- •Краткое содержание
- •Полный список примеров, задач и кейсов
- •Предисловие
- •Благодарности
- •Оптимизация в условиях полной определенности
- •1. Метод линейной оптимизации
- •Теоретические замечания.
- •Приемы решения задач
- •1.П-1. Фирма «Фасад»
- •Решение задачи.
- •1.П-2. Компания “Черные каски”
- •Решение задачи.
- •1.П-3. Сталепрокатный завод
- •Решение задачи.
- •1.П-4. На кондитерской фабрике. (Кейс)
- •Анализ Действия 1-го.
- •Действие 2-е. Жаль…, ведь мы все так любим «Батончик»!
- •Анализ Действия 2-го.
- •Дейчтвие 3-е. Проблема учета постоянных издержек
- •Анализ Действия 3-его.
- •1.П-5. Оптимизация производства на заводе «Прогресс» (Кейс)
- •Действие 1-е. Оптимальный план.
- •Первый шаг анализа
- •Второй шаг анализа (Предложение добросовестного рабочего)
- •Четвертый шаг анализа
- •Пятый шаг анализа
- •Анализ Действия 1-го.
- •1.П-6. Аренда с предоплатой
- •Решение задачи.
- •1.П-7. Большой портфель
- •Решение задачи.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.1. Планирование производства
- •1.1. Три магнитофона
- •1.2. Ферма
- •1.3. Мебельная фабрика
- •1.4. Смешивание соков
- •1.5. Пять типов продукции
- •1.6. Корпорация «Тополь»
- •1.8. Выпуск процессоров
- •1.9. Предприятие в Энске
- •1.10. Электронные переключатели
- •1.11. Фермер Билл Петрушкин
- •1.13. Предприятие «Высокий октан»
- •1.14. Корпорация «Ветер»
- •1.15. Компания «Подмосковная электроника»
- •1.16. Компания «Пауэр Кулинг»
- •1.17. Добыча руды в компании “Седьмой круг”
- •1.18. Детские велосипеды
- •1.19. Горнопромышленная компания “Белые каски”
- •1.20. Предприятие Танти Мару
- •1.21. Очистка нефти
- •1.23. План ремонта станков
- •1.25. Бакалейная лавка
- •1.26. Сухофрукты
- •1.27. Джинсовая одежда
- •1.28. Сэндвичи Жаннет
- •1.29. Компания «Корвет»
- •1.30. Фильм! Фильм! Фильм!!!
- •1.31. Предприятие «Маяк»
- •1.32. Англия, Франция и Испания
- •1.2. Планы закупок
- •1.33. Том, Дик и Джерри
- •1.35. Универсальный магазин
- •1.36. Торговая фирма «Одежда не для всех»
- •1.37. Торговая фирма «Одежда для всех»
- •1.38. Оптовая торговля замороженными овощами
- •1.3. Реклама и маркетинг
- •1.40. Рекламная компания
- •1.41. Эластичность спроса
- •1.42. Фирма «JL»
- •1.43. Корпорация «Фарма Лаб» (бизнес-кейс)
- •1.45. Индекс цен на молочные продукты
- •1.4. Оптимальный состав
- •1.46. Собачья еда
- •1.47. Свиноферма
- •1.48. Фармацевтическая компания
- •1.49. Пять предприятий
- •1.51. Школьные обеды
- •1.5. Финансы
- •1.53. Банк и 6 проектов
- •1.54. Комитет планирования
- •1.55. Инвестиционный бюджет
- •1.56. Консервативный инвестор
- •1.57. Портфель инвестиций
- •1.58. Дистрибьюторская компьютерная фирма
- •1.59. Инвестор и 5 проектов
- •1.60. Частный инвестор
- •1.61. Сара Вильямс
- •1.62. Оценка прибыльности цеха бухгалтерией
- •1.63. Аренда с ежемесячными выплатами
- •1.64. Сертификаты
- •1.65. Компания «СуперИнвест»
- •1.66. Планирование финансового потока
- •1.6. Расписания и графики выполнения заказов на производстве
- •Приемы решения задач
- •1.П-8. Банк «Простор»
- •Решение задачи.
