Книга 8. Цепи с распределенными параметрами

Модуль 8.1. Задача анализа цепей с распределенными параметрами

Цель модуля: Ознакомление с классификацией цепей с распределенными па раметрами и постановкой задачи анализа цепей с распределенными параметрами.

Общие сведения

Напомним, что цепями с распределенными параметрами называются идеали зированные электрические цепи, процессы в которых описываются дифференци альными уравнениями в частных производных. Токи и напряжения в одномерной цепи с распределенными параметрами являются функциями двух переменных — времени и координаты .

Исторически сложилось так, что первыми в качестве одномерных цепей с рас пределенными параметрами стали представлять так называемые длинные линии, т. е. линии передачи энергии от источника к нагрузке, длина которых значительно превышает длину волны передаваемых электромагнитных колебаний. Поэтому од номерные цепи с распределенными параметрами часто называют длинными ли­ ниями или линиями, а уравнения (1.44), (1.45), описывающие зависимости между токами и напряжениями элементарного участка одномерной цепи с распределен ными параметрами, — дифференциальными уравнениями длинной линии или телеграфными уравнениями. Будем использовать термины «длинная линия» или «линия» как синонимы термина «одномерная цепь с распределенными параметра ми», помня при этом, что приведенная на рис. 1.42 схема элементарного участка од номерной цепи с распределенными параметрами и соответствующая ей система уравнений электрического равновесия (1.44) и (1.45) носят общий характер и могут быть применены не только для моделирования процессов в реальных линиях пере дачи, но и для приближенного представления многих других радиотехнических элементов и устройств в области достаточно высоких частот.

Одномерные цепи с распределенными параметрами, применяемые для моде лирования различных реальных цепей и их элементов, отличаются одна от другой в основном значениями погонных параметров R1, L1, С1, G1 и характером их зависимо сти от координаты, времени или режима работы цепи. В линейных инвариантных во времени цепях с распределенными параметрами погонное сопротивление R1, индук тивность L1, емкость С1 и проводимость утечки G1 не зависят от времени и режима работы цепи; они могут изменяться вдоль цепи по определенному закону либо иметь одинаковые значения на всех ее участках. Линейные инвариантные во време ни цепи с распределенными параметрами, погонные параметры которых постоянны и не зависят от координаты, называются однородными (регулярными). Цепи, по гонные параметры которых являются функциями координаты, называются неод­ нородными (нерегулярными).

В зависимости от того, какие процессы в исследуемой реальной цепи имеют преобладающий характер, а также от степени идеализации схема замещения эле ментарного участка линии может не содержать тех или иных из показанных на рис.

727

1.42 элементов. В соответствии с этим цепи с распределенными параметрами под разделяют на цепи общего вида (RLCG – линии), цепи без потерь (LC линии), линии с потерями (LCR линии), резистивно емкостные (RС линии), резистивно индуктивные (RL линии) и резистивные (RG линии). Наиболее интересны процес сы в линиях без потерь и в линиях общего вида с малыми потерями, которые ис пользуются в основном для моделирования реальных линий передачи и колеба тельных систем сверхвысоких частот. С развитием микроэлектроники возрос инте рес к рассмотрению процессов в RС линиях, которые применяют в качестве моделей различных пассивных элементов интегральных микросхем (пленочных и диффузи онных резисторов, конденсаторов, соединительных проводников и перемычек), а также к исследованию резистивных линий, которые служат для моделирования контактов к различным микроэлектронным элементам [17].

Общее решение дифференциальных уравнений длинной линии

Задача анализа цепей с распределенными параметрами обычно сводится к оп ределению законов изменения токов и напряжений вдоль цепи и к исследованию частотных или временных характеристик цепи относительно внешних зажимов. С этой целью необходимо найти частные решения дифференциальных уравнений ли нии (1.44), (1.45) при соответствующих начальных и граничных условиях. В связи с тем, что решение данных уравнений в замкнутой форме для неоднородных линий может быть получено только при некоторых частных видах зависимостей погонных параметров от координаты, ограничимся рассмотрением однородной линии длиной

(рис. 8.1).

Рис. 8.1. Схема замещения однородной длинной линии

Для решения дифференциальных уравнений линии воспользуемся оператор ным методом, который позволяет перейти от решения дифференциальных уравне

728

где Z1(p) = R1+pL1, Y1(p) = G1+pC1 — операторные погонное сопротивление и погонная проводимость линии.

Уравнения (8.3), (8.4) путем исключения переменных могут быть сведены к од ному дифференциальному уравнению, составленному относительно тока или на

называется операторным коэффициентом распространения.

Таким образом, распределение операторных изображений токов и напряжений в линейной однородной инвариантной во времени цепи с распределенными пара метрами описывается решениями линейного дифференциального уравнения второ го порядка с постоянными коэффициентами, общее решение которого имеет вид

где А1(р), А2(р) — постоянные интегрирования, определяемые граничными усло виями задачи, т. е. значениями неизвестных функций , и , в начале ( 0) или в конце (х ) линии. Подставляя (8.7) в уравнение (8.4), находим выраже ние для операторного изображения тока линии

729

Величина

называется операторным волновым сопротивлением линии.

Определяя значения постоянных интегрирования, соответствующие тем или иным граничным условиям, и подставляя их в выражения (8.7), (8.8), можно полу чить операторные изображения тока и напряжения в любом сечении линии при произвольном внешнем воздействии, а также найти любые частотные и временные характеристики исследуемой цепи.

Вопросы для самопроверки

1.В чём принципиальные отличия цепей с распределёнными параметрами (ЦРП) от цепей с сосредоточенными параметрами (ЦСП) в различных аспек тах: 1) физическом; 2) математическом?

2.Дайте определение длинной линии (ДЛ).

3.Какие параметры ДЛ называются погонными и почему?

4.Чем отличается нерегулярная ДЛ от регулярной?

5.Перечислите основные классы ДЛ. Какие признаки линий были положены в

основу классификации?

6. Охарактеризуйте ДЛ следующих классов: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 5) линии. Какие реальные устройства могут быть промоделированы с исполь зованием этих классов ДЛ?

7.Какие дополнительные условия необходимо задать, чтобы найти распреде ление токов и напряжений вдоль одномерной цепи с распределенными па раметрами, при заданных параметрах источника энергии и нагрузки?

8.Перечислите основные этапы решения дифференциальных уравнений ли нии относительно изображений напряжений и токов в произвольном сече нии ОДЛ?

9.Как и зачем определяют постоянные интегрирования?

730