Перенося члены, содержащие известный контурный ток, в правую часть уравнений и выражая собственные и взаимные сопротивления контуров через параметры элементов цепи, окончательно получаем

;

.

Таким образом, система контурных уравнений рассматриваемой цепи содержит два уравнения, позволяющие определить два неизвестных контурных тока.

Метод КТ можно использовать и для составления уравнений электрического равновесия цепей со связанными индуктивностями, однако алгоритм формирова ния матрицы контурных сопротивлений при этом значительно усложняется.

При анализе цепей со взаимной индуктивностью целесообразно, либо заменять связанные индуктивности участками цепей, не содержащими связанных индуктив­ ностей, либо формировать уравнения электрического равновесия с помощью метода ТВ.

Метод узловых напряжений

При составлении уравнений электрического равновесия цепи по методу на пряжений ветвей в качестве независимых переменных были использованы р — рин неизвестных напряжений ветвей. Принимая во внимание, что напряжения ветвей связаны p — q + 1 уравнениями баланса напряжений, число независимых напряже ний, относительно которых формируется система уравнений электрического равно весия цепи, может быть уменьшено до (р — рин ) (p — q + 1) =q —рин — 1. Эти неза висимые напряжения могут быть выбраны различным образом. Если дерево графа цепи построено так, что все вырожденные ветви, содержащие только независимые источники напряжения, вошли в число ветвей дерева, то в качестве независимых переменных можно принять неизвестные q — рин — 1 напряжения ветвей дерева. Такой метод формирования сокращенной системы уравнений электрического рав новесия цепи называется методом напряжений ветвей дерева (НВД).

В качестве независимых переменных, относительно которых формируют урав нения электрического равновесия цепи, можно использовать также так называемые

рой ветви, включенной между м и базисным узлами, равно узловому напряжению

323

содержащей источников напряжения (рис. 4.4). Исследуемая цепь получена из цепи, схема которой изображена на рис. 4.1, а, путем преобразования источников напря жения в источники тока и замены комплексных сопротивлений ветвей их комплек сами проводимостями. Она имеет три независимых узла, для которых можно соста вить уравнения баланса токов:

Выразим неизвестные токи ветвей цепи через напряжения этих ветвей, а на пряжения ветвей — через соответствующие узловые напряжения:

;.

Подставляя выражения (4.13) в (4.12), получаем систему уравнений для опре деления трех неизвестных узловых напряжений:

;

0;

.

Для того, чтобы сформулировать алгоритм формирования этой системы урав нений непосредственно по схеме рассматриваемой цепи введем ряд новых понятий.

Собственной проводимостью i го узла назовем сумму проводимостей всех ветвей, подключенных к данному узлу. Для рассматриваемой цепи

Узловым током i ro узла называется алгебраическая сумма токов всех ис точников тока, подключенных к данному узлу. Если ток какого либо источника тока направлен к i му узлу, то он входит в выражение для со знаком плюс, если ток направлен от i го узла, то — со знаком минус. Для рассматриваемой цепи

325

Используя обозначения (4.14) — (4.16), представим узловые уравнения иссле дуемой цепи в канонической форме записи:

;

; 4.17

.

Таким образом, левая часть узлового уравнения, составленного для i ­ гo независимого узла, есть сумма слагаемых, одно из которых равно произведе­ нию узлового напряжения i ­ гo узла на его собственную проводимость, а ос­ тальные — произведениям узловых напряжений других независимых узлов на взаимные проводимости i ­ го узла и этих узлов. Правая часть уравнения равна узловому току i ­ того узла.

Для линейной электрической цепи, имеющей m = q—1 независимых узлов и со стоящей только из сопротивлений, емкостей, индуктивностей и независимых ис точников тока, система узловых уравнений может быть записана в виде

;

; 4.18

…

.

или

где

— матрица узловых проводимостей цепи;

;

— матрицы столбцы узловых напряжений и узловых токов.

326

ричная относительно главной диагонали.

Таким образом, составление узловых уравнений, так же как и составление контурных уравнений, может производиться непосредственно по схеме элек­ трической цепи, не прибегая к составлению основной системы уравнений электрического равновесия. При этом запись уравнений электрического рав­ новесия цепи по методу УН дополнительно упрощается вследствие того, что в этом случае не возникает необходимости в определении системы независимых контуров и построении дерева графа исследуемой цепи.