- •1.П-9. Последовательность выполнения заказов
- •Решение задачи.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.68. “Ясный перец”
- •1.71. Электроэнергия
- •1.72. Последовательность обработки деталей на двух станках
- •1.73. Последовательность обработки деталей на трех станках
- •2. Транспортные задачи и логистика; задачи о назначениях и отборе.
- •Теоретические замечания.
- •Транспортная задача
- •Несбалансированность в транспортной задаче
- •Задача о назначениях
- •Задачи оптимизации логистики и цепочек поставок.
- •Приемы решения задач
- •2.П-1. Дорстрой
- •Решение задачи.
- •2.П-2. Поставки двух видов продуктов
- •Решение задачи.
- •2.П-3. Компью-Нет
- •Решение задачи.
- •2.П-4. Распределение аудиторов по фирмам
- •Решение задачи.
- •2.П-5. Заводы ЖБИ
- •Решение задачи.
- •2.П-6. Две бригады
- •Решение задачи.
- •2.П-7. Отделочный камень для коттеджей (Кейс)
- •Анализ кейса.
- •2.П-8. Цепочка поставок компании «НАЦПРОДУКТ» (Кейс)
- •Действие 1-е: Постановка задач оптимизации.
- •Анализ действия 1 кейса.
- •Определение оптимального плана закупок
- •Определение оптимального плана перевозок
- •Действие 2-е: Оптимизация и здравый смысл.
- •Анализ действия 2 кейса.
- •Действие 3-e: Интегрированный план для цепочки поставок
- •Анализ действия 3 кейса.
- •2.П-9. Фирма «Хороший хозяин»
- •Решение задачи.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.1. Логистика
- •2.1. Транспортный отдел
- •2.2. Транспортные издержки
- •2.3. Поставки со складов
- •2.4. Дефицит товара
- •2.5. Дорожное строительство
- •2.6. Подготовка к отопительному сезону
- •2.7. Перевозка контейнеров
- •2.9. Поставки
- •2.10. Ремонт автодорог
- •2.11. Слишком много поставщиков
- •2.12. Производственные площадки компании «Воздух»
- •2.13. Перевозки двух продуктов
- •2.14. Перевозки трех продуктов
- •2.15. Многопродуктовая задача
- •2.16. Транспортировка через промежуточные склады
- •2.17. Два завода
- •2.18. Грузовой самолет
- •2.22. Школьные перевозки
- •2.23. Два груза разных объемов
- •2.24. Поставки отопительного оборудования
- •2.25. Воздушные перевозки.
- •2.26. Рейс машины инкассатора
- •2.2. Оптимальные назначения и отбор
- •2.27. 7 команд
- •2.28. 8 команд с проблемой
- •2.29. 9 команд
- •2.30. Олимпийские игры
- •2.31. Назначение слесарей
- •2.32. Отбор специалистов и составление команд
- •2.33. Выбор мест для складов
- •2.34. Распределение оптовиков
- •2.35. Назначение центров снабжения
- •2.36. Склады для компании «Чистые материалы»
- •2.37. Отбор и расстановка рабочих
- •2.38. Дефицит рабочих
- •2.39. Запасная бригада
- •2.40. На стройках МТС
- •2.41. Назначение бригад ремонтников
- •2.43. Проблема мастера
- •2.44. Закупки для компании «Южный производитель»
- •3. Планирование и анализ проектов
- •Теоретические замечания.
- •Приемы решения задач.
- •3.П-1. Обеспечение заданных сроков за счет сверхурочных
- •Решение задачи.
- •3.П-2. Предел еженедельного финансирования проекта.
- •Решение задачи.
- •3.П-3. Проект Омикрон
- •Решение задачи.
- •3.П-4. Научно-просветительский центр планирования семьи в Нигерии.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.1. Строительный проект
- •3.2. Новый ресторан МакЛуммокс
- •3.3. Консалтинговый проект для «Чайна ОллПродакт».
- •3.4. Срыв сроков начала работ субподрядчиком.
