- •Аннотация
- •Оглавление
- •Дорогие читатели!
- •Предисловие
- •Введение
- •Книга 1. Основные понятия теории цепей
- •Модуль 1.1. Основные определения
- •Электрическая цепь
- •Электрический ток
- •Напряжение
- •Электродвижущая сила
- •Мощность и энергия
- •Схема электрической цепи
- •Вопросы для самопроверки
- •Модуль 1.2. Идеализированные пассивные элементы
- •Резистивный элемент
- •Емкостный элемент
- •Индуктивный элемент
- •Дуальные элементы и цепи
- •Схемы замещения реальных элементов электрических цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Модуль 1.3. Идеализированные активные элементы
- •Идеальный источник напряжения
- •Идеальный источник тока
- •Схемы замещения реальных источников
- •Управляемые источники тока и напряжения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 1.4. Топология цепей
- •Схемы электрических цепей. Основные определения
- •Понятие о компонентных и топологических уравнениях. Законы Кирхгофа
- •Графы схем электрических цепей
- •Определение числа независимых узлов и контуров
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 1.5. Уравнения электрического равновесия цепей
- •Основные задачи теории цепей
- •Понятие об уравнениях электрического равновесия
- •Классификация электрических цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Ответы
- •Модуль 2.1. Анализ линейных цепей с источниками гармонических токов и напряжений
- •Понятие о гармонических функциях
- •Линейные операции над гармоническими функциями
- •Среднее, средневыпрямленное и действующее значения гармонических токов и напряжений
- •Дифференциальное уравнение цепи при гармоническом воздействии
- •Вопросы для самопроверки
- •Модуль 2.2. Метод комплексных амплитуд
- •Понятие о символических методах
- •Комплексные числа и основные операции над ними
- •Операции над комплексными изображениями гармонических функций
- •Комплексные сопротивление и проводимость пассивного участка цепи
- •Порядок анализа цепи методом комплексных амплитуд
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 2.3. Идеализированные пассивные элементы при гармоническом воздействии
- •Резистивный элемент
- •Емкостный элемент
- •Индуктивный элемент
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Делители напряжения и тока
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Мгновенная мощность пассивного двухполюсник
- •Активная, реактивная, полная и комплексная мощности
- •Баланс мощностей
- •Коэффициент мощности
- •Согласование источника энергии с нагрузкой
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 2.6. Преобразования электрических цепей
- •Понятие об эквивалентных преобразованиях
- •Участки цепей с последовательным соединением элементов
- •Участки цепей с параллельным соединением элементов
- •Участки цепей со смешанным соединением элементов
- •Эквивалентное преобразование треугольника сопротивлений в звезду и обратное преобразование
- •Комплексные схемы замещения источников энергии
- •Перенос источников
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 2.7. Цепи с взаимной индуктивностью
- •Понятие о взаимной индуктивности
- •Понятие об одноименных зажимах
- •Коэффициент связи между индуктивными катушками
- •Цепи с взаимной индуктивностью при гармоническом воздействии
- •Понятие о линейных трансформаторах
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 3. Частотные характеристики и резонансные явления
- •Понятие о комплексных частотных характеристиках
- •Комплексные частотные характеристики цепей с одним реактивным элементом
- •Понятие о резонансе в электрических цепях
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 3.2. Последовательный колебательный контур
- •Cхемы замещения и параметры элементов контура
- •Энергетические процессы в последовательном колебательном контуре
- •Входные характеристики
- •Передаточные характеристики
- •Избирательные свойства последовательного колебательного контура
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 3.3. Параллельный колебательный контур
- •Схемы замещения
- •Параллельный колебательный контур основного вида
- •Параллельный колебательный контур с разделенной индуктивностью
- •Параллельный колебательный контур с разделенной емкостью
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 3.4. Связанные колебательные контуры
- •Общие сведения
- •Схемы замещения
- •Настройка связанных контуров
- •Частотные характеристики
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Общие сведения
- •Методы, основанные на непосредственном применении законов Кирхгофа
- •Метод контурных токов
- •Метод узловых напряжений
- •Формирование уравнений электрического равновесия цепей с зависимыми источниками
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 4.2. Основные теоремы теории цепей
- •Принцип наложения
- •Теорема взаимности
- •Теорема компенсации
- •Автономные и неавтономные двухполюсники
- •Теорема об эквивалентном источнике
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 4.3. Метод сигнальных графов
- •Общие сведения
- •Преобразования сигнальных графов
- •Применение сигнальных графов к анализу цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 5. Нелинейные резистивные цепи
- •Модуль 5.1. Постановка задачи анализа нелинейных резистивных цепей
- •Вводные замечания
- •Нелинейные резистивные элементы
- •Уравнения электрического равновесия нелинейных резистивных цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Модуль 5.2. Графические методы анализа нелинейных резистивных цепей
- •Простейшие преобразования нелинейных резистивных цепей
- •Определение рабочих точек нелинейных резистивных элементов
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Задача аппроксимации
- •Выбор аппроксимирующей функции
- •Определение коэффициентов аппроксимирующей функции
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Нелинейное сопротивление при гармоническом воздействии
- •Понятие о режимах малого и большого сигнала
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 6. Методы анализа переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами
- •Модуль 6.1. Задача анализа переходных процессов
- •Возникновение переходных процессов. Понятие о коммутации
- •Законы коммутации
- •Общий подход к анализу переходных процессов
- •Определение порядка сложности цепи
- •Вопросы для самопроверки
- •Модуль 6.2. Классический метод анализа переходных процессов
- •Свободные и вынужденные составляющие токов и напряжений
- •Порядок анализа переходных процессов классическим методом
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 6.3. Операторный метод анализа переходных процессов
- •Преобразование Лапласа и его применение к решению дифференциальных уравнений
- •Порядок анализа переходных процессов операторным методом
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 6.4. Операторные характеристики линейных цепей
- •Реакция цепи на экспоненциальное воздействие
- •Понятие об операторных характеристиках
- •Методы определения операторных характеристик
- •Дифференцирующие и интегрирующие цепи
- •Вопросы для самопроверки
- •Единичные функции и их свойства
- •Переходная и импульсная характеристики линейных цепей
- •Методы определения временных характеристик
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие
- •Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее переходной характеристике
- •Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее импульсной характеристике
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 7. Основы теории четырехполюсников и многополюсников
- •Модуль 7.1. Многополюсники и цепи с многополюсными элементами
