- •Аннотация
- •Оглавление
- •Дорогие читатели!
- •Предисловие
- •Введение
- •Книга 1. Основные понятия теории цепей
- •Модуль 1.1. Основные определения
- •Электрическая цепь
- •Электрический ток
- •Напряжение
- •Электродвижущая сила
- •Мощность и энергия
- •Схема электрической цепи
- •Вопросы для самопроверки
- •Модуль 1.2. Идеализированные пассивные элементы
- •Резистивный элемент
- •Емкостный элемент
- •Индуктивный элемент
- •Дуальные элементы и цепи
- •Схемы замещения реальных элементов электрических цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Модуль 1.3. Идеализированные активные элементы
- •Идеальный источник напряжения
- •Идеальный источник тока
- •Схемы замещения реальных источников
- •Управляемые источники тока и напряжения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 1.4. Топология цепей
- •Схемы электрических цепей. Основные определения
- •Понятие о компонентных и топологических уравнениях. Законы Кирхгофа
- •Графы схем электрических цепей
- •Определение числа независимых узлов и контуров
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 1.5. Уравнения электрического равновесия цепей
- •Основные задачи теории цепей
- •Понятие об уравнениях электрического равновесия
- •Классификация электрических цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Ответы
- •Модуль 2.1. Анализ линейных цепей с источниками гармонических токов и напряжений
- •Понятие о гармонических функциях
- •Линейные операции над гармоническими функциями
- •Среднее, средневыпрямленное и действующее значения гармонических токов и напряжений
- •Дифференциальное уравнение цепи при гармоническом воздействии
- •Вопросы для самопроверки
- •Модуль 2.2. Метод комплексных амплитуд
- •Понятие о символических методах
- •Комплексные числа и основные операции над ними
- •Операции над комплексными изображениями гармонических функций
- •Комплексные сопротивление и проводимость пассивного участка цепи
- •Порядок анализа цепи методом комплексных амплитуд
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 2.3. Идеализированные пассивные элементы при гармоническом воздействии
- •Резистивный элемент
- •Емкостный элемент
- •Индуктивный элемент
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Делители напряжения и тока
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Мгновенная мощность пассивного двухполюсник
- •Активная, реактивная, полная и комплексная мощности
- •Баланс мощностей
- •Коэффициент мощности
- •Согласование источника энергии с нагрузкой
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 2.6. Преобразования электрических цепей
- •Понятие об эквивалентных преобразованиях
- •Участки цепей с последовательным соединением элементов
- •Участки цепей с параллельным соединением элементов
- •Участки цепей со смешанным соединением элементов
- •Эквивалентное преобразование треугольника сопротивлений в звезду и обратное преобразование
- •Комплексные схемы замещения источников энергии
- •Перенос источников
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 2.7. Цепи с взаимной индуктивностью
- •Понятие о взаимной индуктивности
- •Понятие об одноименных зажимах
- •Коэффициент связи между индуктивными катушками
- •Цепи с взаимной индуктивностью при гармоническом воздействии
- •Понятие о линейных трансформаторах
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 3. Частотные характеристики и резонансные явления
- •Понятие о комплексных частотных характеристиках
- •Комплексные частотные характеристики цепей с одним реактивным элементом
- •Понятие о резонансе в электрических цепях
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 3.2. Последовательный колебательный контур
- •Cхемы замещения и параметры элементов контура
- •Энергетические процессы в последовательном колебательном контуре
- •Входные характеристики
- •Передаточные характеристики
- •Избирательные свойства последовательного колебательного контура
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 3.3. Параллельный колебательный контур
- •Схемы замещения
- •Параллельный колебательный контур основного вида
- •Параллельный колебательный контур с разделенной индуктивностью
- •Параллельный колебательный контур с разделенной емкостью
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 3.4. Связанные колебательные контуры
- •Общие сведения
- •Схемы замещения
- •Настройка связанных контуров
- •Частотные характеристики
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Общие сведения
- •Методы, основанные на непосредственном применении законов Кирхгофа
