- •Аннотация
- •Оглавление
- •Дорогие читатели!
- •Предисловие
- •Введение
- •Книга 1. Основные понятия теории цепей
- •Модуль 1.1. Основные определения
- •Электрическая цепь
- •Электрический ток
- •Напряжение
- •Электродвижущая сила
- •Мощность и энергия
- •Схема электрической цепи
- •Вопросы для самопроверки
- •Модуль 1.2. Идеализированные пассивные элементы
- •Резистивный элемент
- •Емкостный элемент
- •Индуктивный элемент
- •Дуальные элементы и цепи
- •Схемы замещения реальных элементов электрических цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Модуль 1.3. Идеализированные активные элементы
- •Идеальный источник напряжения
- •Идеальный источник тока
- •Схемы замещения реальных источников
- •Управляемые источники тока и напряжения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 1.4. Топология цепей
- •Схемы электрических цепей. Основные определения
- •Понятие о компонентных и топологических уравнениях. Законы Кирхгофа
- •Графы схем электрических цепей
- •Определение числа независимых узлов и контуров
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 1.5. Уравнения электрического равновесия цепей
- •Основные задачи теории цепей
- •Понятие об уравнениях электрического равновесия
- •Классификация электрических цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Ответы
- •Модуль 2.1. Анализ линейных цепей с источниками гармонических токов и напряжений
- •Понятие о гармонических функциях
- •Линейные операции над гармоническими функциями
- •Среднее, средневыпрямленное и действующее значения гармонических токов и напряжений
- •Дифференциальное уравнение цепи при гармоническом воздействии
- •Вопросы для самопроверки
- •Модуль 2.2. Метод комплексных амплитуд
- •Понятие о символических методах
- •Комплексные числа и основные операции над ними
- •Операции над комплексными изображениями гармонических функций
- •Комплексные сопротивление и проводимость пассивного участка цепи
- •Порядок анализа цепи методом комплексных амплитуд
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 2.3. Идеализированные пассивные элементы при гармоническом воздействии
- •Резистивный элемент
- •Емкостный элемент
- •Индуктивный элемент
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Делители напряжения и тока
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Мгновенная мощность пассивного двухполюсник
- •Активная, реактивная, полная и комплексная мощности
- •Баланс мощностей
- •Коэффициент мощности
- •Согласование источника энергии с нагрузкой
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 2.6. Преобразования электрических цепей
- •Понятие об эквивалентных преобразованиях
- •Участки цепей с последовательным соединением элементов
- •Участки цепей с параллельным соединением элементов
- •Участки цепей со смешанным соединением элементов
- •Эквивалентное преобразование треугольника сопротивлений в звезду и обратное преобразование
- •Комплексные схемы замещения источников энергии
- •Перенос источников
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 2.7. Цепи с взаимной индуктивностью
- •Понятие о взаимной индуктивности
- •Понятие об одноименных зажимах
- •Коэффициент связи между индуктивными катушками
- •Цепи с взаимной индуктивностью при гармоническом воздействии
- •Понятие о линейных трансформаторах
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 3. Частотные характеристики и резонансные явления
- •Понятие о комплексных частотных характеристиках
- •Комплексные частотные характеристики цепей с одним реактивным элементом
- •Понятие о резонансе в электрических цепях
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 3.2. Последовательный колебательный контур
- •Cхемы замещения и параметры элементов контура
- •Энергетические процессы в последовательном колебательном контуре
- •Входные характеристики
- •Передаточные характеристики
- •Избирательные свойства последовательного колебательного контура
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 3.3. Параллельный колебательный контур
- •Схемы замещения
- •Параллельный колебательный контур основного вида
- •Параллельный колебательный контур с разделенной индуктивностью
- •Параллельный колебательный контур с разделенной емкостью
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 3.4. Связанные колебательные контуры
- •Общие сведения
- •Схемы замещения
- •Настройка связанных контуров
- •Частотные характеристики
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Общие сведения
- •Методы, основанные на непосредственном применении законов Кирхгофа
- •Метод контурных токов
- •Метод узловых напряжений
- •Формирование уравнений электрического равновесия цепей с зависимыми источниками
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 4.2. Основные теоремы теории цепей
- •Принцип наложения
- •Теорема взаимности
- •Теорема компенсации
- •Автономные и неавтономные двухполюсники
- •Теорема об эквивалентном источнике