- •Задача анализа цепей с многополюсными элементами
- •Классификация и схемы включения многополюсников
- •Основные уравнения и первичные параметры линейных неавтономных многополюсников
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Классификация проходных четырехполюсников
- •Основные уравнения и первичные параметры неавтономных проходных четырехполюсников
- •Методы определения первичных параметров неавтономных проходных четырехполюсников
- •Первичные параметры составных четырехполюсников
- •Схемы замещения неавтономных проходных четырехполюсников
- •Автономные проходные четырехполюсники
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Характеристические постоянные передачи неавтономного проходного четырехполюсника
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Модуль 7.4. Невзаимные проходные четырехполюсники
- •Идеальные усилители напряжения и тока
- •Однонаправленные цепи и цепи с обратной связью
- •Идеальные операционные усилители
- •Преобразователи сопротивления
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Модуль 7.5. Электрические фильтры
- •Классификация электрических фильтров
- •Реактивные фильтры
- •Активные фильтры
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 8. Цепи с распределенными параметрами
- •Модуль 8.1. Задача анализа цепей с распределенными параметрами
- •Общие сведения
- •Общее решение дифференциальных уравнений длинной линии
- •Вопросы для самопроверки
- •Волновые процессы в однородной длинной линии
- •Режим стоячих волн
- •Режим смешанных волн
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Проходной четырехполюсник с распределенными параметрами
- •Входное сопротивление отрезка однородной длинной линии
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Распределение напряжения и тока в однородной линии без потерь при произвольном внешнем воздействии
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Модуль 8.5. Цепи с распределенными параметрами специальных типов
- •Резистивные линии
- •Неоднородные линии
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Ответы
- •Книга 9. Синтез электрических цепей
- •Модуль 9.1. Задача синтеза линейных электрических цепей
- •Понятие физической реализуемости
- •Основные этапы синтеза цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Понятие о положительных вещественных функциях
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 9.3. Методы реализации реактивных двухполюсников
- •Методы выделения простейших составляющих (метод Фостера)
- •Метод разложения в цепную дробь (метод Кауэра)
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 9.4. Основы синтеза линейных пассивных четырехполюсников
- •Задача синтеза четырехполюсников
- •Методы реализации пассивных четырехполюсников
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 10. Методы автоматизированного анализа цепей
- •Модуль 10.1. Задача автоматизированного анализа цепей
- •Понятие о ручных и машинных методах анализа цепей
- •Общие представления о программах машинного анализа цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Топологические матрицы и топологические уравнения
- •Свойства топологических матриц
- •Компонентные матрицы и компонентные уравнения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Методы узловых напряжений и контурных токов
- •Метод переменных состояния
- •Формирование уравнений состояния в матричной форме
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 10.4. Особенности современных программ автоматизированного анализа цепей
- •Выбор методов формирования уравнений электрического равновесия. Понятие о поколениях программ автоматизированного анализа цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Ответы
- •Заключение
- •Приложения
- •Приложение 1. Таблица оригиналов и изображений по Лапласу
- •Приложение 2. Основные уравнения проходных четырёхполюсников
- •Приложение 3. Соотношения между первичными параметрами проходных четырехполюсников
- •Приложение 5. Соотношения между первичными параметрами взаимных и симметричных четырехполюсников
- •Приложение 6. Приставки для образования кратных и дольных единиц
- •Приложение 7. Инструкция для работы с Самоучителем по курсу «Основы теории цепей»
- •Список литературы
Из соотношений (7.2) и (7.3) следует, что у многополюсника, имеющего N внеш них выводов, можно выделить не более N — 1 независимых сторон. В частности, че тырехполюсник имеет не более трех независимых сторон (см. рис. 7.2).
Основные уравнения и первичные параметры линейных неавтономных многополюсников
Основными уравнениями многополюсника называются соотношения, опре деляющие связь между токами и напряжениями на его внешних выводах. Коэффи циенты, входящие в основные уравнения, называются первичными параметрами многополюсника. В зависимости от схемы включения и того, какие величины вы браны в качестве независимых, а какие — в качестве зависимых переменных, каж дому многополюснику можно поставить в соответствие различные системы основ ных уравнений и соответственно различные системы первичных параметров. Если определитель системы основных уравнений многополюсника не равен нулю, то та кая система уравнений называется определенной, в противном случае система ос новных уравнений является неопределенной. Матрица коэффициентов системы основных уравнений, определитель которой равен нулю, называется особенной или неопределенной матрицей первичных параметров многополюсника.
Несмотря на то, что число независимых основных уравнений многополюсника равно числу его независимых сторон N — 1, для описания многополюсников широко используют неопределенные системы основных уравнений, соответствующие обобщенным (неопределенным) схемам включения многополюсников (рис. 7.3), число уравнений в которых равно числу внешних выводов многополюсника N. Это позволяет применять достаточно простые методы формирования уравнений элек трического равновесия цепей с многополюсными элементами. В то же время, зная неопределенные матрицы первичных параметров многополюсника, легко получать определенные матрицы в любой схеме включения.
Рассмотрим линейный неавтономный многополюсник, находящийся под гар моническим внешним воздействием. Пусть напряжения всех выводов многополюс ника относительно базисного задаются с помощью независимых источников напря жения (рис. 7.4, а). В соответствии с принципом наложения ток каждого вывода ра вен сумме частичных токов, вызванных действием каждого независимого источника напряжения в отдельности:
... |
... |
; |
... |
... |
; |
. . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . |
7.4 |
... |
... |
, |
578
где — частичный ток го вывода, вызванный действием источника в режиме, когда все остальные независимые источники напряжения выключены (закороче ны).
Рис. 7.4. К выводу основных уравнений многополюсника в форме Y
Коэффициенты уравнений (7.4) — первичные параметры многополюсника — имеют физический смысл входных и передаточных проводимостей, определенных в режиме короткого замыкания, поэтому их обычно называют параметрами корот кого замыкания или Yпараметрами многополюсника. Как следует из уравнений
(7.4),
7.5
— комплексная входная проводимость многополюсника со стороны зажима j (комплексная входная проводимость между полюсом j и соединенными вместе ос тальными полюсами), измеренная в режиме, когда все источники напряжения, кро ме , выключены (рис.7.4, б). Аналогично, параметр
7.6
имеет физический смысл передаточной проводимости от полюса j к полюсу i, определенной в режиме, когда все источники напряжения, кроме выключены
(рис.7.4, б).