- •Метод контурных токов
- •Метод узловых напряжений
- •Формирование уравнений электрического равновесия цепей с зависимыми источниками
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 4.2. Основные теоремы теории цепей
- •Принцип наложения
- •Теорема взаимности
- •Теорема компенсации
- •Автономные и неавтономные двухполюсники
- •Теорема об эквивалентном источнике
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 4.3. Метод сигнальных графов
- •Общие сведения
- •Преобразования сигнальных графов
- •Применение сигнальных графов к анализу цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 5. Нелинейные резистивные цепи
- •Модуль 5.1. Постановка задачи анализа нелинейных резистивных цепей
- •Вводные замечания
- •Нелинейные резистивные элементы
- •Уравнения электрического равновесия нелинейных резистивных цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Модуль 5.2. Графические методы анализа нелинейных резистивных цепей
- •Простейшие преобразования нелинейных резистивных цепей
- •Определение рабочих точек нелинейных резистивных элементов
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Задача аппроксимации
- •Выбор аппроксимирующей функции
- •Определение коэффициентов аппроксимирующей функции
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Нелинейное сопротивление при гармоническом воздействии
- •Понятие о режимах малого и большого сигнала
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 6. Методы анализа переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами
- •Модуль 6.1. Задача анализа переходных процессов
- •Возникновение переходных процессов. Понятие о коммутации
- •Законы коммутации
- •Общий подход к анализу переходных процессов
- •Определение порядка сложности цепи
- •Вопросы для самопроверки
- •Модуль 6.2. Классический метод анализа переходных процессов
- •Свободные и вынужденные составляющие токов и напряжений
- •Порядок анализа переходных процессов классическим методом
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 6.3. Операторный метод анализа переходных процессов
- •Преобразование Лапласа и его применение к решению дифференциальных уравнений
- •Порядок анализа переходных процессов операторным методом
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 6.4. Операторные характеристики линейных цепей
- •Реакция цепи на экспоненциальное воздействие
- •Понятие об операторных характеристиках
- •Методы определения операторных характеристик
- •Дифференцирующие и интегрирующие цепи
- •Вопросы для самопроверки
- •Единичные функции и их свойства
- •Переходная и импульсная характеристики линейных цепей
- •Методы определения временных характеристик
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие
- •Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее переходной характеристике
- •Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее импульсной характеристике
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 7. Основы теории четырехполюсников и многополюсников
- •Модуль 7.1. Многополюсники и цепи с многополюсными элементами
- •Задача анализа цепей с многополюсными элементами
- •Классификация и схемы включения многополюсников
- •Основные уравнения и первичные параметры линейных неавтономных многополюсников
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Классификация проходных четырехполюсников
- •Основные уравнения и первичные параметры неавтономных проходных четырехполюсников
- •Методы определения первичных параметров неавтономных проходных четырехполюсников
- •Первичные параметры составных четырехполюсников
- •Схемы замещения неавтономных проходных четырехполюсников
- •Автономные проходные четырехполюсники
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Характеристические постоянные передачи неавтономного проходного четырехполюсника
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Модуль 7.4. Невзаимные проходные четырехполюсники
- •Идеальные усилители напряжения и тока
- •Однонаправленные цепи и цепи с обратной связью
- •Идеальные операционные усилители
- •Преобразователи сопротивления
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Модуль 7.5. Электрические фильтры
- •Классификация электрических фильтров
- •Реактивные фильтры
- •Активные фильтры
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 8. Цепи с распределенными параметрами
- •Модуль 8.1. Задача анализа цепей с распределенными параметрами
- •Общие сведения
- •Общее решение дифференциальных уравнений длинной линии