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 4.3. Метод сигнальных графов
- •Общие сведения
- •Преобразования сигнальных графов
- •Применение сигнальных графов к анализу цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 5. Нелинейные резистивные цепи
- •Модуль 5.1. Постановка задачи анализа нелинейных резистивных цепей
- •Вводные замечания
- •Нелинейные резистивные элементы
- •Уравнения электрического равновесия нелинейных резистивных цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Модуль 5.2. Графические методы анализа нелинейных резистивных цепей
- •Простейшие преобразования нелинейных резистивных цепей
- •Определение рабочих точек нелинейных резистивных элементов
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Задача аппроксимации
- •Выбор аппроксимирующей функции
- •Определение коэффициентов аппроксимирующей функции
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Нелинейное сопротивление при гармоническом воздействии
- •Понятие о режимах малого и большого сигнала
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 6. Методы анализа переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами
- •Модуль 6.1. Задача анализа переходных процессов
- •Возникновение переходных процессов. Понятие о коммутации
- •Законы коммутации
- •Общий подход к анализу переходных процессов
- •Определение порядка сложности цепи
- •Вопросы для самопроверки
- •Модуль 6.2. Классический метод анализа переходных процессов
- •Свободные и вынужденные составляющие токов и напряжений
- •Порядок анализа переходных процессов классическим методом
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 6.3. Операторный метод анализа переходных процессов
- •Преобразование Лапласа и его применение к решению дифференциальных уравнений
- •Порядок анализа переходных процессов операторным методом
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 6.4. Операторные характеристики линейных цепей
- •Реакция цепи на экспоненциальное воздействие
- •Понятие об операторных характеристиках
- •Методы определения операторных характеристик
- •Дифференцирующие и интегрирующие цепи
- •Вопросы для самопроверки
- •Единичные функции и их свойства
- •Переходная и импульсная характеристики линейных цепей
- •Методы определения временных характеристик
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие
- •Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее переходной характеристике
- •Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее импульсной характеристике
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 7. Основы теории четырехполюсников и многополюсников
- •Модуль 7.1. Многополюсники и цепи с многополюсными элементами
- •Задача анализа цепей с многополюсными элементами
- •Классификация и схемы включения многополюсников
- •Основные уравнения и первичные параметры линейных неавтономных многополюсников
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Классификация проходных четырехполюсников
- •Основные уравнения и первичные параметры неавтономных проходных четырехполюсников
- •Методы определения первичных параметров неавтономных проходных четырехполюсников
- •Первичные параметры составных четырехполюсников
- •Схемы замещения неавтономных проходных четырехполюсников
- •Автономные проходные четырехполюсники
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Характеристические постоянные передачи неавтономного проходного четырехполюсника
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Модуль 7.4. Невзаимные проходные четырехполюсники
- •Идеальные усилители напряжения и тока
- •Однонаправленные цепи и цепи с обратной связью
- •Идеальные операционные усилители
- •Преобразователи сопротивления
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Модуль 7.5. Электрические фильтры
- •Классификация электрических фильтров
- •Реактивные фильтры
- •Активные фильтры
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 8. Цепи с распределенными параметрами
- •Модуль 8.1. Задача анализа цепей с распределенными параметрами
- •Общие сведения
- •Общее решение дифференциальных уравнений длинной линии
- •Вопросы для самопроверки
- •Волновые процессы в однородной длинной линии
- •Режим стоячих волн
- •Режим смешанных волн
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Проходной четырехполюсник с распределенными параметрами
- •Входное сопротивление отрезка однородной длинной линии
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Распределение напряжения и тока в однородной линии без потерь при произвольном внешнем воздействии
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Модуль 8.5. Цепи с распределенными параметрами специальных типов
- •Резистивные линии
- •Неоднородные линии
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Ответы
- •Книга 9. Синтез электрических цепей
- •Модуль 9.1. Задача синтеза линейных электрических цепей