Заменяя в уравнениях (7.4) ЭДС источников соответствующими напряжениями и используя матричную форму записи, получаем
|
|
… |
|
|
|
|
… |
… |
|
. |
7.7 |
… |
… … … |
… |
|||
|
… |
|
|
Уравнения (7.7) будем называть основными уравнениями многополюсника в форме Y. Квадратная матрица
579
…
…
… … … …
…
в правой части уравнений (7.7) называется неопределенной матрицей проводи мостей или неопределенной матрицей Yпараметров многополюсника. Ее мож но рассматривать как обобщенный параметр многополюсника, устанавливающий связь между вектором токов выводов многополюсника и вектором напряжений этих выводов относительно некоторого базисного узла. Элементы матрицы Yij определя ются в соответствии с их физическим смыслом по результатам опытов короткого замыкания, которые могут проводиться как экспериментальным, так и расчетным путем.
Пример7.1.Найдем неопределенную матрицу Y параметров полевого транзистора, схема замещения которого по переменному току в режиме малого сигнала изображена на рис. 1.19, б.
Присвоим выводу затвора полевого транзистора номер 1, стока — 2, истока — 3. Со ставим комплексную схему замещения рис. 7.5, а , на которой элементы, входящие в схему замещения для мгновенных значений, представлены их комплексными проводимостями:
Y1 jωCзи; Y2 jωCзс; Y3 Gi jωCси;
Основная система уравнений рассматриваемого многополюсника в форме Y:
содержит девять неизвестных коэффициентов Y параметров полевого транзисто ра . Для их нахождения рассчитаем токи транзистора в режимах короткого замыкания на различных парах выводов.
Рис. 7.5. К примеру 7.1
Схема опыта короткого замыкания для определения параметров Y11, Y21, Y31, входя щих в первый столбец неопределенной матрицы проводимостей, приведена на рис. 7.5, б. Используя эту схему, найдем частичные токи первого, второго и третьего выводов транзи
580
стора, вызванные действием неуправляемого источника напряжения , включенного между выводом 1 и соединенными вместе остальными выводами транзистора:
;
;
.
Отношения этих частичных токов к ЭДС вызвавшего их источника напряжения в соответствии с 7.5 и 7.6 являются Y параметрами полевого транзистора:
;
;
.
Аналогичным образом, по результатам опытов короткого замыкания рис. 7.5, в, г определим Y параметры полевого транзистора, входящие во второй и третий столбцы не определенной матрицы проводимостей:
; |
; |
; |
; |
; |
. |
Таким образом, неопределенная матрица Y параметров полевого транзистора име
ет вид
1 2 3
1
2 .
3
Покажем, что не все элементы неопределенной матрицы проводимостей явля ются независимыми. Суммируя уравнения (7.7), находим
... |
... |
. |
... |
... |
... |
7.8 |
Левая часть уравнения (7.8) в соответствии с выражением (7.3) равна нулю, по этому
... ...
... |
... |
0. |
7.9 |
В связи с тем, что напряжения выводов многополюсника относительно базис ного узла можно выбирать независимо, равенство (7.9) должно выполняться при любых значениях , , … , . Полагая последовательно равными нулю напря жения всех выводов относительно базисного, кроме одного, заменим уравнение (7.8) системой уравнений
581
... 0;
... 0;
. . . . . . . . . . . . . . .
... 0.
Следовательно, сумма элементов каждого столбца неопределенной матрицы проводимостей равна нулю.
Если напряжения всех выводов многополюсника относительно базисного оди наковы и равны (это может быть в том случае, когда все выводы многополюсника закорочены и между ними, и базисным узлом включен независимый источник на пряжения , то их токи должны равняться нулю:
... 0;
... 0;
. . . . . . . . . . . . . . . . .
... |
0. |
7.10 |
Из уравнений (7.10) следует, что сумма элементов любой строки неопределен ной матрицы проводимостей равна нулю.
Таким образом, из N2 элементов неопределенной матрицы проводимостей только (N — 1)2 являются независимыми.
Пусть токи контуров, внешних по отношению к многополюснику, задаются с помощью независимых источников тока , , … , , подключенных между выводами многополюсника (рис. 7.6, а), В соответствии с принципом наложения напряжения между внешними выводами линейного неавтономного многополюсника , могут
быть представлены в виде суммы частичных напряжений |
|
вызванных действием |
каждого независимого источника тока в отдельности: |
... |
; |
... |
||
... |
... |
; |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
... |
... |
; |
7.11 |
Коэффициенты системы уравнений (7.11) называются параметрами холосто го хода или Zпараметрами многополюсника и имеют физический смысл входных
7.12
582
или передаточных |
7.13 |
комплексных сопротивлений, определенных в режиме, когда все источники тока, кроме выключены (рис. 7.6, б).
Рис. 7.6. К выводу основных уравнений многополюсника в форме Z
Заменяя в уравнениях (7.11) источники тока контурными токами соответст вующих контуров и используя матричную форму записи, получаем основные урав нения многополюсника в форме Z:
|
|
… |
|
|
|
|
… |
… |
|
. |
7.14 |
… |
… … … |
… |
|||
|
… |
|
|
Квадратная матрица
…
…
… … … … ,
…
стоящая в правой части уравнений (7.14), называется неопределенной матрицей сопротивлений или неопределенной матрицей Zпараметров многополюсника.*
Неопределенную матрицу сопротивлений Zij можно рассматривать как обоб щенный параметр многополюсника, устанавливающий связь напряжений между
* Неопределенные матрицы сопротивлений и проводимостей многополюсника Zij и Yij не следу ет путать с матрицами контурных сопротивлений Z(ij), и узловых проводимостей Y(ij).
583
выводами многополюсника с контурными токами внешних по отношению к нему контуров. Элементы неопределенной матрицы сопротивлений определяются в со ответствии с их физическим смыслом по результатам опытов холостого хода, при чем сумма элементов каждого столбца и сумма элементов каждой строки матрицы Zij равны нулю.
Пример7.2.Найдем неопределенную матрицу сопротивлений биполярного транзи стора, низкочастотная схема замещения которого по переменному току в режиме малого сигнала приведена на рис. 1.19, а.