- •Вопросы для самопроверки
- •Волновые процессы в однородной длинной линии
- •Режим стоячих волн
- •Режим смешанных волн
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Проходной четырехполюсник с распределенными параметрами
- •Входное сопротивление отрезка однородной длинной линии
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Распределение напряжения и тока в однородной линии без потерь при произвольном внешнем воздействии
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Модуль 8.5. Цепи с распределенными параметрами специальных типов
- •Резистивные линии
- •Неоднородные линии
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Ответы
- •Книга 9. Синтез электрических цепей
- •Модуль 9.1. Задача синтеза линейных электрических цепей
- •Понятие физической реализуемости
- •Основные этапы синтеза цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Понятие о положительных вещественных функциях
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 9.3. Методы реализации реактивных двухполюсников
- •Методы выделения простейших составляющих (метод Фостера)
- •Метод разложения в цепную дробь (метод Кауэра)
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 9.4. Основы синтеза линейных пассивных четырехполюсников
- •Задача синтеза четырехполюсников
- •Методы реализации пассивных четырехполюсников
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 10. Методы автоматизированного анализа цепей
- •Модуль 10.1. Задача автоматизированного анализа цепей
- •Понятие о ручных и машинных методах анализа цепей
- •Общие представления о программах машинного анализа цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Топологические матрицы и топологические уравнения
- •Свойства топологических матриц
- •Компонентные матрицы и компонентные уравнения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Методы узловых напряжений и контурных токов
- •Метод переменных состояния
- •Формирование уравнений состояния в матричной форме
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 10.4. Особенности современных программ автоматизированного анализа цепей
- •Выбор методов формирования уравнений электрического равновесия. Понятие о поколениях программ автоматизированного анализа цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Ответы
- •Заключение
- •Приложения
- •Приложение 1. Таблица оригиналов и изображений по Лапласу
- •Приложение 2. Основные уравнения проходных четырёхполюсников
- •Приложение 3. Соотношения между первичными параметрами проходных четырехполюсников
- •Приложение 5. Соотношения между первичными параметрами взаимных и симметричных четырехполюсников
- •Приложение 6. Приставки для образования кратных и дольных единиц
- •Приложение 7. Инструкция для работы с Самоучителем по курсу «Основы теории цепей»
- •Список литературы
6.67м. На вход последовательного |
контура без потерь с нулевыми |
началь |
|||||||
ными |
условиями в момент |
0 поступает прямоугольный импульс напряжения |
|||||||
высотойЕи длительностью и. |
Найдите напряжение на емкости |
. При каком |
|||||||
значении и напряжение |
|
0, при |
и? Дайте физическую |
интерпретацию |
|||||
этому результату. |
|
|
|
|
|
|
|
||
6.68м. |
На параллельный контур без потерь с нулевыми начальными усло |
||||||||
виями в момент |
0 поступает прямоугольный импульс тока высотой |
и дли |
|||||||
тельностью и. Найдите напряжение на емкости |
. При каком значении и напря |
||||||||
жение |
|
0, при |
и |
? Дайте физическую интерпретацию этому результату. |
|||||
6.69р. |
Рассчитайте ток последовательной |
цепи в установившемся режиме |
|||||||
|
|
при воздействии на цепь бесконечной последовательности прямоугольных положи
|
а б |
). |
|
тельных импульсов напряжения (рис. Т6.40, , |
в ус |
||
6.70. |
По данным задачи 6.69р найдите напряжение на индуктивности |
||
|
тановившемся режиме.
6.71м. Определите напряжение последовательной цепи в установившем ся режиме при воздействии на нее такого же импульсного напряжения, как и в зада
6.72р. |
Напряжение |
на выходе идеализированной электрической цепи по |
||
че 6.69р. |
||||
вторяет напряжение |
на входе: |
, где — положительная кон |
||
станта. Найдите операторный коэффициент передачи цепи по напряжению |
. |
Можно ли построить реальную цепь с таким ?
Решения и методические указания
6.34р. Операторная схема замещения рассматриваемой цепи приведена на рис. Т6.41.
Рис. Т6.41
Уравнения электрического равновесия цепи в операторной форме имеют сле дующий вид:
0;
0 ;
508
1 0 .