- •3.5. Автомобиль 007
- •3.6. Строительство торгового центра
- •3.7. Проект компании МегаШоп
- •3.9. Петров и партнеры
- •3.11. Мир женщин
- •3.12. Журнал Червонный Гудок
- •3.13. Проект корпорации «SHARON CONSTRUCTION»
- •4. Оптимальное управление запасами
- •Принятые обозначения и необходимые формулы
- •Теоретические замечания.
- •[S] – денежная единица/на один заказ.
- •Модель экономичного размера заказа
- •Основные допущения и параметры модели
- •Оптимальная частота заказа для группы товаров.
- •Модель производства оптимальной партии продукции
- •Ограничения модели экономичного размера заказа (партии продукции) и возможность их преодоления.
- •Приемы решения задач.
- •4.П-1. Выбор поставщика
- •Решение задачи.
- •4.П-2. Строительная фирма
- •Решение задачи.
- •4.П-3. Лов рыбы
- •Решение задачи.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.1. Выгодное предложение
- •4.2. Гостиница
- •4.3. Чековая лента
- •4.4. Военный госпиталь
- •4.5. Закупки в компании Стоик
- •4.7. Горный автомобиль
- •4.8. Сибирские моторы
- •4.11. Совхоз Чапаевец
- •4.13. Крыша
- •4.14. Предприятие АСЗ
- •4.15. Сеть магазинов «Деловой костюм»
- •5. Комплексное и многопериодное планирование
- •Приемы решения задач.
- •5.П-1. Агрегатный план производственного отдела компании «Вал» (Кейс)
- •Анализ кейса
- •Стратегия 1: Найм и увольнение.
- •Стратегия 2: Сверхурочные и частичная занятость.
- •Стратегия 3: Использование склада.
- •Оптимальная смесь стратегий.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5.1. План для MemoBlink
- •5.3. Ферма Бэрримора
- •5.4. Горные лыжи
- •5.6. Компания АгроМашЗавод
- •5.7. Компания «Лем и сыновья»
- •5.8. График доставки
- •Методы принятия решений в условиях неопределенности и риска
- •Принятые обозначения и необходимые формулы
- •Теоретические замечания
- •Постановка задачи о количественной оценке риска возникновения дефицита и плате за его снижение до заданного уровня.
- •Основные характеристики случайного спроса.
- •Частотное распределение случайного спроса.
- •Нормальное распределение вероятностей.
- •Оценка риска возникновения дефицита по нормальному распределению.
- •Риск возникновения дефицита и уровень обслуживания.
- •Модель фиксированного периода между заказами.
- •Замечание о случайных вариациях времени поставки.
- •Однопериодная модель заказа.
- •Замечание об экономически обоснованном риске дефицита в модели фиксированного размера заказа.
- •Приемы решения задач
- •6.П-1. Магазин сантехники
- •Решение задачи.
- •6.П-2. Оптовые продажи хозтоваров
- •Решение задачи.
- •6.П-3. Новый Электрон
- •Решение задачи.
- •6.П-4. Свежая пресса
- •Решение задачи.
- •6.П-5. Банк «Белый Тигр»
- •Решение задачи.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6.1. Бесконечный горизонт планирования – фиксированный запас
- •6.1. Отель
- •6.2. Офис крупной компании
- •6.3. Сэм управляет запасами
- •6.4. Мастерская
- •6.5. Стадион
- •6.6. “Биг-лайн”
- •6.7. Женский роман
- •6.8. Магазин «Кандела»
- •6.9. Местная станция обслуживания
- •6.10. Грубый Готлиб
- •6.11. Чехлы
- •6.12. Автосервис
- •6.13. Торговля пиломатериалами
- •6.14. Магазин сантехники
- •6.15. Выбор стратегии
- •6.16. Закупка сырья
- •6.17. Магазин «Хозтовары»
- •6.18. Сигнализация
- •6.19. Кухонные гарнитуры
- •6.20. Фармацевтическая компания
- •6.21. Батарейки
- •6.22. Магазин инструментов
- •6.23. Автомобильная секция
- •6.24. Системы водоснабжения
- •6.2. Бесконечный горизонт планирования – фиксированный период
- •6.26. «Пицца-Хат»
- •6.27. Универсальный магазин
- •6.28. Магазин «Свет»
- •6.29. Гамма Гидры
- •6.30. Универмаг «Приреченский»
- •6.31. Секция универсального магазина
- •6.32. Криминальное чтиво
- •6.33. Мини-Маркет
- •6.3. Однопериодная модель
- •6.35. Футболки
- •6.37. Мясной отдел
- •6.38. Компания «Маски»
- •6.40. Киоск
- •6.41. Расторопный Дмитрий
- •6.42. Бронирование контейнеров
- •6.43. Супермаркет и компания «Хозяюшка»
- •6.44. Отделение банка
- •6.45. Университет
- •6.46. Финансирование проекта
- •7. Выбор альтернатив.