Рекомендуемый порядок составления узловых уравнений:

1)преобразование исходной электрической цепи (замена сопротивлений вет вей их проводимостями, переход от последовательных схем замещения источников

кпараллельным);

2)выбор независимых узлов преобразованной цепи;

3)определение числа узловых уравнений (числа неизвестных напряжений не зависимых узлов относительно базисного) и запись узловых уравнений в форме

(4.18) или (4.19);

4)нахождение элементов матриц узловых проводимостей и узловых токов в

Решая систему узловых уравнений любым из методов, определяют неизвест ные узловые напряжения. Так, используя формулы Крамера, найдем узловое напря жение k гo узла:

где ∆ — определитель системы уравнений (4.19); ∆ — алгебраическое дополнение элемента этого определителя.

Если в рассматриваемой цепи наряду с перечисленными элементами содержат ся также вырожденные источники напряжения, которые не могут быть заменены на источники тока непосредственно путем преобразования комплексных схем замеще ния источников, то они должны быть удалены из схемы, используя преобразования переноса источников (см. модуль 2.6). В то же время узловые уравнения могут быть составлены и для цепи, содержащей источники напряжения.

В простейшем случае исследуемая цепь может содержать рин источников на­ пряжения, имеющих общую точку. Выберем в качестве базисного узел, к которому

327

подключены все источники напряжения. Тогда узловые напряжения рин узлов, к ко торым подключены вторые полюсы источников напряжения, будут равны ЭДС этих источников, взятым со знаком плюс или минус; при этом число неизвестных узло вых напряжений уменьшается до q — 1 — рин. Узловые уравнения такой цепи фор мируются только для узлов, к которым не подключены источники напряжения; в левой части узловых уравнений, так же как и в (4.18), (4.19), учитываются все узло вые напряжения, как известные, так и неизвестные. Матрица узловых проводимо стей цепи, содержащей независимые источники напряжения, не будет квадратной: число столбцов этой матрицы равно числу независимых узлов m = q — 1, а число строк — числу неизвестных узловых напряжений q ­ рин 1. После формирования системы уравнений электрического равновесия цепи в виде (4.18), (4.19) члены, со держащие известные узловые напряжения, переносят в правую часть соответст вующих уравнений, в результате чего матрица узловых проводимостей становится квадратной.

Пример4.5.Используя метод узловых напряжений, составим уравнения электриче ского равновесия цепи, схема которой приведена на рис. 4.2, а. Эта цепь содержит q — 1 3 независимых узла и имеет один источник напряжения , включенный между базисным уз лом и узлом 1. Узловое напряжение этого узла 10 известно и равно . Для определения не

часть уравнений и выражая собственные и взаимные проводимости узлов через параметры элементов цепи, находим

Аналогичная система уравнений электрического равновесия цепи получается и в том случае, когда источник напряжения заменяют источником тока /Z2, подключенным между узлом 2 и базисным узлом узел 1 в этом случае устраняется .

Если цепь содержит несколько вырожденных источников напряжения, не имеющих общей точки, то формирование узловых уравнений проводится следующим способом:

—строится дерево графа цепи так, чтобы все pин вырожденных ветвей, состав ленных только из источников напряжения, вошли в состав ветвей дерева;

—выбирается q — 1 — pин независимых узлов, узловые напряжения которых являются неизвестными; напряжения остальных рит независимых узлов выражают ся через неизвестные узловые напряжения и напряжения рит ветвей, состоящих только из источников напряжения;

328

—для q — 1— pин главных сечений, соответствующих невырожденным ветвям дерева, составляются уравнения баланса токов;

—неизвестные токи ветвей, входящих в уравнения баланса токов, выражают ся через q — 1 — pин неизвестных узловых напряжения.

Пример 4.6Составим узловые уравнения цепи рис. 4.5, а , не применяя переноса источников.

Рис. 4.5. К примеру 4.6

Выберем дерево графа рассматриваемой цепи так, чтобы в него вошли обе ветви, составленные только из источников напряжения рис. 4.5, б . Данная цепь содержит q —

14 независимых узла, причем узловое напряжение первого узла известно

гут быть выбраны независимо. Выберем в качестве независимых узловые напряжения вто рого и четвертого узлов 20 и 40. В этом случае 30 20 2. Для главных сечений 4 и 5, не содержащих вырожденных ветвей дерева, составим уравнения баланса токов:

0;

0.

Выражая входящие в эти уравнения неизвестные токи через неизвестные узловые напряжения

;

;

;

;

;

,

получаем два уравнения для определения двух неизвестных узловых напряжений:

;

.

Как видно из примера 4.6, при анализе цепей, содержащих вырожденные ветви с источниками напряжения, не имеющими общей точки, метод УН теряет одно из своих главных достоинств – возможность построения сокращенной системы урав нений без привлечения топологических представлений. Как и метод НВ, метод УН

329