- •Понятие физической реализуемости
- •Основные этапы синтеза цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Понятие о положительных вещественных функциях
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 9.3. Методы реализации реактивных двухполюсников
- •Методы выделения простейших составляющих (метод Фостера)
- •Метод разложения в цепную дробь (метод Кауэра)
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 9.4. Основы синтеза линейных пассивных четырехполюсников
- •Задача синтеза четырехполюсников
- •Методы реализации пассивных четырехполюсников
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 10. Методы автоматизированного анализа цепей
- •Модуль 10.1. Задача автоматизированного анализа цепей
- •Понятие о ручных и машинных методах анализа цепей
- •Общие представления о программах машинного анализа цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Топологические матрицы и топологические уравнения
- •Свойства топологических матриц
- •Компонентные матрицы и компонентные уравнения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Методы узловых напряжений и контурных токов
- •Метод переменных состояния
- •Формирование уравнений состояния в матричной форме
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 10.4. Особенности современных программ автоматизированного анализа цепей
- •Выбор методов формирования уравнений электрического равновесия. Понятие о поколениях программ автоматизированного анализа цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Ответы
- •Заключение
- •Приложения
- •Приложение 1. Таблица оригиналов и изображений по Лапласу
- •Приложение 2. Основные уравнения проходных четырёхполюсников
- •Приложение 3. Соотношения между первичными параметрами проходных четырехполюсников
- •Приложение 5. Соотношения между первичными параметрами взаимных и симметричных четырехполюсников
- •Приложение 6. Приставки для образования кратных и дольных единиц
- •Приложение 7. Инструкция для работы с Самоучителем по курсу «Основы теории цепей»
- •Список литературы
Модуль 1.3. Идеализированные активные элементы
Цель модуля: рассмотрение основных свойств и математических моделей идеализированных активных элементов.
Идеальный источник напряжения
Идеальный источник напряжения (источник напряжения, источник ЭДС)
представляет собой идеализированный активный элемент, напряжение на зажимах которого не зависит от тока через эти зажимы. Напряжение u на зажимах источника напряжения (его обычно называют задающим напряжением) при любом токе равно напряжению на зажимах этого же источника при отсутствии в нем тока, т. е. равно ЭДС источника:
1.26
и может быть произвольной функцией времени. В частном случае ЭДС е(t) = E_ мо жет не зависеть от времени. Источник такого типа называется источником посто янного напряжения (источником постоянной ЭДС).
Условное графическое изображение источника напряжения приведено на рис. 1.12, а. Стрелка внутри кружка на рисунке указывает направление ЭДС. Для источ ников постоянного напряжения она направлена от зажима с меньшим потенциалом к зажиму с более высоким потенциалом, в то время как напряжение на внешних за жимах источника направлено от зажима с более высоким потенциалом к зажиму с меньшим потенциалом.
i
u
E_
e(t) |
u |
0 i
a)б)
Рис. 1.12. Идеальный источник напряжения:
а — условное графическое изображение; б—внешняя характеристика источника постоянно го напряжения
Внешней характеристикой любого источника электрической энергии назы вается зависимость напряжения на его зажимах от тока источника. Внешняя харак теристика источника постоянного напряжения имеет вид прямой линии, парал лельной оси токов (рис. 1.12, б), причем при Е_=0 внешняя характеристика источни ка постоянного напряжения совпадает с осью токов. Другими словами, источник на пряжения Е_=0 ведет себя таким же образом, как линейное сопротивление с R = 0.
37
Если подключить к зажимам источника ЭДС нагрузку RH (рис. 1.13), то, согласно (1.10), (1.11), ток через RH и выделяемую в нагрузке мощность можно найти из вы ражений
|
1 |
; |
1 |
1 |
. |
1.27 |
||
н |
|
н |
н |
|
н |
С уменьшением Rн ток нагрузки и выделяемая в ней мощность неограниченно возрастают. Вследствие этого источник напряжения иногда называют источником бесконечной мощности*.
Рис. 1.13. Подключение нагрузки к источнику напряжения
Идеальный источник тока
Идеальный источник тока (источник тока) — это идеализированный актив ный элемент, ток которого не зависит от напряжения на его зажимах. Ток источника (задающий ток)
. 1.28
может быть произвольной функцией времени, в частном случае он может не зави сеть от времени: i(t) = J_ (источник постоянного тока). Внешняя характеристика ис точника постоянного тока показана на рис. 1.14, а.
При J_ = 0 внешняя характеристика источника тока совпадает с осью напряже ний. Таким образом, внешняя характеристика источника тока J_ = 0 совпадает с ВАХ линейного сопротивления R = ∞.
