8. Управление проектами с учетом случайных вариаций времени выполнения стадий

Теоретические замечания.

Теоретическое введение.

В разделе «Планирование и анализ проектов в условиях полной определенности» мы базировались на методе критического пути – CPM (critical path method), основанном на определении временных резервов всех стадий проекта. Если временной резерв стадии равен нулю, то ее нельзя удлинить или отложить, не удлинив проект в целом. Такие стадии называются критическими. Если требуется сократить проект, вложив в него дополнительные финансовые и/или трудовые ресурсы, то сокращать нужно именно критические стадии. Некритические стадии можно удлинять или откладывать в пределах имеющихся у них временных резервов, а их сокращение бесполезно, так как не приводит к сокращению проекта в целом. Эта концепция оказывается весьма плодотворной при определении длительности и расписания проекта, выбора оптимального пути для сокращения проекта до заданного срока при минимуме финансовых вложений, определении оптимальной длительности проекта с точки зрения конечного финансового результата и при наличии ограничений на ресурсы (материальные и трудовые).

Успешное применение этой концепции обусловлено точным определением длительности каждой стадии проекта. В случае, если время выполнения тех или иных стадий проекта подвержены случайным вариациям (что в реальности, конечно, так и есть), то понятия критических стадий и критического пути

размываются. Действительно, представим себе, что длительность каждой i-ой стадии случайна, и ее можно характеризовать средней длительностью ti и

стандартным отклонением времени выполнения от этой средней длительности si . Пусть при введении в MS Project информации о стадиях проекта использовалась

средняя длительность каждой стадии ti . Пусть при этом некоторая стадия

проекта оказалась некритической с временным резервом (Total Slack) равным, скажем, TS=5 дням. Допустим, однако, что стандартное отклонение для времени

выполнения этой стадии также равно si =5 дням. Это значит, что случайное, но очень вероятное, удлинение этой стадии по сравнению со средним значением на

5-6 дней, сделает эту стадию критической. Напротив, случайное сокращение критической стадии на ту же величину, может перевести ее в разряд некритических.

«Критический путь» может быть определен и в этом случае, как путь, у которого суммарная средняя длительность составляющих его стадий самая большая, т.е. путь у которого

где суммируются только те стадии, которые принадлежат выбранному пути (знак <T> означает ожидаемое суммарное время выполнения всех стадий на

данном пути, а знак означает, что стадия i принадлежит рассматриваемому пути). Но в конкретной реализации проекта, из-за случайной вариации длительности различных стадий проекта, этот «в среднем самый длинный путь» может оказаться короче других «в среднем не самых длинных». Иными словами, может оказаться, что все работы «критического пути» уже закончены, а проект в целом еще нет, так какие-то «некритические» стадии случайно удлинились.

В этом случае, выводы об окончании проекта могут носить лишь вероятностный характер. Можно определить среднее время окончания «критического пути», средние длительности выполнения работ по путям, близким

к«критическому», средние длительности всех путей, ведущих от начала проекта к его концу, однако это еще не даст ясного представления о сроках окончания проекта. Основной величиной, дающей такое представление, становится вероятность окончания проекта к заданному сроку (объявленному заказчику и согласованному с ним). Оценка этой вероятности (а также вероятности того, что финансовые затрату по проекту не превысят заданной величины) и посвящена методика PERT (program evaluation and review technique).

Очевидно, что если объявить заказчику в качестве срока окончания проекта среднее (ожидаемое) время завершения проекта по критическому пути,

то вероятность невыполнения этого обязательства, не завершения проекта к заданному сроку (и, соответственно, вероятность штрафных санкций за это) будет, как минимум, равна 50%. Действительно, поскольку время выполнения проекта по критическому пути (как и по любому другому пути от начала к концу проекта) есть сумма случайных длительностей лежащих на нем стадий, частотное распределение для случайной величины - времени выполнения проекта по данному пути, будет описываться нормальной кривой (см. теоретическое введение

кразделу «Оптимальное управление запасами с учетом случайных вариаций спроса», а также [5]). Центр частотного распределения соответствует ожидаемому времени <T> окончания всех стадий на данном пути. Вероятность, что реальная длительность проекта превысит это ожидаемое (среднее) время, очевидно, равна 50%. На самом деле, вероятность окончания проекта в целом (а не только всех стадий на критическом пути) ко времени <T> еще меньше, так из-за возможности случайного удлинения некритических стадий, пути, считавшиеся «некритическими» могут затянуться и после окончания всех стадий «критического» пути.

Рис. 277

Понятно, что если мы хотим снизить вероятность не завершения проекта к

объявленному сроку до величины , необходимо задать некоторый безопасный резерв времени (см. теоретическое введение к разделу «Оптимальное управление запасами с учетом случайных вариаций спроса»), и объявить временем окончания

проекта Tfin большее, чем <T> (Рис. 277).

