Модуль 2.6. Преобразования электрических цепей

Цель модуля: изучение методов преобразования пассивных и активных элек трических цепей.

Понятие об эквивалентных преобразованиях

Анализ процессов в электрических цепях во многих случаях может быть суще ственно упрощен за счет использования различных преобразований, в результате которых отдельные участки идеализированных цепей заменяются другими участ ками, более удобными для анализа.

Два участка идеализированной электрической цепи называются эквивалент­ ными, если при замене одного из этих участков другим токи и напряжения осталь ной части цепи не изменяются. Преобразования электрических цепей, в результате которых некоторые участки электрической цепи заменяются эквивалентными им участками, называются эквивалентными. Из определения эквивалентных участков следует, что они должны иметь одинаковое число внешних выводов, причем в про цессе эквивалентных преобразований токи этих выводов и напряжения между ними должны оставаться неизменными.

Эквивалентные участки электрических цепей обладают свойствами симмет­ ричности (если цепь А эквивалентна цепи Б, то цепь Б эквивалентна цепи А), реф­ лексивности (цепь А является эквивалентной самой себе) и транзистивности(если цепь А эквивалентна цепи Б, а цепь Б эквивалентна цепи В, то цепи А и В являются эквивалентными). Если эквивалентность двух участков электрической цепи выпол няется при любых значениях внешних воздействий, то такие участки являются полностью эквивалентными. Различия между ними не могут быть установлены с помощью каких либо измерений, проводимых на внешних выводах. Если эквива лентность двух участков соблюдается только при определенном значении внешних воздействий, то такие участки являются частично эквивалентными (эквивалент ными при заданных условиях). Так, два участка линейной электрической цепи, на ходящейся под гармоническим воздействием, могут быть либо полностью эквива лентными, либо частично эквивалентными при заданной частоте внешнего воздей ствия.

Эквивалентные преобразования электрических цепей основаны на эквива лентных (равносильных) преобразованиях соответствующих систем уравнений электрического равновесия. Каждое равносильное преобразование системы уравне­ ний электрического равновесия исходной цепи (приведение подобных членов исключе­ ние неизвестных, замена переменных и т. д.) приводит к эквивалентному преобразо­ ванию моделирующей цепи. Соответственно изменяется и условное графическое изо бражение моделирующей цепи — схема цепи. На практике преобразования электри ческих цепей проводят, как правило, без составления систем уравнений электриче ского равновесия, путем непосредственного преобразования схем по определенным правилам. Систему уравнений электрического равновесия цепи записывают для уже преобразованной цепи, схема которой имеет достаточно простой вид.

163

Участки цепей с последовательным соединением элементов

Рассмотрим неразветвленную электрическую цепь (рис. 2.32, а), содержащую N сопротивлений, М емкостей, К индуктивностей и неуправляемых источников на пряжения (обобщенная одноконтурная цепь). Так как через все элементы цепи про текает один и тот же ток i, то уравнение электрического равновесия, составленное на основе второго закона Кирхгофа и компонентных уравнений, может быть записа но в следующем виде:

Рис. 2.32. Преобразование участка цепи с последовательным соединением элементов

Уравнению (2.130) соответствует преобразованная цепь, схема которой изо бражена на рис. 2.32, б. Таким образом, ток и напряжение на зажимах обобщенной одноконтурной цепи не изменятся, если каждую из групп последовательно вклю ченных однотипных элементов заменить одним эквивалентным элементом, пара метр которого Rэк, Сэк, Lэк и eэк рассчитывается в соответствии с (2.130).

Из выражения (2.130) следует, что при последовательном включении сопротив­ лений, индуктивностей и источников напряжения параметры эквивалентного эле­ мента Rэк, Lэк и eэк равны сумме параметров последовательно включенных элементов соответствующего типа.