- •Основные формулы теории вероятностей
- •Теоретические замечания.
- •Таблица выигрышей и потерь.
- •Принятие решений в условиях полной неопределенности
- •Принятие решений в условиях риска.
- •Стоимость совершенной информации.
- •Анализ устойчивости выбора оптимальной альтернативы для компании «Энергия палеолита».
- •Дерево альтернатив
- •Анализ устойчивости выбора оптимальной альтернативы по дереву альтернатив для компании «Вольный полет».
- •Переоценка вероятностей сценариев будущего в свете дополнительной информации. Стоимость несовершенной информации.
- •Приемы решения задач
- •7.П-1. Производитель снегоходов
- •Решение задачи.
- •7.П-2. Дефектные комплектующие
- •Решение задачи.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Простые сценарии развития событий
- •7.1. Производитель аэросаней
- •7.2. Оптовый склад хозяйственных товаров
- •7.3. Электротермометры
- •7.4. Хоз-маркет
- •7.5. Обувной отдел
- •7.6. Зеленщица
- •7.7. Маленькая кондитерская
- •7.8. Тракторы и СХ Орудия Барни
- •7.9. Переменный спрос
- •7.10. Супермаски
- •7.11. Компьютерная школа
- •7.12. Оптовая база
- •7.13. Елки-палки
- •7.14. Подготовка к зиме
- •7.15. Центр Компьютерного Тренинга
- •7.16. Производственная линия
- •7.17. Кредит
- •7.18. Две стратегии
- •7.19. Новый магазин
- •7.20. Турфирма «Улет»
- •7.21. Курортное местечко
- •Анализ цепочек событий
- •7.24. Парфюмерная компания
- •7.25. Производство ЭЛТ
- •7.27. Биохимическая лаборатория
- •7.30. Компания "Обуем всех"
- •7.31. Консалтинговая служба
- •7.32. Семейная инвестиционная проблема (бизнес-кейс)
- •7.33. Пекарня
- •7.34. Новый бизнес
- •7.36. Ипотечный фонд
- •7.37. Дворец-строй
- •7.38. Большая нефть
- •7.39. ОбувьСити
- •7.40. Золотой рудник
- •7.41. Риэлторская фирма г. Сидорова
- •8. Управление проектами с учетом случайных вариаций времени выполнения стадий
- •Теоретические замечания.
- •Приемы решения задач.
- •8.П-1. Проект «Снеси-Построй»
- •Задачи для самостоятельного решения
- •8.1. Простой проект
- •8.2. Проект рекрутинговой компании
- •8.3. Полная релаксация
- •9. Оценка эффективности систем массового обслуживания и их оптимизация
- •Теоретическое введение.
- •Коммунальные платежи в отделении сбербанка.
- •Пуассоновский поток заявок.
- •Усредненные характеристики работы системы массового обслуживания.
- •Классификация систем массового обслуживания
- •Расчеты характеристик СМО с помощью теории очередей.
- •Приемы решения задач.
- •9.П-1. Банкоматы
- •Решение задачи.
- •9.П-2. Кафе в парке отдыха
- •Решение задачи.