Условное графическое изображение источника тока приведено на рис. 1.14, б. Двойная стрелка на рисунке показывает направление тока внутри источника. У ис точников постоянного тока это направление совпадает с направлением перемеще ния положительных зарядов внутри источника, т. е. с направлением от зажима с меньшим потенциалом к зажиму с большим потенциалом.
* Предельный случай, когда RH = 0 (режим короткого замыкания источника), исключается из рассмотрения, так как при этом возникает противоречие: с одной стороны, при RH =0 выводы источ ника закорочены и, следовательно, напряжение источника должно равняться нулю, с другой сторо ны, в соответствии с определением, напряжение источника ЭДС не зависит от тока источника, и, сле довательно, при RH =0 , когда i=∞, напряжение источника должно равняться e(t).
38
Ток источника тока и напряжение источника напряжения являются пара метрами идеализированных активных элементов подобно тому, как сопротив ление, емкость и индуктивность являются параметрами одноименных идеали зированных пассивных элементов.
Рис. 1.14. Идеальный источник тока:
а — внешняя характеристика источника постоянного тока; б — условное графическое изо бражение
Если к внешним выводам источника тока подключить нагрузку RH (рис. 1.15), то, согласно (1.9), (1.11), напряжение на нагрузке и выделяемую в ней мощность можно определить из выражений
н |
н |
; |
н |
н |
. |
1.29 |
С увеличением RH напряжение на нагрузке и выделяемая в ней мощность неог раниченно увеличиваются, поэтому источник тока, так же как и источник напряже ния, является источником бесконечной мощности*.
Рис. 1.15. Подключение нагрузки к источнику тока
Зависимость тока источника тока от напряжения имеет такой же вид, как и за висимость напряжения источника напряжения от тока, поэтому эти источники яв ляются дуальными элементами.
* Предельный случай, когда RH =∞ (режим холостого хода источника), исключается из рассмот рения, так как при этом возникает противоречие: с одной стороны, при RH= ∞ напряжение на выходе источника бесконечно велико, цепь нагрузки фактически разорвана и ток источника должен рав няться нулю, с другой стороны, в соответствии с определением источника тока, ток источника не за висит от напряжения на его зажимах и при u= ∞, также должен равняться j(t).
39
Схемы замещения реальных источников
Идеальные источники тока и напряжения можно рассматривать как упрощен ные модели реальных источников энергии. При определенных условиях, в доста точно узком диапазоне токов и напряжений, внешние характеристики ряда реаль ных источников энергии могут приближаться к характеристикам идеализирован ных активных элементов. Так, внешняя характеристика гальванического элемента в области малых токов имеет вид, близкий к внешней характеристике источника на пряжения (см. рис. 1.12, б), а внешняя характеристика выходного каскада на транзи сторе в определенном диапазоне напряжений приближается к внешней характери стике источника тока (см. рис. 1.14, а).
В то же время свойства реальных источников энергии значительно отличаются от свойств идеализированных активных элементов. Реальные источники энергии обладают конечной мощностью; их внешняя характеристика, как правило, не парал лельна оси токов или оси напряжений, а пересекает эти оси в двух характерных точ ках, соответствующих режимам холостого хода и короткого замыкания (иногда в ис точниках энергии применяют специальные виды защиты, исключающие работу в предельных режимах или в одном из них).
С достаточной для практики точностью внешние характеристики большинства реальных источников энергии могут быть приближенно представлены прямой ли нией, пересекающей оси токов и напряжений в точках 1 и 2 (рис. 1.16, а):
х, |
0; |
1.30 |
0, |
к, |
1.31 |
соответствующие режимам холостого хода и короткого замыкания источника. Ис точники, имеющие линейную внешнюю характеристику, в дальнейшем будем назы вать линеаризованными источниками энергии*.
Рис. 1.16. Внешняя характеристика (а), последовательная (б) и параллельная (в) схемы за мещения линеаризованного источника
Покажем, что линеаризованный источник энергии может быть представлен моделирующей цепью, состоящей из идеального источника напряжения Е_ и внут реннего сопротивления Ri или идеального источника тока J_ и внутренней проводи
* В литературе такие источники, не вполне удачно, называютреальными.