6.35. Операторная схема замещения рассматриваемой цепи приведена на рис. Т6.42. Выбирая систему независимых контуров так, как показано на рис. Т6.42, составим уравнения электрического равновесия методом контурных токов:
Рис. Т6.42
|
|
|
|
|
|
|
0 |
; |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
; |
|||
где |
1⁄ |
; |
1⁄ |
1⁄ |
|
|
0 |
, |
|
|
1⁄ |
; |
|
; |
|
; |
|
|
|
|
|||||||
|
1⁄ |
; |
|
1⁄ |
|
. |
|
|
|
; |
|
||
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для того чтобы составить уравнения электрического равновесия цепи методом узловых напряжений, заменим последовательные схемы замещения источников на параллельные (рис. Т6.43). Уравнения электрического равновесия цепи, составлен ные этим методом, имеют вид
Рис. Т6.43
509
0 |
0 |
; |
0
0 ,
где |
1⁄ |
1⁄ |
; |
1⁄ |
1⁄ ; |
1⁄ |
. |
6.36р. Уравнения, связывающие мгновенные значения токов и напряжений рассматриваемой цепи, имеют вид
d |
d |
|
d |
d |
|
d |
d |
; |
d |
d |
. |
Перейдя от мгновенных значений токов и напряжений к их изображениям по Лапласу, получим следующую систему уравнений для изображений:
0 0 ;
0 0 .
Операторная схема замещения цепи, соответствующая этим уравнениям, при ведена на рис. Т6.44.
Рис. Т6.44
6.37м. Гиперболические функции выразите через экспоненты с вещественны ми показателями, а гармонические — через экспоненты с мнимыми показателями.
6.39м. |
Используйте предельные соотношения lim |
lim |
, |
|
lim |
lim |
. |
|
|
6.42M — 6.45м. ЭТИ задачи однотипны. Для их решения необходимо перейти от заданных функций времени к их изображениям по Лапласу.
510
Рис. Т6.45
6.46р. Операторная схема замещения цепи после коммутации приведена на рис. Т6.45. Уравнение электрического равновесия цепи, составленное по второму за
кону Кирхгофа, |
1⁄ |
|
|
⁄ |
⁄ . Решив это уравнение, найдем изо |
|||||||||||
бражение |
входного |
тока |
цепи и изображение |
напряжения |
на |
емкости: |
||||||||||
1⁄ |
|
1⁄ |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Учитывая, что |
|
|
|
и |
|
|
|
|
1 |
|
, перейдем от |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
изображений входного тока и напряжения на емкости к оригиналам: |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
⁄ |
1·10 |
|
|
А, |
ВЕ. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6.47р. |
|
|
1 |
⁄ |
10 5 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Одиночный прямоугольный импульс напряжения |
длительностью и |
|||||||||||||
можно представить в виде суммы двух скачков напряжения: первого ( |
E |
), приложен |
||||||||||||||
ного к входу цепи в момент времени |
0, и второго ( |
E |
), приложенного к входу це |
|||||||||||||
пи в момент времени |
и. Для анализа переходных процессов в цепи целесообраз |
но воспользоваться методом наложения, в соответствии с которым реакция линей ной цепи на воздействие двух скачков может быть найдена как сумма реакций цепи на воздействие каждого из скачков в отдельности. Таким образом, входной ток мо жет быть определен как сумма двух токов и , вызванных соответственно дейст вием первого и второго скачков напряжения в отдельности.
Операторныеа,схемы замещения для определения |
и |
приведе |
||
ны на рис. Т6.46, |
б. |
Напомним, что в соответствии с теоремой запаздывания сме |
||
|
щение функции по оси времени вправо на и соответствует умножению изображения на и.
