальными усло виями в момент 0 подключают к источнику напряжения, который вырабатывает импульс треугольной формы (см. рис. Т6.38, б). Найдите напряжение на выходе це пи.

507