Рис. 7.7. К примеру 7.2
Присвоим выводам эмиттера, коллектора и базы номера 1, 2, 3 и построим ком плексную схему замещения транзистора, на которой укажем положительные направления напряжений между выводами и положительные направления контурных токов внешних по отношению к транзистору контуров рис. 7.7, а . Основная система Уравнений рассматри ваемого многополюсника в форме Z
содержит девять неизвестных коэффициентов ― Z параметров транзистора, для определения которых необходимо произвести три опыта холостого хода. Схемы опытов хо лостого хода, позволяющих найти частичные напряжения между выводами транзистора, вызванные действием каждого из источников тока , , , в отдельности, приведены на рис. 7.7, б г. Отношения частичных напряжений к токам, вызвавших их ис точников тока согласно 7.12 , 7.13 , представляют собой искомые параметры:
э |
б; |
э; |
584
э; |
к |
э |
; |
б ; |
б; |
к; |
|
|
к; |
|
|
б к.
Нетрудно убедиться, что сумма элементов любой строки, как и сумма элементов любого столбца неопределенной матрицы сопротивлений биполярноготранзистора,
1 |
1 |
б |
|
2 |
э |
|
3 |
э |
к |
э |
|
б |
|||
2 |
|
э |
к |
б |
к |
||
3 |
|
|
б |
|
к |
равна нулю.
При построении основных уравнений многополюсника в формах Z и Y в качест ве независимых переменных выбирались либо только напряжения, либо только то ки, связанные с внешними выводами. В каждом из этих случаев коэффициенты ос новной системы равнений имели одинаковую размерность и определялись в одном и том же режиме (короткого замыкания или холостого хода). Системы первичных параметров многополюсника, в которых все параметры имеют одинаковую размер ность и определяются в одинаковом режиме, называются однородными.
Если в качестве независимых переменных выбрать токи одних и напряжения других сторон многополюсника, то коэффициенты полученной системы уравнений будут иметь различную размерность и определяться в различных режимах, причем часть недиагональных элементов соответствующей матрицы параметров может оказаться безразмерной. Если на некоторых сторонах многополюсника и ток, и на пряжение выбраны в качестве независимых переменных, то безразмерными могут быть и некоторые диагональные элементы. Системы первичных параметров много полюсника, в которые входят параметры, имеющие различную размерность и изме ряемые в различных режимах, называются смешанными (гибридными).
Основные свойства неопределенных матриц проводимостей и сопротив лений линейных неавтономных многополюсников
Первичные параметры многополюсника при любом выборе системы независи мых токов и напряжений имеют физический смысл комплексных частотных харак теристик многополюсника в режимах короткого замыкания или холостого хода. Как и любые комплексные частотные характеристики линейных цепей, первичные па раметры линейного неавтономного многополюсника не зависят от амплитуд и на чальных фаз токов и напряжений, действующих на зажимах многополюсника, а оп ределяются только его внутренней структурой, параметрами входящих в него эле ментов и частотой внешнего воздействия. При произвольном внешнем воздействии
585
основные уравнения многополюсника сохраняют такую же структуру, как и при гармоническом воздействии, причем его токи и напряжения представляются опера торными изображениями, а в выражениях для первичных параметров jω заменяется на р.
Таким образом, первичные параметры линейного неавтономного многополюс ника в общем случае являются функциями комплексной частоты р.
В связи с тем, что сумма элементов каждой строки и сумма элементов каждого столбца неопределенных матриц сопротивлений и проводимостей равны нулю, столбцы и строки этих матриц линейно зависимы. Следовательно, определители матриц Zij и Yij равны нулю и системы уравнений (7.7) и (7.14) не могут быть разре шены относительно напряжений полюсов или токов внешних контуров соот ветственно.
Анализируя структуру основных уравнений многополюсника, нетрудно уста новить, что k му полюсу многополюсника соответствует k я строка и k й столбец неопределенной матрицы проводимостей, а k й стороне многополюсника (k му контуру, образованному одной из сторон многополюсника и остальной частью цепи)k я строка и k й столбец неопределенной матрицы сопротивлений.
Изменение нумерации полюсов или сторон многополюсника не вызывает изме нения элементов неопределенных матриц, а приводит только к перестановке соот ветствующих строк и столбцов. Так, при взаимной замене номеров двух каких либо полюсов многополюсника необходимо поменять местами строки и переставить столбцы матрицы Yij, имеющие соответствующие номера. Аналогично при взаимной замене, номеров двух каких либо сторон необходимо произвести перестановки со ответствующих строк и перестановки соответствующих столбцов матрицы Zij.
Пример7.3.Найдем неопределенную матрицу проводимостей полевого транзисто ра, рассмотренного в примере 7.1 в том случае, когда выводам затвора, стока и истока при своены соответственно номера 2, 3 и 1 напомним, что в примере 7.1 этим выводам были присвоены номера 1, 2 и 3 .
Неопределенная матрица проводимостей, соответствующая такой нумерации вы водов, может быть получена способом, приведенным в примере 7.1, однако этот способ весьма трудоемок.
В то же время для решения задачи достаточно в матрице проводимостей, получен ной в примере 7.1, поставить первый столбец на место второго, второй — на место третьего, третий — на место первого, первую строку перенести на место второй, вторую — на место третьей, а третью — на место первой, причем последовательность выполнения перестано вок не имеет значения. в результате получим
1 2 3
1
2 .
3
586
С помощью неопределенных матриц сопротивлений и проводимостей линей ного неавтономного многополюсника можно получить матрицы первичных пара метров, соответствующие различным схемам включения этого многополюсника.
