Приемы решения задач

2.П-1. Дорстрой

С шести асфальтобетонных заводов должен вывозиться асфальт для строительства 5 участков автодорог области. Транспортные издержки при перевозках, разумеется, в общем различны (см. таблицу).

Транспортные издержки

Заказы дорожно-строительных бригад на завтра:

чего, очевидно, недостаточно.

Менеджер подрядной организации хочет минимизировать транспортные расходы для данных условий.

a.Каковы наименьшие транспортные издержки?

b.Сколько машин и на какие участки будет недопоставлено?

c.После составления плана менеджер получил указание, по причинам неэкономического характера, план поставок асфальта для участка А необходимо выполнить полностью. Каковы транспортные издержки нового плана? Сколько машин и на какие участки будет недопоставлено в этом случае?

d.При утверждении нового плана у руководства, выяснилось, что из-за аварийного состояния моста перевозка асфальта с АБЗ 21 на участок Е по прямому маршруту невозможна. Объездной маршрут увеличивает стоимость рейса на 300 рублей. Насколько при этом возрастут транспортные расходы? Что выгоднее, оставить почти утвержденный план, несмотря на увеличении издержек, или составить новый план с учетом сложившейся ситуации?

e.Есть ли у задачи альтернативные решения?

Решение задачи.

В данном случае перед нами простая транспортная задача. Правда, дополнительные вопросы могут оказаться не такими уж простыми, но, в любом случае, задачу следует сначала решить в основной постановке.

Как обычно, сначала проверяем, сбалансирована ли задача, так как дисбаланс сразу нужно будет учесть при правильной организации данных на листе Excel. Общее количество машин асфальта, которые можно вывезти с заводов – 287 штук. Общий заказ дорожно-строительных бригад – 317 машин. Действительно, как и сказано в тексте задачи имеется дисбаланс заказов и запасов. Размер дисбаланса – 30 машин.

Для того, чтобы сбалансировать задачу нужно добавить недостающего поставщика асфальта мощностью в 30 машин в день. Учтем это при построении таблицы (Рис. 65).

Рис. 65

В данном случае фиктивный поставщик асфальта носит гордое имя АБЗ X. Как обычно, мы считаем все перевозки от фиктивного поставщика бесплатными.

Так как стоимость перевозок от отдельных поставщиков нас не интересует, мы рассчитываем сразу суммарную стоимость перевозок, перемножая таблицу перевозок B12:F18 на таблицу цен B2:F8 с помощью функции =СУММПРОИЗВ( ). Суммарная стоимость всех перевозок и есть целевая функция задачи (ячейка G9).

Стандартные условия транспортной задачи - должно быть доставлено ровно столько, сколько заказано, и должно быть вывезено все, что предложено – могут быть заданы с помощью записанных в строке B19:F19 и столбце G12:G18 выражений.

Вызываем надстройку Поиск решения и ставим задачу. Целевая ячейка – G9, цель – минимум издержек. Изменяемые ячейки – таблица перевозок B12:F18. Параметры решения – линейная модель и неотрицательные значения переменных. Ограничения - B19:F19=0 и G12:G18=0. Жмем кнопку Выполнить и получаем, если вы нигде не ошиблись, сообщение, что решение найдено (Рис. 66).

Рис. 66

Напоминаем, что числа вида 2.1E-09 - это малые десятичные дроби в научной форме записи. Надстройка Поиск решения, при заданной точности решения, не отличает их от нуля. Не будем придираться и мы, так как в остальном решение нас устраивает. План составлен, общие издержки – 251 950 руб. – минимальные из всех возможных при выполнении заказов бригад.

Как мы можем видеть, не повезло только бригаде, работающей на участке А. Все недопоставленные машины пришлись на их долю (перевозки от поставщика АБЗ Х).

Если мы хотим угодить некоему, оставшемуся неназванным лицу, и выполнить заказ участка А полностью, нужно как-то изменить таблицу цен. Дополнительные ограничения в задание для Поиска решения добавлять нежелательно, так как мы выйдем за рамки собственно транспортной задачи, чего без веских оснований делать не следует.

До сих пор мы не задавали в ценах перевозок от фиктивного поставщика разных цен. Но делали мы это именно потому, что хотели поставить всех клиентов в равные условия, по отношению к такому фиктивному поставщику. А что, если условия не равные? В таком случае мы можем поставить в качестве цены перевозки от АБЗ Х на участок А какое-нибудь большое число, которое фактически запретит данную перевозку для Поиска решения.

Ставим цену 10 тыс. за машину и вновь ищем решение (Рис. 67).

Рис. 67

Теперь вся недопоставка пришлась на долю участка С. Общая цена вопроса 10.5 тыс. рублей – именно на столько возросли издержки перевозок после волевого решения выполнить план поставок на участок А.

Для ответа на вопрос d сначала изменим цену перевозки от АБЗ 21 на участок Е на 300 рублей и позволим Excel пересчитать текущие издержки. Получаем общие издержки в 282 550 рублей, что выше, чем в последнем плане перевозок на 20 100 руб. Это не удивительно, так как в соответствии с планом перевозок мы везли по этому маршруту 67 машин асфальта.

Попробуем оптимизировать план перевозок, для этого еще раз запустим

Поиск решения.

Рис. 68