Рис. Т6.46
511
Используя операторные схемы замещения цепи, найдем изображения токов
и :
⁄ |
; |
⁄ |
и. |
Перейдя от изображений к оригиналам, получим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
⁄ |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
В интервале |
времени |
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
и ⁄ . |
равен |
току |
: |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
и ток |
цепи |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
⁄ |
, в интервале и |
|
|
|
|
|
|
∞ ток цепи равен сумме токов |
и : |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Напряжение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и⁄ |
|
1 |
⁄ . |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
найдем таким же образом, как и в задаче 6.21р. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
6.48р. |
Изображение тока цепи имеет вид |
|
|
50 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1⁄ |
|
|
2·10 |
10 . |
|
|
|||||
|
Уравнение |
|
2·10 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
корня: |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 имеет |
|
два |
одинаковых |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1·10 . Учтя, что 1⁄ |
|
|
|
|
|
|
|
, перейдем от изображения входного |
|||||||||||||||
тока коригиналу: |
|
50 |
|
· |
A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
6.49р. |
Изображение входного напряжения и операторная входная проводи |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
мость |
имеют |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Начальные условия в цепи нулевые, поэтому изображение входного тока |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Для определения входного тока |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
применим теорему разложения. По |
||||||||||||||||||||
люсы функции |
|
первого порядка: |
|
|
|
|
|
|
|
⁄ |
; |
; |
|
|
. В соответствии |
|||||||||||||
с теоремой разложения искомый оригинал |
|
равен сумме вычетов функции |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
в этих полюсах. Представим функцию |
в виде |
|
|
,
512
где |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычет функции |
|
|
в полюсе первого порядка |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Отсюда |
|
|
|
|
Res |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
Res |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
, |
1,2,3. |
|
|||||||||||
Полюсу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тока |
|
|||||||||||||||
|
|
|
⁄ |
соответствует |
составляющая |
|
|
|
⁄ |
||||||||||||||||||
люсам |
. Аналогично найдем две другие составляющие тока, соответствующие по |
||||||||||||||||||||||||||
и , и их сумму: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
sin |
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
; |
2 |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Преобразуем последнее выражение с помощью соотношения |
||||||||||||||||||||||||||
|
cos |
sin |
cos |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
arctg |
⁄ |
: |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
где |
arctg |
⁄ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
, |
|
|
|
. Выражение |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Ток цепи |
равен сумме всех трех составляющих: |
проверяемого |
||||||||||||||||||||||||
для |
можно |
преобразовать |
|
с помощью |
|
легко |
соотношения |
||||||||||||||||||||
|
|
cosarctg |
⁄ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Таким образом, ток цепи |
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
⁄ , |
|
|
|||||||||||
где |
arctg |
⁄ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Напомним, что реакцию цепи в переходном режиме можно представить в виде суммы двух составляющих: вынужденной и свободной. В установившемся режиме в рассматриваемой цепи протекает гармонический ток вын, значение которого можно определить методом комплексных амплитуд. Нетрудно убедиться, что оно совпада ет с первым слагаемым в правой части последнего выражения для переходного тока цепи, поэтому второе слагаемое имеет смысл свободной составляющей тока св.
6.50р. Эту задачу можно решить таким же методом, что и задачу 6.49р, вычис ляя вычеты функции : сначала находят вынужденную и свобод ную составляющие реакции цепи, а затем их сумму. Однако вынужденную состав
513
ляющую можно определить проще, поскольку при заданном входном воздействии в установившемся режиме протекает гармонический ток вын и его можно рассчитать методом комплексных амплитуд, после чего останется найти свободную состав ляющую реакции. Такова идея расчета переходных процессов методом отделения свободной составляющей реакции от вынужденной.
Установившийся ток в цепи
|
|
вын |
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
; |
|
arctg |
⁄ . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Определим свободную составляющую тока св. Для этого нужно вычислить вы |
||||||||||||||||||||||
чет функции |
в полюсе операторной проводимости цепи |
|
|
. Изо |
|||||||||||||||||||
бражение входного напряжения |
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Res⁄ |
cos |
|
|
cos |
sin |
|
; |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
св |