Пусть какой либо вывод многополюсника, например с номером N, соединен с базисным узлом (выбран в качестве общего или базисного узла). Тогда напряжение
N |
|
равно нулю и, следовательно, равны нулю |
|
гo вывода относительно базисного |
|||
частичные токи всех выводов |
, |
,… , |
, вызванные действием источника |
. Исключая из системы уравнении (7.7) уравнение для тока вывода N, кото рый равен сумме токов остальных выводов, взятой с противоположным знаком, по лучаем систему основных уравнений многополюсника в рассматриваемой схеме
включения: |
|
|
… |
, |
|
|
|
|
… |
… |
… |
, |
|
. |
7.15 |
… |
… |
… |
… |
||||
, |
, |
… |
, |
, |
|
Матрица первичных параметров многополюсника в этом случае |
|||
|
|
… |
, |
… |
… |
… |
, |
… |
… |
||
, |
, |
… |
, |
Y |
|
|
N |
N |
Y |
получаетсяij |
из неопределенной матрицы проводимостей этого же многополюсника |
||||
|
путем вычеркивания |
|
го kстолбца и ой строки. В общем случае матрица |
|
|
параметров многополюсника, й полюс которого выбран в качестве базисного |
Yij, |
||||
формируется из неопределенной матрицы проводимостей этого многополюсника |
|
путем вычеркивания столбца и строки, соответствующих базисному полюсу. Сумма элементов каждой строки и сумма элементов каждого столбца матрицы не рав
ны нулю. Определитель этой матрицы, как правило, не равен нулю, и, следователь но, система уравнений (7.15) может быть разрешена относительно напряжений по люсов .
Пример7.4.Найдем матрицы Y параметров полевого транзистора, включенного по схеме с общим истоком и по схеме с общим затвором.
Неопределенная матрица проводимостей полевого транзистора приведена в при мере 7.1. Вычеркивая из этой матрицы третью строку и третий столбец, получаем матрицу Y параметров транзистора с общим истоком:
12
1 |
. |
2 |
Вычеркивая из неопределенной матрицы первую строку и первый столбец, нахо дим матрицу Y параметров полевого транзистора в схеме с общим затвором:
587
2 |
3 |
|
2 |
|
. |
3 |
|
|
Зная матрицу проводимостей многополюсника |
, включенного по схеме с |
общим k м выводом, можно найти неопределенную матрицу проводимостей этого
многополюсника ,. С этой целью матрица |
дополняется k й строкой и k м |
столбцом, элементы которых выбирают из условия равенства нулю суммы элемен тов каждой строки и каждого столбца неопределенной матрицы проводимостей.
С учетом вышесказанного, нетрудно установить, что для перехода от матрицы Y параметров многополюсника, включенного по схеме с общим k выводом, к мат рице Y параметров многополюсника с общим м выводом необходимо сначала до
полнить матрицу k й строкой и k м столбцом, элементы которых выбирают из
условия равенства нулю суммы элементов каждого столбца и каждой строки неоп ределенной матрицы проводимостей, а затем вычеркнуть из полученной матрицый столбец и ю строку.
Пример7.5.Определим матрицу Y параметров биполярного транзистора б , вклю
ченного по схеме с общей базой, по известной матрице Y параметров этого транзистора в схеме с общим эмиттером:
э Б |
Б |
К |
э |
э |
|
К |
э |
э . |
Дополняя матрицу э строкой и столбцом, соответствующими выводу эмиттера
Э |
Б |
К |
Э
Б
К
э |
ээ |
ээ |
э |
э |
э |
э |
э |
э |
э |
|
э |
э |
|
|
э |
|
|
э |
|
и вычеркивая строку и столбец, соответствующие выводу базы, получаем матрицу проводимостей биполярного транзистора в схеме с общей базой:
б Э |
э |
э |
Э |
э |
К |
э |
э |
э |
|||||
К |
|
э |
|
э |
э |
. |
Если два каких либо вывода многополюсника, например с номерами k и N объ единяются в один полюс, которому присваивается номер k, то напряжение этого по люса относительно базисного узла равно , а его ток равен сумме токов k го и N го выводов. При этом в основной системе уравнений многополюсника (7.7) уравнения для токов k го и N го выводов
588
... ...
... ...
заменяются одним уравнением
, |
, |
; |
,,
...
... |
, |
, |
, . |
Следовательно, при объединении k го и N го полюсов в один k й полюс k я и N я строки неопределенной матрицы проводимостей многополюсника суммируются и становятся k й строкой, а k й и N й столбцы суммируются и образуют k й столбец.
Пример7.6.Зная неопределенную матрицу проводимостей многополюсника А,при веденного на рис. 7.8, а,
1 2 3 4
1
А 2 , 3
4
определим неопределенную матрицу проводимостей YijБ нового многополюсника Б, получающегося из исходного в результате объединения полюсов 3 и 4 рис 7.8, б . Основные уравнения исходного многополюсника в форме Y имеют вид
;
;
;
.
Рис. 7.8. К примерам 7.6 и 7.7
У многополюсника, полученного из исходного путем объединения выводов 3 и 4, напряжение объединенного вывода равно , а ток — сумме токов третьего и четвертого выводов исходного многополюсника:
589
;
;
,
или в матричной форме
1 |
2 |
3 |
1
2 Б .
3
Таким образом, элементы третьей строки и третьего столбца матрицы YijБ действи тельно равны сумме соответствующих элементов третьей и четвертой строк и третьего и четвертого столбцов неопределенной матрицы проводимостей исходного многополюсника.
Если какой либо вывод многополюсника, например N й, не используется при его соединении с остальной частью цепи, т. е. является внутренним узлом многопо люсника, то ток этого вывода
|
... |
, |
|
, |
, |
0. |
7.16 |
Определяя из уравнения (7.16) напряжение N гo вывода |
, |
|
|||||
и исключая напряжение |
⁄ |
⁄ |
... |
, |
, |
|
|
из основной системы уравнений электрического равно |
|||||||
весия исходного многополюсника, получаем |
|
|
|
|
|
...
...
, |
, |
, |
; |
, |
, |
, |
; |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.17
, |
, |
|
, |
, |
|
... |
… |
, |
, |
, |
, |
. |
|
Система уравнений (7.17) может быть представлена в матричной форме
590
где матрица |
|
|
|
|
|
… |
…, |
, |
|||
|
; |
|
|
|
|
; |
|
…; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
; |
|
|
|
|
; |
|
…; |
||
|
|
|
|
|
|
||||||
. . . . . . . . . . |
|
. . . . . . . . . . |
|
. . . . |
|||||||
, |
, |
|
|
; |
, |
|
, |
|
|
; |
…; |
,
,
,
,
. . . . . . . . . . . . .
, ,
,
получается из неопределенной матрицы проводимостей исходного многополюсника путем вычеркивания N й строки и N го столбца и замены остальных элементов новыми определяемыми с помощью соотношения
⁄ |
7.18 |
Пример7.7.Зная неопределенную матрицу проводимостей многополюсника, при веденного на рис.7.8, а см. пример 7.6 , найдем неопределенную матрицу проводимостей В многополюсника, который получается из исходного, если полюс 4 становится внутрен
ним рис. 7.8, в .