- •9.П-3. Такси по телефону
- •Решение задачи.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •9.1. Телефонная система заказа билетов
- •9.2. Таможенный пункт
- •9.3. Большой цех
- •9.4. Приемная
- •9.5. Ресторан «Ешь вволю»
- •9.6. Торговля по каталогам
- •9.7. Таможенный досмотр
- •9.8. Бармен
- •9.9. Стоматологическая поликлиника (бизнес-кейс)
- •9.10. Парикмахерская
- •9.11. Бери и кати
- •9.12. Трасса Е95
- •9.13. Лодочная станция
- •9.14. Погрузка кирпича.
- •9.15. Бар «Аэродром»
- •9.16. Парк аттракционов
- •9.17. Офис
- •9.18. Аттракционы в парке отдыха
- •9.19. Колониальные товары
- •9.20. Мир цветов
- •9.21. Магазин сети «Шамбала»
- •9.22. Кафе «Золотая форель»
- •9.23. Серфинг
- •9.24. Радио-такси
- •9.26. Станки-автоматы
- •9.27. Полиграфическая компания
- •9.28. Кофе для преподавателя
- •9.29. Прядильная мастерская
- •9.30. Тамагочи
- •9.32. Полный порядок
- •9.33. Виртуальный друг
- •9.34. Завод научного приборостроения
- •9.35. Вязальные станки
- •Ответы к задачам
- •Оптимизация в условиях полной определенности
- •Метод линейной оптимизации.
- •1.2 Ферма
- •1.3 Мебельная фабрика
- •1.4 Смешивание соков
- •1.5 Пять типов продукции
- •1.6 Корпорация «Тополь»
- •1.9 Предприятие в Энске.
- •1.11 Фермер Билл Петрушкин
- •1.13 Предприятие «Высокий октан»
- •1.14 Корпорация «Ветер»
- •1.15 Компания «Подмосковная электроника»
- •1.16 Компания «Подмосковная электроника»
- •1.17 Добыча руды в компании “Седьмой круг”
- •1.18 Детские велосипеды
- •1.19 Горнопромышленная компания “Белые каски”
- •1.20 Предприятие Танти Мару
- •1.21 Очистка нефти
- •1.22 Производство минеральных плит
- •1.23 План ремонта станков
- •1.25 Бакалейная лавка
- •1.26 Сухофрукты
- •1.27 Джинсовая одежда
- •1.28 Сэндвичи Жаннет
- •1.29 Компания «Корвет»
- •1.30 Фильм! Фильм! Фильм!!!
- •1.31 Предприятие «Маяк»
- •1.32 Англия, Франция и Испания
- •1.33 Том, Дик и Джерри
- •1.34 Поставки химического сырья
- •1.36 Торговая фирма «Одежда не для всех»
- •1.38 Оптовая торговля замороженными овощами
- •1.39 Корпорация «Природный газ»
- •1.40 Рекламная компания
- •1.41 Эластичность спроса
- •1.42 Фирма «JL»
- •1.45 Индекс цен на молочные продукты
- •1.46 Собачья еда
- •1.47 Свиноферма
- •1.48 Фармацевтическая компания
- •1.51 Школьные обеды
- •1.53 Банк и 6 проект
- •1.56 Консервативный инвестор
- •1.58 Дистрибьюторская компьютерная фирма
- •1.60 Частный инвестор
- •1.61 Сара Вильямс
- •1.62 Оценка прибыльности цеха бухгалтерией
- •1.63 Аренда с ежемесячными выплатами
- •1.64 Сертификаты
- •1.65 Компания «СуперИнвест»
- •1.67 «Дом-строй»
- •1.68 “Ясный перец”
- •1.71 Электроэнергия
- •1.72 Последовательность обработки деталей на двух станках
- •1.73 Последовательность обработки деталей на трех станках
- •Транспортные задачи и логистика; задачи о назначениях и отборе
- •2.1 Транспортный отдел
- •2.2 Транспортные издержки
- •2.3 Поставки со складов
- •2.4 Дефицит товара
- •2.5 Дорожное строительство
- •2.6 Подготовка к отопительному сезону
- •2.7 Перевозка контейнеров
- •2.9 Поставки
- •2.10 Ремонт автодорог
- •2.11 Слишком много поставщиков
- •2.12 Производственные площадки компании «Воздух»
- •2.13 Перевозки двух продуктов
- •2.14 Перевозки трех продуктов
- •2.15 Многопродуктовая задача
- •2.16 Транспортировка через промежуточные склады
- •2.17 Два завода
- •2.22 Школьные перевозки
- •2.23 Два груза разных объемов
- •2.24 Поставки отопительного оборудования
- •2.25 Воздушные перевозки.