164

При этом суммирование ЭДС источников напряжения производится алгебраи чески с учетом их знаков, которые определяются тем, совпадает или не совпадает направление ЭДС с направлением обхода контура. Очевидно, что Rэк и Lэк не могут иметь меньшие значения, чем сопротивление и индуктивность любого из последо вательно включенных элементов. При последовательном соединении N одинаковых сопротивлений R или индуктивностей L параметр эквивалентного элемента Rэк или Lэк будет в N раз больше, чем параметр каждого из последовательно включенных элементов.

При последовательном включении емкостей значение величины, обратной Сэк, определяется как сумма величин, обратных каждой из последовательно включенных емкостей Сi. Очевидно, что эквивалентная емкость Сэк будет меньше любой из после­ довательно включенных емкостей. При последовательном включении M одинаковых емкостей эквивалентная емкость Сэк будет в M раз меньше каждой из последова тельно включенных емкостей.

Если обобщенная одноконтурная цепь находится под гармоническим воздей ствием, то от эквивалентной схемы для мгновенных значений (рис. 2.32, а) удобнее перейти к эквивалентной схеме для комплексных действующих значений (рис. 2.32, в). Уравнение электрического равновесия такой цепи, составленное на основании закона Ома и второго закона Кирхгофа в комплексной форме, имеет следующий вид:

.

После очевидных преобразований получаем

Комплексная схема замещения цепи, соответствующая уравнению (2.131), при ведена на рис. 2.32, г.

Таким образом, любой участок электрической цепи, представляющий со­ бой последовательное соединение произвольного числа идеализированных неуправляемых источников напряжения и пассивных двухполюсников, при гармоническом воздействии может быть заменен ветвью, содержащей один ис­ точник напряжения, ЭДС которого равна алгебраической сумме ЭДС всех по­ следовательно включенных источников, и один пассивный двухполюсник, комплексное сопротивление которого равно сумме комплексных сопротивле­ ний всех последовательно включенных пассивных двухполюсников.

Участки цепей с параллельным соединением элементов

Пусть электрическая цепь (рис. 2.33, а) состоит из параллельно соединенных N сопротивлений, М емкостей, К индуктивностей и ν неуправляемых источников тока (обобщенная двухузловая цепь). Все элементы цепи находятся под одним и тем же

165

При параллельном включении сопротивлений или индуктивностей значения ве­ личин, обратных Rэк и Lэк , определяются как сумма значений всех величин, обратных параллельно включенным сопротивлениям Ri или индуктивностям Li.

Очевидно, что значения Rэк и Lэк будут меньше, чем сопротивление или индук тивность любого из параллельно включенных элементов соответствующего типа.

Для рассмотрения параметров обобщенной двухузловой цепи при гармониче ском воздействии воспользуемся комплексной схемой замещения этой цепи (рис. 2.33, в). Уравнение электрического равновесия цепи в комплексной форме может быть записано следующим образом:

Комплексная схема замещения цепи, соответствующая уравнению (2.134), изо бражена на рис. 2.33, г.

Таким образом, любой участок электрической цепи, представляющий со­ бой параллельное соединение произвольного числа идеализированных пас­ сивных двухполюсников, может быть заменен одним пассивным двухполюсни­ ком, комплексная проводимость которого равна сумме комплексных проводи­ мостей всех параллельно включенных двухполюсников. Произвольное число параллельно включенных идеализированных источников тока может быть за­ менено одним источником, комплексное действующее значение тока которого равно алгебраической сумме комплексных действующих значений токов всех параллельно включенных источников.

Переходя в (2.134) от комплексных проводимостей к комплексным сопротив лениям, находим эквивалентное комплексное входное сопротивление Zэк группы параллельно включенных идеализированных пассивных двухполюсников:

Выражения, подобные (2.134) и (2.135), можно получить для комплексной про водимости и комплексного сопротивления любого участка цепи, являющегося па раллельным соединением произвольного числа идеализированных пассивных двух полюсников с заданным комплексным входным сопротивлением Zi или комплекс ной входной проводимостью Yi:

167