Неопределенная матрица проводимостей многополюсника, приведенного на рис.7.8, в, формируется из неопределенной матрицы проводимостей исходного многопо люсника путем вычеркивания строки 4 и столбца 4, а также замены остальных элементов новыми, рассчитанными с помощью выражения 7.18 :
1 |
1 |
|
; |
2 |
|
; |
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В 2 |
|
|
; |
|
|
; |
|
|
. |
||
|
|
|
|||||||||
3 |
|
|
; |
|
|
; |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Нетрудно убедиться, что сумма элементов любой строки и сумма элементов любого столбца матрицы В равны нулю.
Рассматривая основные уравнения многополюсника в форме Z, можно устано вить, что при размыкании какого либо из внешних по отношению к многополюсни ку контуров, например k го (контурный ток этого контура становится равным нулю), из неопределенной матрицы сопротивлений многополюсника вычеркивают k ю строку и k й столбец. Полученная в результате этого матрица сопротивлений
как правило, не является особенной, поэтому основная система уравнений мно
гополюсника, один из внешних контуров которого разомкнут, может быть разреше на относительно токов остальных контуров.
591
В отличие от неопределенных матриц сопротивлений и проводимостей много полюсника матрицы и , получаемые из матриц и путем вычеркивания
строки и столбца, будем называть укороченными матрицами сопротивлений и
проводимостей многополюсника.
k |
N |
|
|
k |
При объединении го и |
го выводов многополюсника в один |
й вывод из не |
||
|
|
|
|
N |
определенной матрицы сопротивлений исходного многополюсника вычеркивают |
||||
N |
|
|
|
заменяют но |
ю строку и й столбец, а остальные элементы исходной матрицы |
||||
выми , рассчитанными по формуле |
/ |
. |
|
Если какой либо из полюсов многополюсника, например k й, являющийся об щим для k го или го контуров, становится внутренним, то контуры k и объединя ются в один й контур. В этом случае в неопределенной матрице сопротивлений многополюсника вычеркивают k ю строку и k й столбец, а затем к элементам й строки и го столбца прибавляют соответствующие элементы k й строки и k го столбца.
Соотношения между элементами неопределенных матриц проводимо стей и сопротивлений многополюсника
Основные уравнения произвольного линейного неавтономного многополюс ника в формах Y и Z описывают зависимости между токами и напряжениями на за жимах этого многополюсника. Очевидно, что коэффициенты основных уравнений (Y и Z параметры многополюсника) должны быть связаны между собой соотношения ми, позволяющими найти элементы одной из неопределенных матриц многополюс ника по известным элементам другой. Определить эти соотношения путем сопос тавления выражений для одноименных величин, например токов или напряжений полюсов, полученных из уравнений (7.7) и (7.14), невозможно, поскольку матрицы
иявляются особенными и уравнения (7.7) не могут быть разрешены относи
тельно напряжений полюсов, а уравнения (7.14) — относительно токов, внешних по отношению к многополюснику контуров. Однако, как было установлено ранее, уко роченные матрицы сопротивлений и проводимостей многополюсника не являются особенными и, следовательно, основные уравнения многополюсника, один из выво дов которого выбран в качестве общего или один из внешних по отношению к кото рому контуров является разомкнутым, могут быть разрешены относительно одно именных величин.
Пример7.8. Определим соотношения между Y и Z параметрами линейного неавто номного трехполюсника рис. 7.9, а . Пусть неопределенная матрица проводимостей этого трехполюсника известна:
1 2 3
1
2 .
3
592
Выберем любой из полюсов трехполюсника, например полюс 3, в качестве общего рис. 7.9, б и найдем соответствующую этому случаю укороченную матрицу проводимо стей:
1 2
1
2 .
Основная система уравнений трехполюсника в данной схеме включения имеет вид
;
. 7.19
|
|
|
Рис. 7.9. К примеру 7.8 |
|
|
|||
Выразим токи полюсов трехполюсника |
, через токи внешних контуров , |
|||||||
рис. 7.9, в : |
|
|
|
|
; |
, |
, |
7.20 |
а напряжения полюсов трехполюсника относительно базисного |
— через |
|||||||
напряжения между полюсами , |
: |
; |
. |
|
7.21 |
|||
Подставляя соотношения |
7.20 , |
7.21 в |
7.19 и решая полученную систему урав |
|||||
нений |
|
, |
|
|
|
; |
|
|
относительно |
, переходим от основных уравнений трехполюсника с общим |
|||||||
полюсом 3 |
рис. 7.9, б |
к основным уравнениям трехполюсника с разомкнутым внешним |
||||||
контуром 2 |
рис. 7.9, в : |
⁄ |
|
|
⁄ |
; |
|
|
или |
|
⁄ |
|
|
⁄ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
Здесь
593
― укороченная матрица сопротивлений трехполюсника, внешний контур 2 которо го разомкнут.
Дополняя укороченную матрицу еще одной строкой и одним столбцом, соответст вующими разомкнутому контуру, и вынося из матрицы общий для всех элементов множи тель, находим неопределенную матрицу сопротивлений рассматриваемого трехполюсника:
|
1 |
2 |
3 |
1 |
1 |
|
. |
2 |
|
||
|
3 |
|
|
Полученные выражения для Z параметров могут быть упрощены, если принять во внимание, что суммы элементов любой строки и элементов любого столбца матрицы Y
равны нулю:
|
1 |
2 |
3 |
|
1 |
1 |
|
. |
7.22 |
2 |
|
|||
|
3 |
|
|
|
Используя аналогичные преобразования, нетрудно выразить элементы неопреде ленной матрицы проводимостей трехполюсника через элементы неопределенной матрицы сопротивлений:
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
1 |
1 |
|
. |
7.23 |
|
2 |
|
|||
|
|
3 |
|
|
|
Выражения 7.22 , 7.23 получили название формул перехода. Как следует из фор |
|||||
мул перехода, взаимные преобразования неопределенных матриц проводимостей |
и со |
противлений многополюсника возможны только в том случае, когда укороченные мат рицы проводимостей и сопротивлений не являются особенными.