- •2.26 Рейс машины инкассатора
- •2.27 7 команд
- •2.28 8 команд с проблемой
- •2.29 9 команд
- •2.30 Олимпийские игры
- •2.31 Назначение слесарей
- •2.32 Отбор специалистов и составление команд
- •2.33 1:1:2:7: Выбор мест для складов
- •2.34 Распределение оптовиков
- •2.35 Назначение центров снабжения
- •2.36 Склады для компании «Чистые материалы»
- •2.37 Отбор и расстановка рабочих
- •2.38 Дефицит рабочих
- •2.39 1:2:2:13. Запасная бригада
- •2.40 На стройках МТС
- •2.41 Назначение бригад ремонтников
- •2.43 Проблема мастера
- •2.44 Закупки для компании «Южный производитель»
- •Планирование и анализ проектов
- •3.1 Строительный проект
- •3.2 Новый ресторан МакЛуммокс
- •3.3 Консалтинговый проект для «Чайна ОллПродакт».
- •3.4 Срыв сроков начала работ субподрядчиком.
- •3.5 Автомобиль 007
- •3.6 Строительство торгового центра
- •3.7 Строительство торгового центра
- •3.9 Петров и партнеры
- •3.11 Мир женщин
- •3.12 Журнал Червонный Гудок
- •3.13 Проект корпорации «SHARON CONSTRUCTION»
- •Оптимальное управление запасами
- •4.2 Гостиница
- •4.3 Чековая лента
- •4.5 Закупки в компании Стоик
- •4.7 Горный автомобиль
- •4.8 Сибирские моторы
- •4.10 ЖК-панели
- •4.11 Совхоз Чапаевец
- •4.13 Крыша
- •4.14 Предприятие АСЗ
- •4.15 Сеть магазинов «Деловой костюм»
- •Комплексное и многопериодное планирование
- •5.1 План для MemoBlink
- •5.3 Ферма Бэрримора
- •5.4 Горные лыжи
- •5.5 Компания Красный молот
- •5.6 Компания АгроМашЗавод
- •5.7 Компания «Лем и сыновья»
- •5.8 График доставки
- •Методы принятия решений в условиях неопределенности и риска
- •Оптимальное управление запасами с учетом случайных вариаций спроса
- •6.1 Отель
- •6.2 Офис крупной компании
- •6.3 Сэм управляет запасами
- •6.4 Мастерская
- •6.5 Стадион
- •6.6 “Биг-лайн”
- •6.7 Женский роман
- •6.8 Магазин «Кандела»
- •6.9 Местная станция обслуживания
- •6.10 Грубый Готлиб
- •6.11 Чехлы
- •6.12 Автосервис
- •6.13 Торговля пиломатериалами
- •6.14 Магазин сантехники
- •6.15 Выбор стратегии
- •6.16 Закупка сырья
- •6.17 Магазин «Хозтовары»
- •6.18 Сигнализация
- •6.19 Кухонные гарнитуры
- •6.20 Фармацевтическая компания
- •6.21 Батарейки
- •6.22 Магазин инструментов
- •6.23 Автомобильная секция
- •6.24 Системы водоснабжения
- •6.26 «Пицца-Хат»
- •6.27 Универсальный магазин
- •6.28 Магазин «Свет»
- •6.29 Гамма Гидры
- •6.30 Универмаг «Приреченский»
- •6.31 Секция универсального магазина
- •6.32 Криминальное чтиво
- •6.33 Мини-Маркет
- •6.35 Футболки
- •6.37 Мясной отдел
- •6.38 Компания «Маски»
- •6.39 Шубы
- •6.40 Киоск