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Вычисляя вычет (см. задачу 6.49р), находим: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Отсюда |
|
|
|
|
св |
3 |
|
cos |
2 |
|
|
sin |
|
⁄ . |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
св |
|
|
|
|
|
cos |
sin |
|
⁄ |
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
sin |
||||||||
|
Используя уже встречавшееся, |
в задаче 6.49р соотношение |
|||||||||||||||||||||
|
|
cos |
arctg ⁄ |
окончательно получим |
|
|
|
|
⁄ . |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
св |
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
⁄ ; |
|
arctg |
Так как |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
составляющую |
|
св |
|
||||||||||||||||||
|
Свободную |
тока |
|
можно |
определить |
иначе. |
|||||||||||||||||
|
св вын, а начальные условия в цепи нулевые, т. е. 0 |
0, то |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
св 0 |
вын |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
cos |
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изображение свободной составляющей тока найдем из операторной схемы за мещения цепи рис. Т6.47:
|
св 0 |
св 0 |
, |
св |
|
⁄ |
514
откуда св |
св 0 |
⁄ |
cos |
⁄ . |
Рис. Т6.47
Таким образом, ток цепи |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
cos |
cos |
⁄ . |
|
|
|
|
|
|
||||
Как следует из этого выражения, установившийся режим наступает мгновенно |
||||||||
при cos |
0, поскольку выполнение этого условия означает отсутствие сво |
|||||||
бодной составляющей тока цепи. Очевидно, что условие cos |
0 выполняется |
|||||||
при |
arctg |
⁄ |
π⁄2. Следовательно, |
существуют два значения на |
||||
чальной фазы входного напряжения |
и , при которых переходный процесс в |
|||||||
цепи отсутствует. Для заданных параметрах цепи |
|
1,01 рад; |
||||||
|
arctg |
⁄ |
0,56 рад; |
2,13 рад; |
||||
|
8,47 cos 2 |
·10 |
0,56 cos |
0,56 |
мА. |
6.51м — 6.53м. Эти задачи целесообразно решать методом отделения свобод ной составляющей реакции цепи от вынужденной (см. задачу 6.50р). Как и в задаче 6.50р, аналитическое выражение для реакции цепи содержит наряду с гар монической также и экспоненциальную компоненту. При выполнении определенных условий экспоненциальная компонента может отсутствовать, т. е. будет отсутство вать переходный процесс.
6.54м. При составлении характеристических уравнений используйте резуль таты решения задач 6.1р — 6.4.
6.57м. Составьте и проанализируйте уравнение вх |
0. |
6.58р. Изображения одиночных импульсов, приведенных в условиях этой зада чи, целесообразно найти одним из двух способов:
1) непосредственным применением преобразования Лапласа
d |
и |
d ; |
515
ций |
2) представлением заданной функции |
|
|
в виде суммы более простых функ |
||||||||
. Последний прием основан на линейности преобразования Лапласа и эф |
||||||||||||
фективен, если указанное представление очевидно, а изображения |
оты |
|||||||||||
скивают достаточноaпросто. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для рис. Т6.34, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
d |
|
|
1 |
и . |
|
|||||
|
Для рис. Т6.34, б |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
⁄ |
d |
|
|
1⁄ |
. |
|
|||||
|
Для рис. Т6.34, в |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
d . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
и
Интеграл определим с помощью соотношения
|
sin d |
|
|
sin |
cos |
1 . |
|||
В результате получим |
1 |
|
|
и |
⁄ и |
. |
|||
|
|
и |
|
|
|
||||
Для рис. Т6.34, г |
|
|
|
и |
d . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
и |
|
1 . В |
|
Этот интеграл вычислим с помощью соотношения |
|||||||||
результате получим |
|
1 |
|
и и 1 . |
|
||||
Для рис. Т6.34, д |
и |
|
|
||||||
|
|
и |
d . |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Функция |
на интервале 0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
и может быть записана в виде |
|||||||
516 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
и , |
поэтому
ии
|
Первый интеграл равен |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
и |
|
|
d . |
|
||
г. |
|
|
|
|
|
и |
|
, второй интеграл найден для рис. Т6.34, |
|||||||||||
|
В результате получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
1 |
|
и . |
|
||
|
Для рис. Т6.34, е |
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
d |
, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2и |
|
|
|
|
|
и⁄2; |
|
||||
|
|
где |
|
2и |
|
|
|
при |
0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
и |
|
при |
и⁄2 |
|
и. |
||||||||||
|
Вычислив этот интеграл, найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
и⁄ . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
в виде суммы треугольного |
|||||
|
Для рис. Т6.34, ж представим заданный импульсг |
||||||||||||||||||
импульса, подобного изображенному на рис. Т6.34, |
( и = ), и прямоугольного дли |
||||||||||||||||||
тельностью и |
смещенного вправо относительно точки |
0 на . На основании |
|||||||||||||||||
результатов, полученных для рис. Т6.34, |
а |
г |
и с учетом теоремы запаздывания для |
||||||||||||||||
, |
|||||||||||||||||||
второго импульса имеем |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
; |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и ;
1 и .
