стандартное нормальное распределение, не имеющее никаких параметров (иначе можно сказать, что его среднее значение равно нулю, а стандартное отклонение –

1):

Именно это стандартное нормальное распределение и изображено на Рис.

202.

Оценка риска возникновения дефицита по нормальному распределению.

Допустим, что в результате анализа числовой выборки спроса на некоторый товар получено, что среднее (ожидаемое на планируемый период)

значение ежедневного спроса x 1 (в единицах больших контейнеров), а стандартное отклонение ежедневного спроса оценено как s 0,1 контейнера. Пусть

время выполнения поставщиком заявки на пополнение запаса составляет L=16 дней. Это означает, в соответствие с формулами (4) и (5), что среднее значение

суммарного спроса за L=16 дней ожидания поставки составит

а стандартное отклонение этого суммарного спроса равно

При этом случайное значение суммарного спроса X L распределено

нормально.

Допустим, что менеджер оставляет на время ожидания поставки запас

ROP X L , где ROP – аббревиатура английских слов Re-Order Point – точка

перезаказа.

Дефицит возникнет, если спрос превысит оставленный менеджером запас. В данном случае – если спрос за время ожидания поставки будет выше среднего

значения X L . Вероятность этого события будет измеряться суммарной площадью всех столбиков на частотной диаграмме нормального распределения

(Рис. 202), лежащих справа от значения z=0 (или x X L ). Очевидно, что эта

площадь (площадь под правой половиной кривой нормального распределения) равна 0,5, а значит, вероятность дефицита составит 50%.

Пусть менеджер, желая снизить риск возникновения дефицита, делает

перезаказ, когда запас данного товара на складе ROP X L . Пусть оставленный запас превышает величину среднего суммарного спроса за время выполнения поставки на z стандартных отклонений суммарного спроса за это время, т.е.

Тогда риск возникновения дефицита будет измеряться площадью под хвостом кривой нормального распределения справа от значения z (Рис. 202).

Таким образом, z показывает, какой безопасный резерв SS = z sx нужно добавить к среднему спросу за время ожидания поставки так, чтобы риск

возникновения дефицита в этом периоде не превысил .

Практически вычисление риска возникновения дефицита при заданном значении точки перезаказа ROP, или, наоборот, вычисление величины безопасного резерва SS и точки перезаказа ROP при выбранном значении риска

возникновения дефицита , сводится к вычислению площадей под кривой стандартного нормального распределения. Это вычисление легко выполнить с помощью специальных функций MS-Excel.

Функция НОРМСТРАСП(z) ( в английском варианте MS Excel – NORMSDIST) вычисляет площадь под кривой стандартного нормального

распределения от - до z. Таким образом, если задать

то риск возникновения дефицита при таком запасе можно получить по формуле:

Функция НОРМСТОБР(вероятность) ( в английском варианте MS Excel

– NORMSINV) решает обратную задачу: вычисляет величину z так, чтобы площадь под кривой стандартного нормального распределения, опирающейся на

интервал от - до z, равнялась заданной вероятности. Таким образом, если задать требуемый риск возникновения дефицита за время ожидания поставки , то величину z , показывающую какой безопасный резерв SS=z sx нужно создать,

чтобы снизить риск дефицита до заданного значения следует рассчитать по формуле:

Подчеркнем, что в качестве вероятности, запрашиваемой этой функцией, нужно подставить вероятность того, что дефицита за время ожидания поставки не

будет, т.е. 1- .

При этом точка перезаказа будет определяться как

Риск возникновения дефицита и уровень обслуживания.

Вероятность (риск) возникновения дефицита определяет долю заказов,

при ожидании которых был зафиксирован дефицит. Пусть, например, менеджер работал в течение 100 месяцев, делая в среднем 1 заказ в месяц на восполнение запаса некоторого товара. Если риск возникновения дефицита поддерживался на

уровне в 5%, это значит, что в 5 месяцах из 100 у него возникал дефицит, т.е. спрос превышал запас, оставленный на время ожидания поставки. Эта цифра не говорит, однако, ничего о том, как велик был дефицит в каждом из 5-ти месяцев, когда он был зафиксирован, и сколько клиентов за все время работы (или в среднем за каждый из этих 100 месяцев) остались не обслуженными. Вместе с тем, именно эта последняя величина наиболее наглядно характеризует уровень обслуживания клиентов с точки зрения менеджера.

Уровень обслуживания Psl (по-английски service level) – это средняя доля

отказов продать 1 единицу данного товара в период между заказами. Например, если уровень обслуживания, который хотят поддерживать менеджеры фирмы, равен 99,9%, а количество единиц товара, продаваемых в период между

последовательными поставками новых партий товара, равно Q =1000 шт., то это

значит, что в среднем число отказов в продаже 1 единицы товара E =1. Вообще говоря,

Между средней долей отказов E и риском возникновения дефицита существует непростая связь:

где, в соответствие с (17) z =НОРМСТОБР(1- ).

Следует подчеркнуть, что часто воспринимаемая как «очевидная» связь

Psl=1-

совершенно неверна (поэтому мы ее перечеркнули). Причина возникновения этого неверного представления – в непонимании смысла величины риска дефицита. Если, как в приведенном выше примере, риск возникновения дефицита равен 5%, т.е. случается в среднем 5 раз на 100 периодов между заказами, то понятно, что средняя на период доля отказов должна быть гораздо меньше. Ведь в 95-ти периодах дефицита не было и, следовательно, отказов не было вообще! В 5-ти периодах дефицит был, и трудно сразу сказать, какое количество отказов произошло в этих периодах. Однако, при взгляде на нормальное распределение (Рис. 202) видно, что вероятность большого числа отказов намного меньше, чем малого. Поскольку все произошедшие в 5 периодов отказы нужно «размазать» по 100 периодам, чтобы получить среднее число отказов за период, становится ясно, что отличие уровня обслуживания от 1

намного меньше, чем . Используя формулу (20), можно получить, что при Q=1000 и sx=50, при =5%, среднее число отказов за период между заказами

E 1,045, а Psl 99,9% (подробнее о связи между риском дефицита и уровнем обслуживания см. гл.15 [2]).

Для тех читателей, кто помнит определение среднего значения функции непрерывной случайной величины и владеет навыками интегрирования, ниже приведен вывод соотношения (20).