Уравнения электрического равновесия цепей с многополюсными элемен тами
Уравнения электрического равновесия линейных цепей, содержащих неавто номные многополюсники, можно формировать с помощью предложенных проф. В.П. Сигорским обобщенных методов узловых напряжений и контурных токов. Познако мимся с основными идеями обобщенного метода узловых напряжений на примере линейной цепи, содержащей один неавтономный трехполюсник. Если считать, что неопределенная матрица проводимостей трехполюсника известна
1 2 3
1
2 7.24
3
594
а внешние выводы трехполюсника 1, 2 и 3 подключены соответственно к узлам k, и s цепи (рис. 7.10, а), то при изменении нумерации столбцов и строк матрицы (7.24) в соответствии с нумерацией узлов цепи и выборе в качестве базисного узла для от счета напряжений внешних выводов трехполюсника базисного узла рассматривае
Рис.7.10. К обоснованию обобщенного метода узловых напряжений
мой цепи напряжения внешних выводов трехполюсника относительно базисного будут совпадать с узловыми напряжениями соответствующих узлов цепи, а токи внешних выводов трехполюсника могут быть выражены через узловые напряжения исследуемой цепи:
|
|
|
|
|
. |
|
Токи и напряжения цепи не изменятся, если вместо выводов трехполюсника к |
||||||
k |
и |
s |
подключить источники тока |
, и : |
; |
|
узлам , |
|
|
||||
|
|
|
|
|
; |
7.25 |
|
|
|
|
|
. |
Преобразованная цепь (рис. 7.10, б) содержит только идеализированные двух полюсные элементы и для нее можно составить систему узловых уравнений
595
. . .
. . . |
, |
7.26 |
. . .
. . .
где m = q — 1 ― число независимых узлов цепи;
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
… … … …
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
… … … …
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
… … … …
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
… … … …
― матрица узловых проводимостей цепи;
. . . .
. . . .
. . . .
.. . .
―матрица столбец узловых токов цепи рис. 7.10, б.
Выражая токи источников тока , , через узловые напряжения цепи (7.25) и перенося соответствующие члены в левую часть уравнения (7.26), получаем
596
; |
……… |
……… |
……… |
……… |
; |
……… |
……… |
……… |
……… |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
; … … … …
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
; … … … …
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
; … … … …
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
; ……… ……… ……… ………
. . . |
. . . |
|
. . . |
. . . |
7.27 |
. . . |
. . . . |
|
. . . |
. . . |
|
Как следует из (7.27), система узловых уравнений произвольной линейной це пи, содержащей неавтономный трехполюсник, по форме совпадает с системой узло вых уравнений вспомогательной цепи, которая получается из рассматриваемой цепи путем исключения этого трехполюсника. Матрица столбец узловых токов исходной цепи полностью совпадает с матрицей столбцом узловых токов вспомогательной цепи, а матрица узловых проводимостей рассматриваемой цепи получается из мат рицы узловых проводимостей вспомогательной цепи путем добавления к ее эле ментам, лежащим на пересечении k, и sй строк и k, и sго столбцов соответст вующих элементов неопределенной матрицы проводимостей неавтономного трех полюсника.
В общем случае исследуемая цепь может содержать не один, а несколько мно гополюсных элементов с произвольным числом выводов. Формирование уравнений электрического равновесия такой цепи согласно обобщенному методу узловых на пряжений производят в следующем порядке:
1)выбирают базисный узел и нумеруют независимые узлы цепи;
2)изменяют нумерацию столбцов и строк неопределенных матриц проводимо стей всех многополюсников в соответствии с нумерацией узлов, к которым подклю чены выводы этих многополюсников;
3)из неопределенных матриц проводимостей всех многополюсников вычерки вают строки и столбцы, соответствующие тем выводам многополюсника, которые соединены с базисным узлом (элементы этих столбцов и строк не учитывают при формировании узловых уравнений);
597
4)из исследуемой цепи удаляют все многополюсники; для оставшейся вспомо гательной цепи, содержащей только идеализированные двухполюсные элементы, формируют систему узловых уравнений;
5)от узловых уравнений вспомогательной цепи переходят к узловым уравне ниям исходной цепи, для чего последовательно рассматривают все входящие в цепь многополюсники и элементы неопределенных матриц проводимостей многополюс ников суммируют с соответствующими элементами матрицы узловых проводимо стей вспомогательной цепи.
Число независимых уравнений электрического равновесия, формируемых с помощью обобщенного метода узловых напряжений, не зависит от внутрен ней структуры входящих в цепь многополюсников и определяется только чис лом независимых узлов внешней по отношению к многополюсникам части це пи.
Отметим, что обобщенный метод узловых напряжений является весьма уни версальным и не накладывает никаких ограничений на топологию цепи и число входящих в нее многополюсных элементов.
Пример7.9.Составим систему узловых уравнений усилительного каскада на поле вом транзисторе, принципиальная электрическая схема которого приведена на рис. 7.11, а. Используем комплексную схему замещения каскада рис. 7.11, б , где в качестве многопо люсника представлена модель полевого транзистора по переменному току в режиме малого сигнала. Изменяя нумерацию столбцов и строк неопределенной матрицы проводимостей полевого транзистора см. пример 7.1 согласно нумерации узлов рассматриваемой цепи, получаем
2 |
зи |
2 |
зс |
3 |
зс |
си |
0 |
зи |
си . |
3 |
|
|
зс |
зс |
|
зи |
|||
0 |
|
|
зи |
|
|
си |
|
си |
Строка и столбец неопределенной матрицы проводимостей, соответствующие вы воду транзистора, соединенному с базисным узлом цепи, могут быть вычеркнуты из матри цы, так как элементы этой строки и этого столбца не учитываются при составлении уравне ний электрического равновесия.
Рис. 7.11. К примеру 7.9
598
Составим систему узловых уравнений вспомогательной цепи, которая получается из исходной цепи рис. 7.11, б при удалении из нее многополюсного элемента:
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
|
|
0 . |
||
4 |
0 |
0 |
|
|
0 |
Прибавляя к элементам матрицы узловых проводимостей вспомогательной цепи, расположенным на пересечении столбцов 2, 3 и строк 2, 3, соответствующие элементы не определенной матрицы проводимостей полевого транзистора, находим систему узловых уравнений рассматриваемой цепи:
1 |
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
зи |
зс |
0 |
|
0 |
0 |
|
2 |
0 |
зс |
си |
0 |
|||
3 |
зс |
|
зс |
|
0 . |
||
4 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
Пример7.10. Используя обобщенный метод узловых напряжений, составим систему уравнений электрического равновесия комбинированного усилителя, содержащего полевой и биполярный транзисторы рис. 7.12, а . Комплексная схема замещения усилителя в диапа зоне низких частот приведена на рис. 7.12, б.
