1. Метод линейной оптимизации

Теоретические замечания.

Впервой части этого сборника рассмотрены примеры применения количественных моделей и методов, цель которых найти оптимальную стратегию управления (или, хотя бы рассчитать результат при выбранной стратегии управления) в условиях, когда все параметры и правила функционирования управляемой системы четко определены и не подвержены никаким случайным воздействиям.

Вреальной жизни вряд ли может существовать “полная определенность”. Однако, несмотря на то, что жизнь полна случайностей, сложна и неоднозначна, часто возникают ситуации, когда мы склонны игнорировать случайность. В некоторых ситуациях, случайные воздействия на интересующий нас процесс управления не учитываются потому, что они малы и несущественны. В других ситуациях, случайные факторы, которые могут оказать сильное и негативное влияние на нашу деятельность (поломки оборудования, катастрофы, социальные потрясения и т.п.), к счастью, происходят достаточно редко. Поэтому, если не считать мероприятий страхования от их последствий, мы также не склонны учитывать их в наших ежедневных планах.

Широко используемым методом в приведенных ниже примерах является метод линейной оптимизации. С помощью моделей линейной оптимизации рассматриваются задачи, целью которых является составление оптимальных планов. Речь может идти об оптимальных планах производства, продаж, закупок, перевозок, об оптимальном финансовом планировании, оптимальной организации рекламной кампании или об оптимальном плане инвестиционного портфеля фирмы. Планирование – это одна из основных функций менеджмента. Поэтому кейсы и задачи, посвященные линейной оптимизации – наиболее многочисленны

вэтом сборнике.

При постановке любой задачи оптимизации необходимо, прежде всего, определить количественную характеристику цели, которую мы хотим достичь в процессе оптимизации – целевую функцию. Это может быть максимум прибыли или минимум издержек (в денежном, временном или каком-либо другом выражении). Целевая функция показывает, почему одно рассматриваемое решение лучше или хуже другого.

Целевая функция зависит от величин, называемых переменными решения. Эти величины, мы должны изменять, разыскивая оптимальное решение. Цель оптимизации найти такие значения переменных решения, при которых целевая функция максимальна или минимальна.

Любая оптимизация всегда проводится при наличии некоторых ограничений – условий, ограничивающих изменения переменных решения при

поиске максимальной или минимальной целевой функции. Эти ограничения могут диктоваться

вторичными целями (например, минимизируя риск инвестиционного портфеля, мы одновременно хотим добиться ожидаемой прибыли не хуже заданной),

ограниченностью ресурсов, находящихся в нашем распоряжении (денежных, временных, материальных), а также

установленными «правилами игры» (рыночные ограничения, нормативные акты, лимитирующие ту или иную характеристику или любые требования субъекта, принимающего решения).

Линейное оптимизация имеет дело с моделями, в которых целевая функция

линейно зависит от переменных решения, и ограничения представляют собой

линейные уравнения или неравенства относительно переменных решения.

Фактически, это означает, что целевая функция и ограничения могут представлять собой только суммы произведений постоянных коэффициентов на переменные решения в первой степени, т.е. выражения типа

c1 x1 c2 x2 cn xn

Почему модели линейной оптимизации столь важны?

Это связано с тем, что очень много важных для практики проблем, относящихся к самым разным сферам деятельности, могут быть проанализированы с помощью моделей линейного программирования; существуют эффективные и универсальные алгоритмы решения задач линейной оптимизации, реализованные в общедоступном программном обеспечении; методы анализа моделей линейной оптимизации позволяют не просто получить оптимальное решение, но и дают информацию о том, как может изменяться это решение при изменении параметров модели. Именно эта информация, позволяющая получить ответы на вопросы типа “что - если”, представляет особую ценность для лица, принимающего решение.

Конечно, модели с нелинейными соотношениями между переменными

типа

так же могут быть важны для практики. Однако в отличие от моделей линейной оптимизации, не существует универсального алгоритма, который бы во всех случаях гарантированно приводил к искомому оптимуму.. Поэтому для проведения нелинейной оптимизации требуется уделить больше внимания деталям алгоритма и его реализации, чем обычно может уделить менеджер. Исключением является нелинейная оптимизация, в которой целевая функция имеет квадратичный характер. Пример оптимизации с такой функцией рассмотрен ниже С другой стороны, собственно концепция условной оптимизации, достаточно хорошо может быть проиллюстрирована на примерах линейной (и целочисленной) оптимизации.

Для решения задач линейной оптимизации можно использовать надстройку к программе электронных таблиц MS Excel, которая называется «Поиск решения». Это мы и будем делать всюду в настоящем сборнике.

При этом мы предполагаем, что читатель владеет основными навыками работы с электронными таблицами MS Excel:

умеет вводить и форматировать данные в ячейках листа электронной таблицы;

знает, чем отличаются формулы в MS Excel от алгебраических формул, и умеет их задавать и распространять (“протягивать”);

знает, что такое абсолютные и относительные адреса ячеек и как их правильно использовать при распространении формул;

знает о существовании мастера функций, и использовал некоторые функции MS Excel и т.п.

Разумеется, предполагается, что читатель владеет основными навыками работы в среде Windows и связанной с этим терминологией (окно, флажок, переключатель, выделение с помощью мыши, щелчок, назначение левой и правой кнопки мыши, контекстное меню и пр.).

Если у читателя есть пробелы в этой области, целесообразно до начала работы с данным пособием их ликвидировать, используя многочисленные руководства, обучающие программы и справочные системы Windows и MS Excel.

Как мы уже отметили, для первых разделов сборника (линейная оптимизация, транспортные задачи и задачи о назначениях), а также для отдельных примеров в других разделах, необходимо, чтобы конфигурация MS Excel включала надстройку «Поиск решения». Если эта надстройка установлена, то среди пунктов меню «Сервис», читатель найдет пункт «Поиск решения» (в английском варианте – Solver). Если такого пункта нет, следует открыть пункт меню «Сервис»\«Надстройки» (в английском варианте –Add-Ins) и в открывшемся списке найти и отметить «Поиск решения». После нажатия кнопки Ok (в случае, если программа нашла путь к дистрибутиву MS Office) и после нового вызова MS Excel, «Поиск решения» должен появиться среди пунктов меню «Сервис». Если в списке надстроек нет надстройки «Поиск решения», необходимо переустановить MS Office, отметив необходимые компоненты установки MS Excel.

Подробно о задачах линейной оптимизации, анализе устойчивости и связанных с ним понятий теневых цен, интервалов устойчивости, нормированной стоимости, целочисленных переменных и пр. читайте в учебном пособии [1].