40
мости Gi . Действительно, уравнение прямой, проходящей через две точки с коорди натами
i1, u1 и i2, u2, имеет вид
. 1.32
Подставляя (1.30), (1.31) в (1.32) и представляя напряжение u как функцию то ка i, находим аналитическое выражение для внешней характеристики линеаризо ванного источника:
х |
х |
1.33 |
к . |
В соответствии с (1.33) напряжение линеаризованного источника состоит из двух составляющих. Первая ux имеет размерность напряжения и не зависит от тока источника. Ее можно интерпретировать как напряжение некоторого идеального ис точника напряжения с ЭДС Е_ = ux. Вторая составляющая напряжения источника (ux/iк) i прямо пропорциональна току. Ее можно рассматривать как напряжение на некотором сопротивлении Ri = ux/iк, ток которого равен току источника i (это сопро тивление в дальнейшем будем называть внутренним сопротивлением источни ка). Итак, уравнению (1.33) может быть поставлена в соответствие схема замещения линеаризованного источника, изображенная на рис. 1.16, б. Такая схема замещения получила название последовательной. Можно убедиться, что зависимость напря жения на зажимах этой цепи от тока определяется уравнением
. 1.34
равносильным уравнению (1.33), и, следовательно, внешняя характеристика цепи имеет вид, показанный на рис. 1.16, а.
Из анализа выражения (1.34) следует, что при фиксированном Е_= ux с умень шением внутреннего сопротивления, источника Ri, внешняя характеристика линеа ризованного источника приближается к внешней характеристике идеального ис точника напряжения (рис. 1.17, а). При Ri =0 источник с линейной внешней характе ристикой вырождается в идеальный источник напряжения.
Таким образом, идеальный источник напряжения можно рассматривать как источник энергии, внутреннее сопротивление которого равно нулю.
Рассмотрим другую схему замещения линеаризованного источника, в которой содержится идеальный источник тока. Для этого, используя (1.32), выразим ток i как функцию напряжения на зажимах источника:
к |
к |
1.35 |
х . |
41
u |
|
|
u |
Gi1 |
|||
|
|
|
|
|
|||
ux |
|
|
Ri1 |
|
Gi2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||||
|
|
Ri2 |
|
Gi3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ri3 |
|
|
|
Gi4 |
|
|
|
Ri4 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
i |
0 |
|
|
к i |
|
|
i |
||||||
|
a) |
|
|
|
б) |
Рис. 1.17. Внешние характеристики источников с Ri4>Ri3>Ri2>Ri1=0 (а)
и Gi4>Gi3>Gi2>Gi1=0 (б)
Как следует из выражения (1.35), ток линеаризованного источника состоит из двух составляющих. Первая iк не зависит от напряжения на зажимах источника. Ее можно рассматривать как ток некоторого идеального источника тока J_ = iк. Вторая составляющая тока (iк/ux)u прямо пропорциональна напряжению на зажимах ис точника, поэтому ее можно интерпретировать как ток через некоторую (внутрен нюю) проводимость Gi = Ri1 = iк/ux, к которой приложено напряжение u. Таким обра зом, выражению (1.35) можно поставить в соответствие схему замещения, изобра женную на рис. 1.16, в. Такая схема замещения называется параллельной.
Зависимость между током и напряжением на зажимах соответствующей моде лирующей цепи определяется уравнением, равносильным уравнению (1.35):
. 1.36
Из уравнения (1.36) следует, что при неизменном J_ = iк с уменьшением внут ренней проводимости источника Gi внешняя характеристика линеаризованного ис точника приближается к внешней характеристике идеального источника тока (рис. 1.17, б). В пределе, при Gi = 0, линеаризованный источник энергии вырождается в идеальный источник тока.
Таким образом, идеальный источник тока можно рассматривать как ис точник энергии с бесконечно малой внутренней проводимостью (бесконечно большим внутренним сопротивлением).
Рассмотренные схемы замещения линеаризованного источника были получе ны из уравнения (1.32), имеют одну и ту же внешнюю характеристику и, следова тельно, их поведение относительно внешних зажимов совершенно одинаково. Вы бор той или иной схемы замещения может быть сделан совершенно произвольно, однако в процессе исследования цепи может возникнуть необходимость перехода от одной схемы замещения к другой. Используя выражения (1.33) — (1.36), можно най ти формулы перехода от последовательной схемы замещения к параллельной
; |
1 |
. |
1.37 |
и от параллельной схемы к последовательной
42