6.59р. Изображение периодической импульсной последовательности можно найти как сумму изображений одинаковых одиночных импульсов с учетом их сдвига по оси времени с помощью теоремы запаздывания:
...
517
Множитель при |
1 |
|
... . |
в бес |
представляет собой разложение функции 1 |
||||
конечный ряд. Поэтому |
1 |
. |
|
6.63м. Представьте каждую из заданных функций времени как сумму двух пе риодических ( 0) последовательностей импульсов. Первая последовательность состоит из импульсов положительной полярности, а вторая из импульсов отрица тельной полярности. Учтите сдвиг второй последовательности относительно пер вой вправо по оси времени, а также результат решения задачи 6.59р.
6.64р. Операторный коэффициент передачи цепи по напряжению
1⁄ |
1⁄ |
; |
. |
Зная изображение импульса входного |
напряжения |
(см. задачу 6.58р) |
1, найдем изображение выходного напряжения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Для истолкования полученного результата используем теорему запаздывания. |
||||||||||||||||||
Согласно этой теореме, |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
. Следовательно, выра |
|||||
жение для напряжения |
|
содержит три составляющих. Изображение первой со |
||||||||||||||||
ставляющей |
|
|
|
|
T |
. Вторая составляющая сдвинута относительно первой |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
вправо по оси времени на |
|
иTимеет дополнительный множитель 2, третья сдвину |
||||||||||||||||
та относительно первой на 2 . Учитывая, что |
|
|
|
|
1 , можно за |
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
писать |
|
|
|
|
|
⁄ |
|
|
1 |
при 0 |
; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
2 |
при |
2 ; |
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
6.65м. Изображение входного напряжения в виде периодической последовате льности треугольных импульсов имеет вид (см. задачу 6.60)
1 .
Для данной задачи это выражение целесообразно преобразовать
... .
518
, |
Умножив |
на операторный коэффициент передачи. |
цепи по напряжению |
||||||||
для |
найдем изображение выходного напряжения |
Полученное, |
выражение |
||||||||
|
|
содержит составляющие с множителями вида |
|
1 2, 3, ...). Вклад |
|||||||
этих составляющих в итоговый результат для |
|
определяется тем же способом, |
|||||||||
что и в задаче 6.64р. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
6.66м. |
См. решение задачи 6.64р. |
|
|
|
|
|
||||
|
6.67м, |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
6.68м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изображение входного воздействия в обеих задачах имеет вид |
||||||
|
|
|
1 |
и |
. Наличие компоненты |
|
и |
приводит к появлению в |
|||
|
|
|
|||||||||
конечном выражении для реакции цепи при |
и, составляющей, сдвинутой отно |
||||||||||
сительно начала отсчета времени |
0на и (см. задачу 6.64р). При определенных ус |
||||||||||
ловиях эта составляющая может обращать все выражение в нуль. |
|
Для физической интерпретации полученного результата целесообразно пред ставить входное воздействие как сумму двух скачков: положительного и сдвинутого по времени на и отрицательного того же значения. Реакцию цепи определяют как сумму реакций на каждый из скачков. При поступлении скачка на вход цепи в ней возникают незатухающие гармонические колебания. Заметим, что рассматриваемые цепи являются дуальными, и результат решения одной задачи может быть перене сен на другую.