Напомним, что если время Tfin задано, то вероятность того, что все стадии

spath - стандартное отклонение времени выполнения всех стадий по данному пути. Его квадрат равен сумме квадратов стандартных отклонений времени выполнения всех стадий, лежащих на данном пути (см. формулу теоретического введения к разделу «Оптимальное управление запасами с учетом случайных вариаций спроса»)

Как уже отмечалось, вероятность окончания критического пути к заданному времени Tfin, выше, чем вероятность окончания проекта в целом к этому времени. Чтобы проект в целом завершился к заданному времени Tfin, нужно чтобы были завершены работы по всем путям, ведущим от начала проекта к его концу. Согласно правилу умножения вероятностей независимых событий (см., например [5]), вероятности каждого из них должны быть перемножены. Можно подумать, что в нашем случае, это означает, что для нахождения вероятности окончания проекта в целом к заданному времени Tfin нужно перемножить вероятности окончания работ по всем путям, идущим от начала проекта к его концу. К сожалению, это не совсем так, поскольку длительности разных путей, идущих от начала проекта к его концу не обязательно являются независимыми случайными величинами. Они могут содержать одинаковые стадии (нередко разные критические пути вообще отличаются 1-2 стадиями), поэтому

точное нахождение вероятности их совместного окончания ко времени Tfin – сложная (если, вообще, разрешимая) задача.

Тем не менее, представление о вероятности окончания проекта в целом к заданному времени Tfin можно получить, вычислив следующие два числа:

-вероятность окончания критического пути ко времени Tfin можно рассматривать как завышенную оценку вероятности окончания всего проекта к этому времени (назовем ее «оптимистической» оценкой искомой вероятности)

-произведение вероятностей окончания всех путей, идущих от начала проекта к его концу, даст явно заниженную оценку искомой вероятности (назовем эту оценку – «пессимистической»).

Винтервале между этими двумя оценками и лежит интересующая нас вероятность. В рассматриваемом ниже примере анализа проекта по методу PERT

мы увидим, что если задавать разумные значения Tfin , отвечающие достаточно высоким значениям этих вероятностей (что только и представляет интерес с практической точки зрения), то упомянутый выше интервал сужается.

Отметим также, что если длительность некоего пути от начала к концу

проекта значительно ниже длительности «критического» пути <Tcrit>, то вероятность его завершения ко времени Tfin, сопоставимому с <Tcrit> будет, очевидно, близка к единице. Это значит, что вкладом такого пути в произведение вероятностей завершения всех путей к этому времени, можно пренебречь (если этот путь не учитывать, произведение вероятностей почти не изменится). Таким образом, фактически при вычислении «пессимистической» оценки, достаточно учесть лишь пути, близкие по длительности к критическому, что в случае больших и сложных проектов весьма существенно.

Итак, для того чтобы вычислить вероятность завершения любого пути,

идущего от начала к концу проекта, к заданному времени Tfin, достаточно знать среднее (ожидаемое) время завершения этого пути <Tpath> и стандартное

отклонение этого времени spath, которые вычисляются по формулам (1) и (4) соответственно. В таком случае, основной проблемой практического использования метода PERT становятся оценки среднего (ожидаемого) времени

ti и стандартного отклонения si для каждой стадии проекта.

Если входящая в проект стадия представляет собой более или менее стандартную операцию, то на основании выборки исторических данных можно

определить ti и si . Однако в большинстве случаев такие данные отсутствуют, и

вряд ли могут быть в принципе получены, поскольку по самой своей природе каждый проект чем-то отличается от ему подобных, а значит сведение данных из разных проектов в одну и ту же статистическую выборку неправомерно.

Единственным источником информации в таком случае может быть экспертная оценка. Собирая информацию о каждой стадии (работе) проекта, следует попросить специалистов (менеджеров, инженеров, мастеров и рабочих), ответственных за данную стадию, опираясь на их предшествующий опыт и учитывая особенности данного проекта, оценить ее среднюю длительность и возможный разброс. Для унификации оценки возможного разброса времени выполнения работ по данной стадии удобно каждому эксперту предложить дать 3 оценки этого времени:

-оптимистическая оценка topt (нижняя граница для времени выполнения стадии – «раньше ни за что не успеть»)

-наиболее вероятное значение tmod (иначе,. модальное значение - «скорее всего работа будет выполнена за … дней»)

-пессимистическая оценка tpes (верхняя граница для времени выполнения

стадии – «дольше уж вряд ли затянем»)

Разумеется, хорошо, если по каждой стадии ответы дадут несколько независимых экспертов. Усреднение этих оценок существенно увеличит их надежность (см. Теоретическое введение к разделу «Выбор альтернатив в условиях неопределенности и риска»).

Для вычисления среднего значения длительности стадии ti и стандартного

отклонения si по этим данным, математики, входившие в группу специалистов,

разрабатывавших PERT, предложили простую и универсальную модель для распределения вероятностей длительности каждой стадии проекта.