- •6.41 Расторопный Дмитрий
- •6.42 Бронирование контейнеров
- •6.43 Супермаркет и компания «Хозяюшка»
- •6.44 Отделение банка
- •6.45 Университет
- •6.46 Финансирование проекта
- •Выбор альтернатив
- •7.1 Производитель аэросаней
- •7.2 Оптовый склад хозяйственных товаров
- •7.3 Электротермометры
- •7.4 Хоз-маркет
- •7.5 Обувной отдел
- •7.6 Зеленщица
- •7.7 Маленькая кондитерская
- •7.8 Тракторы и СХ Орудия Барни
- •7.9 Переменный спрос
- •7.10 Супермаски
- •7.11 Компьютерная школа
- •7.12 Оптовая база
- •7.13 Елки-палки
- •7.14 Подготовка к зиме
- •7.15 Центр Компьютерного Тренинга
- •7.16 Производственная линия
- •7.17 Кредит
- •7.18 Две стратегии
- •7.19 Новый магазин
- •7.20 Турфирма «Улет»
- •7.21 Курортное местечко
- •7.24 Парфюмерная компания
- •7.25 Производство ЭЛТ
- •7.26 Пробка
- •7.27 Биохимическая лаборатория
- •7.28 Повышение квалификации
- •7.30 Компания "Обуем всех"
- •7.31 Консалтинговая служба
- •7.32 Семейная инвестиционная проблема
- •7.33 Пекарня
- •7.34 Новый бизнес
- •7.36 Ипотечный фонд
- •7.37 Дворец-строй
- •7.38 Большая нефть
- •7.39 ОбувьСити
- •7.40 Золотой рудник
- •7.41 Риэлторская фирма г. Сидорова
- •7.42 Покупка магазина
- •Управление проектами с учетом случайных вариаций времени выполнения стадий
- •8.1 Простой проект
- •8.2 Проект рекрутинговой компании
- •8.3 Полная релаксация
- •Оценка эффективности систем массового обслуживания и их оптимизация
- •9.1 Телефонная система заказа билетов
- •9.2 Таможенный пункт
- •9.3 Большой цех
- •9.4 Приемная
- •9.5 Ресторан «Ешь вволю»
- •9.6 Торговля по каталогам
- •9.7 Таможенный досмотр
- •9.8 Бармен
- •9.9 Стоматологическая поликлиника
- •9.10 Парикмахерская
- •9.11 Бери и кати
- •9.12 Трасса Е95
- •9.13 Лодочная станция
- •9.14 Погрузка кирпича.
- •9.15 Бар «Аэродром»
- •9.16 Парк аттракционов
- •9.17 Офис
- •9.18 Аттракционы в парке отдыха
- •9.19 Колониальные товары
- •9.20 Мир цветов
- •9.21 Магазин сети «Шамбала»
- •9.22 Кафе «Золотая форель»
- •9.23 Серфинг
- •9.24 Радио-такси
- •9.26 Станки-автоматы
- •9.27 Полиграфическая компания
- •9.28 Кофе для преподавателя
- •9.29 Прядильная мастерская
- •9.30 Тамагочи
- •9.32 Полный порядок
- •9.33 Виртуальный друг
- •9.34 Завод научного приборостроения
- •9.35 Вязальные станки
- •Глоссарий
Зайцев М.Г., Варюхин С.Е. |
79 |
1.П-7. Большой портфель
Некий бизнесмен, удалясь от дел, решает вложить часть своих накоплений в размере $1 млн. в акции известных компаний. Его помощник собрал данные о доходности 15 компаний за последние 11 лет. Эти данные приведены в таблице.