|
6.69р. Изображение входного напряжения |
|
можно определить с помощью |
|||||||
результатов решения задачи 6.60: |
1 |
и |
1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
Операторная входная проводимость цепи |
|
|
|
|
|
. |
. |
||
|
Изображение тока цепи по закону Ома в операторной форме |
|
||||||||
Для перехода от изображения тока |
к оригиналу |
|
нужно вычислить сумму |
|||||||
вычетов функции |
1 |
и |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
во всех ее полюсах. Число полюсов функции |
|
бесконечно, поскольку уравнение |
||||||||
1—е |
0 имеет бесконечное число корней |
|
|
|
( |
k |
=0, 1, 2,...). Поэтому выра |
|||
|
|
|
|
жение для тока получится в виде бесконечного ряда, из которого следует выделить вынужденную составляющую. Сделать это нелегко. Поэтому при решении этой за дачи целесообразно использовать метод отделения свободной составляющей ре акции от вынужденной (см. задачу 6.49р). Свободная составляющая определится как
сумма вычетов. |
функции |
в полюсах операторной1 |
входной прово |
|||
димости |
В рассматриваемой задаче |
имеет один полюс |
p |
—R/L. |
Следова |
|
|
|
тельно,
св Res |
1 |
и |
|
и⁄ |
1 |
|
⁄ |
||
|
1 |
⁄ |
, |
1 |
|
519
где |
L/R — постоянная времени цепи. |
|
|
Если известна формула для переходного тока цепи , то искомая вынужденная |
|
составляющая тока вын |
св. |
Трудности, возникающие при отыскании тока непосредственно по изображе нию , отмечены ранее. Существует, однако, прием, делающий излишним нахож дение выражения для реакции цепи на бесконечную последовательность импульсов напряжения. Действительно, реакция цепи на эту последовательность на интервале 0 (см. рис. Т6.40) имеет смысл реакции цепи на первый импульс этой после довательности. Реакция цепи на одиночный импульс может быть найдена сравни тельно легко.
Если из полученного результата вычесть уже известную свободную состав ляющую, то можно определить вынужденную составляющую тока, что и было целью решения. При этом решение получается в замкнутом виде, а не в виде бесконечного ряда. Запишем выражение для реакции цепи на первый импульс напряжения задан ной бесконечной последовательности, воспользовавшись результатом решения за дачи 6.47р:
|
|
1 |
⁄ при 0 |
и, |
⁄ ; |
||
|
|
||||||
1 |
|
⁄ |
|
|
1 |
и ⁄ при и |
. |
|
|
Вычтем свободную составляющую тока св. После несложных преобразований получим
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
и ⁄ |
|
⁄ при 0 |
и; |
|
вын |
|
|
1 |
⁄ |
|
||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
и⁄ |
|
и ⁄ |
при и |
. |
||
|
1 |
|
⁄ |
|
|
Поскольку эти формулы определяют реакцию цепи в стационарном (устано вившемся) режиме, время в них можно отсчитывать с момента начала любого пе риода колебаний.
Ток цепи является одновременно током через индуктивность и, следовательно, изменяется во времени непрерывно. Поэтому верхние границы указанных в полу
ченных формулах временных интервалов ( |
и и |
соответственно) могут бытьt |
||||||
включены в эти интервалы. Первая формула для |
вын при |
|
0 и вторая при |
Т |
||||
дают один и тот же результат |
|
|
|
1 1 |
|
, |
|
|
вын 0 |
вын |
|
⁄ |
и⁄ |
⁄ |
|
||
|
|
что можно рассматривать и как проверку на периодичность, и как одно из доказа тельств правильности решения.
520
6.71м. Задача решается аналогично задаче 6.69р. Изображение напряжения UC(p) определяется по изображению входного воздействия U(р) и операторному ко эффициенту передачи цепи по напряжению К(р): UC(p) = K(p) U(p).
Свободная составляющая напряжения на емкости находится как вычет функ ции UC (p) в полюсе коэффициента передачи К(р). Если К(р) имеет несколько по люсов, то следует брать сумму вычетов во всех полюсах. (Сравните с задачами 6.49р и 6.69р, в которых вычеты берут в полюсах другой операторной характеристики це пи — входной проводимости, поскольку отыскивают токи, а не напряжение, как в этой задаче.)
6.72р. |
Пусть |
|
. |
Тогда |
в соответствии |
с теоремой |
запаздывания |
|||
|
. |
|
||||||||
|
|
|
Отсюда |
K(p) = |
⁄ |
. |
Цепь с таким |
К(р) |
||
|
|
|
|
|
|
физически не осуществима. Действительно, комплексный коэффициент передачи цепи по напряжению | 1· .
Следовательно, АЧХ цепи должна быть равномерной, а ФЧХ — линейной в не ограниченном диапазоне частот. Реальные элементы цепей всегда обладают неко торыми паразитными индуктивностями и емкостями, поэтому частотные характе ристики реальных цепей не имеют указанных свойств.
521