Первая задача состоит в том, чтобы полностью обеспечить заводы сырьем требуемого качества и добиться минимальной стоимости закупок сырья при обеспечении высокой надежности поставок.

Вторая задача состоит в том, чтобы от выбранных поставщиков наиболее дешевым способом привести каждому заводу сырье требуемого качества.

Определите оптимальные планы закупок сырья и его транспортировки к заводам потребителям.

Приложение Эмпирическая зависимость себестоимости переработки продукции

от процентного содержания извлекаемого компонента в руде для заводов компании НАЦПРОДУКТ

k k

C (1 H k min ) Cmax min

где С – себестоимость продукции, С max - максимальная себестоимость (при минимально допустимой концентрации ИК), H – коэффициент, выражающий скорость снижения себестоимости при росте содержания ИК в руде.

Значения k , С max и H для каждого завода приведены на Рис. 97 и Рис. 98.

Анализ действия 1 кейса.

Определение оптимального плана закупок

В задаче определения оптимального плана закупок переменными решения, очевидно являются объемы закупок у каждого i-го поставщика Vi . Поскольку

поставщиков 10, i меняется от 1до 10.

Помимо этого необходимо ввести 10 двоичных переменных типа «выбрать

– не выбирать» для каждого поставщика:

Введение этих переменных необходимо, т.к. каждый поставщик согласен поставить не меньше, чем некоторый минимальный объем сырья Vmin . Соответственно, мы обязаны купить не меньше этого минимального объема или не покупать у этого поставщика вообще ничего. Можно поэтому записать ограничение на объем закупок у каждого поставщика снизу в виде

Vi xi Vmini

Аналогичное ограничение на величину поставок от каждого поставщика сверху запишется в виде:

Vi Vmaxi

Как было рассмотрено в кейсе «На кондитерской фабрике» (действие 3),

необходимо обеспечить связь между парой переменных xi Vi , которая исключала бы ситуацию, когда

Vi 0, а xi 0

Действительно, если мы не выбрали данного поставщика, т.е. xi = 0 , то обязательно должно быть Vi = 0, т.е. никаких закупок у данного поставщика не делается. Эта связь задается условием:

Vi 100 xi 0

Число 100 здесь – это большое число, превышающее максимальный объем, который каждый поставщик способен продать. Последнее условие можно было бы записать в виде

Vi Vmaxi xi 0

В этом случае это условие включило бы и ограничение Vi ≤ Vmax и условие связи Vi – 100*xi ≤ 0 , вынуждающее алгоритм положить Vi = 0 , если xi = 0 .

Два других очевидных ограничения – это ограничение на суммарный объем закупок

состоящее в том, что суммарный объем закупок должен покрывать потребности 5-ти заводов компании – 108 млн. тонн, и

10

Vi (%ИКi 7%) 35

i 1

состоящее в том, что суммарный объем закупок сырья с высоким (более 7%) содержанием искомого компонента в руде должен покрывать потребности 2- х заводов компании, и следовательно, такое сырье должно быть закуплено в объеме, не меньшем, чем 35 млн. тонн.

Важнейшим ограничением плана закупок является обеспечение надежности поставок, которая оценивается как средневзвешенный индекс надежности выбранных поставщиков. Обозначим индекс надежности каждого поставщика как RIi , а индекс надежности поставок сырья на год как, т.е. средневзвешенный индекс выбранных поставщиков как RIзакупок.

Выражение для средневзвешенного индекса поставщиков имеет следующий вид

объем закупок должен точно равняться 108 млн. тонн. Учитывая это обстоятельство, можно переписать выражение

10

RIi Vi

RIзакупок i 1 10

Vi

i 1

в виде

10

RIi Vi

RIзакупок i 1 108

и потребовать, чтобы этот индекс в оптимальном плане не превышал 4:

RIзакупок 4

Наконец выражение для целевой функции – суммарной стоимости закупок, которая должна быть минимальна, запишется в виде:

10

CVi ci

i 1

где сi – стоимость одной тонны сырья у i –го поставщика.

Рис. 101

На Рис. 101 приведена организация данных на листе MS Excel для использования Поиска решений. В ячейках A1:F3 введены данные, касающиеся требования к поставкам сырья 5-ти заводов компании, а в ячейках A4:F16 – данные о потенциальных поставщиках компании, включая возможные максимальный и минимальный объем закупок, %ИК в руде, цену одной тонны руды и индекс надежности, приписанный поставщику экспертами отдела закупок

Vi

компании НАЦПРОДУКТ. Двоичные переменными решения располагаются в ячейках H7:H16 («выбрать поставщика или не выбирать») и переменные объемы закупок - в ячейках I7:I16. Целевая функция введена в ячейку L7.

В ячейки J7:J16 введены условия связи между объемом закупок Vi и

двоичной переменной xi (4), а в ячейки K7:K16 – выражения для минимального объема закупок, равного либо 0, либо Vmin.

Наконец, в ячейках I18:I21 введены левые части ограничений на суммарный объем закупок, на объем закупок руды с высоким процентным

содержанием ИК (%ИК 7%), а также выражение для средневзвешенного индекса надежности поставщиков. В ячейках J18:J21 – соответственно правые части ограничений (6), (7), (9).

Оптимальный план поставок, полученный с использованием Поиска решений, представлен на Рис. 102.

Рис. 102

Видно, что следует выбрать поставщиков №1, 5, 7, 8 и 10. При этом все ограничения по объему поставок, качество сырья и надежности поставок выполнены.

В полученном решении условие связи между двоичными переменными и объема закупок (Vi – 100*xi ≤ 0) фактически не является связывающим. И без него Поиск решения выбрал объемы закупок, превышающие минимально допустимые. Легко понять, что это отнюдь не всегда будет так. Пусть, например, поставщики требуют, чтобы минимальные объемы закупок составляли не менее 50% от объявленных ими же максимальных допустимых объемов. Решение задачи в этом случае показано на Рис. 103.

Видно, что теперь условие связи Vi – 100*xi ≤ 0 существенно влияет на решение, ухудшая целевую функцию и меняя оптимальный выбор поставщиков.