Рис. 7.12. К примеру 7.10
Неопределенная матрица проводимостей полевого транзистора VTA была найдена в примере 7.1.
1 |
1 |
зс |
2 |
|
0 |
|
зи |
зс |
си |
зи |
. |
||
А 2 |
|
зс |
зс |
си |
||
0 |
|
зи |
|
си |
зи |
си |
Для получения неопределенной матрицы проводимостей биполярного транзистора VTБ воспользуемся неопределенной матрицей сопротивлений этого транзистора см. при мер 7.2 и формулами перехода 7.23 :
|
0 |
к |
⁄∆ |
|
3 |
|
2 |
|
|
0 |
б |
|
б⁄∆ |
|
к⁄∆ |
|
|
||
Б 3 |
б |
к |
⁄∆ |
э |
б ⁄∆ |
к |
э |
⁄∆ |
, |
2 |
|
⁄∆ |
|
э⁄∆ |
э |
⁄∆ |
|
599
где |
к |
б э |
к |
2 |
б. Составляя систему узловых уравнений вспомо |
||
гательной цепи |
1 |
1⁄ |
1 |
|
3 |
|
|
|
1⁄ з |
0 |
с |
0 |
0 |
||
|
2 |
|
0 |
1⁄ |
0 |
||
|
3 |
|
0 |
0 |
1⁄ |
к 1⁄ и |
0 |
и суммируя элементы неопределенных матриц проводимостей транзисторов с со ответствующими элементами матриц узловых проводимостей этой цепи, получаем оконча тельно
1 |
1⁄ |
з |
|
|
2 |
|
зс; |
|
3 |
0 |
|
1⁄ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
зи |
зс |
; |
1⁄ с |
|
|
зс |
си |
|
э⁄∆ |
|
2 |
|
зс; |
к |
э |
|
0 . |
|||||
0; |
|
|
|
⁄∆ |
; |
1⁄ к |
1⁄ и |
||||
3 |
|
|
|
|
|
э ⁄∆ ; |
|
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
э |
б ⁄∆ |
|
Обобщенный метод контурных токов имеет несколько меньшую универсаль ность, чем обобщенный метод узловых напряжений, и может применяться только при анализе цепей, схема замещения которых является планарной. Формирование уравнений электрического равновесия произвольной линейной цепи, содержащей один или несколько неавтономных многополюсников, в соответствии с обобщен ным методом контурных токов выполняется в такой последовательности:
1)нумеруются все контуры, образуемые внутренними ячейками цепи, направ ление обхода этих контуров выбирают одинаковым — по часовой стрелке;
2)изменяют нумерацию столбцов и строк неопределенных матриц сопротив лений многополюсников в соответствии с нумерацией соответствующих контуров цепи; если одна из сторон многополюсника оказывается не связанной ни с одной из внутренних ячеек цепи, то соответствующим строке и столбцу присваивают номер 0, элементы этих строк и столбцов не учитывают при составлении уравнений элек трического равновесия цепи;
3)из рассматриваемой цепи удаляют все многополюсные элементы, а точки присоединения полюсов каждого из них к остальной части цепи соединяют между собой, образуя один узел: очевидно, что число контуров полученной таким образом вспомогательной цепи равно числу контуров исходной цепи;
4)используя метод контурных токов, формируют систему уравнений электри ческого равновесия вспомогательной цепи, состоящей только из идеализированных двухполюсных элементов;
5)от контурных уравнений вспомогательной цепи переходят к контурным уравнениям исследуемой цепи, для чего элементы неопределенных матриц сопро тивлений многополюсников суммируют с соответствующими элементами матрицы контурных сопротивлений вспомогательной цепи.
600
Пример7.11. Используя обобщенный метод контурных токов, составим систему уравнений электрического равновесия усилительного каскада см. рис. 7.11, а , комплексная схема замещения которого приведена на рис. 7.13.
Для формирования системы контурных уравнений необходимо определить матри цу Z параметров полевого транзистора. Воспользуемся для этой цели неопределенной мат рицей проводимостей полевого транзистора см. пример 7.1 и формулами перехода 7.22 :
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
си |
; |
|
2 |
|
; |
3 |
зс |
|
||||||
|
|
|
|
|
зс |
|
|
си |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
си |
; |
|
|
си |
; |
зи ; |
|
|
|
зи |
, |
|||
|
|
|
|
∆ |
3 |
|
|
зс |
зс; |
си |
ω зс |
|
зи |
|
|
|
зи |
зс |
|||||
где ∆ ω зи |
|
|
|
|
|
|
|
|
си . |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 7.13. К примеру 7.11
Нумерация сторон многополюсника, а следовательно, и нумерация строк и столб цов неопределенной матрицы сопротивлений произведена в соответствии с рис. 7.5 и 7.9. Выберем нумерацию контуров рассматриваемой цепи, как указано на рис. 7.13 и соответст венно изменим нумерацию строк и столбцов неопределенной матрицы сопротивлений по левого транзистора:
1 |
2 |
2 |
си |
0 |
|
3 |
|
зс |
си |
|
зс |
. |
|||
0 |
|
си |
си |
зи |
зи |
||
∆ |
3 |
|
зс |
зи |
|
зи |
зс |
Удалим из исследуемой цепи многополюсный элемент, точки присоединения его выводов соединим между собой и составим систему контурных уравнений для полученной таким образом вспомогательной цепи
1 |
1 |
; |
2 |
3 |
4 |
|
; |
; |
0; |
0 |
0 |
||
2 |
|
; |
0; |
0 |
||
3 |
0; |
|
0; |
; |
|
0 . |
4 |
0; |
|
0; |
; |
|
0 |
Прибавляя элементы неопределенной матрицы сопротивлений полевого транзи стора, расположенные на пересечении строк 2, 3 со столбцами 2, 3, к соответствующим эле ментам матрицы контурных сопротивлений вспомогательной цепи, получаем систему кон турных уравнений исследуемой цепи:
1 |
2 |
3 |
4 |
601