Компания |
|
|
|
Доход по акциям компании, % |
|
|
|
|||||
‘90 |
‘91 |
‘92 |
‘93 |
‘94 |
‘95 |
‘96 |
‘97 |
|
‘98 |
‘99 |
‘00 |
|
APPLE |
13 |
36 |
13 |
-46 |
15 |
4 |
-33 |
-29 |
|
92 |
202 |
-67 |
BOEING |
10 |
0 |
-22 |
8 |
19 |
63 |
33 |
11 |
|
-25 |
4 |
61 |
BP AMOCO |
20 |
-12 |
-28 |
40 |
35 |
30 |
46 |
23 |
|
14 |
40 |
-22 |
DEBEERS |
-1 |
68 |
-59 |
64 |
11 |
33 |
9 |
-29 |
|
-26 |
83 |
2 |
DOW CHEM |
-24 |
14 |
15 |
13 |
13 |
16 |
22 |
22 |
|
0 |
30 |
-15 |
DU PONT |
1 |
30 |
12 |
1 |
14 |
32 |
46 |
31 |
|
-4 |
6 |
-27 |
EXXON |
8 |
16 |
1 |
5 |
-4 |
28 |
22 |
29 |
|
23 |
7 |
14 |
FIAT |
-39 |
-16 |
-23 |
24 |
62 |
-17 |
-5 |
16 |
|
4 |
-8 |
-10 |
FORD |
-36 |
-11 |
75 |
47 |
-14 |
7 |
13 |
36 |
|
31 |
-13 |
-15 |
GE |
-12 |
21 |
25 |
20 |
-7 |
50 |
50 |
43 |
|
23 |
48 |
14 |
G. MOTORS |
-7 |
-11 |
9 |
68 |
-28 |
35 |
21 |
10 |
|
27 |
25 |
-28 |
INTEL |
-3 |
11 |
74 |
72 |
0 |
95 |
108 |
28 |
|
41 |
33 |
-10 |
LOCKHEED |
-21 |
45 |
17 |
35 |
-2 |
76 |
22 |
8 |
|
9 |
-62 |
56 |
MICROSOFT |
58 |
106 |
38 |
-12 |
54 |
38 |
83 |
82 |
|
80 |
44 |
-39 |
PEPSICO |
34 |
18 |
33 |
-2 |
-12 |
57 |
9 |
26 |
|
9 |
-16 |
23 |
Бизнесмен желает обеспечить доход не менее 18% в год при наименьшем риске. Он слышал, что портфель с наименьшим риском следует формировать по методу Марковица.
Суть этого подхода состоит в том, что дисперсия доходности (т.е. риск) портфеля из двух, например, видов акций, может быть меньше, чем дисперсия любой из этих акций, в случае, когда доходность по акциям меняется в противофазе. Т.е. в то время, когда доходность по одной из акций падает, по другой она обычно растет. Это видно из стандартной формулы для расчета
дисперсии суммы двух случайных величин. Если в первую акцию (дисперсия 12)
вложено p % денег, а во вторую (дисперсия 22) q % денег, то дисперсию портфеля можно рассчитать по формуле:
2 портфеля p 2 12 q2 2 2 2 12 p 1q 2
В этой формуле через 12 обозначен коэффициент корреляции между доходностями двух акций. Дисперсия такого пакета будет меньше наименьшей из двух акций, если только коэффициент корреляции не слишком близок к единице и если распределение средств по акциям не слишком ассиметрично. Разумеется, наиболее сильно дисперсия уменьшается, если коэффициент корреляции отрицателен. Увеличение числа акций в пакете снижает его дисперсию еще больше. Этот эффект известен в финансах как диверсификация портфеля.
N N
Для N видов акций эта формула имеет вид Dпортфеля xi xjCov(Ri , Rj ) ,
i 1 j 1
где Cov(Ri ,Rj ) - ковариации доходности для всех пар видов акций, а xi – доли капитала, вложенные в каждый вид акций.
a.Постройте таблицу Excel, позволяющую рассчитать риск портфеля и его средний доход. Для расчета взаимных и собственных дисперсий различных акций используйте функцию Excel =КОВАР( ).
b.Каковы риск (корень из дисперсии портфеля) и ожидаемый доход при вложении одинаковой суммы во все акции?
c.Сформулируйте на основе построенной таблицы задачу для Поиска решения (она получится квадратичной по переменным) и найдите портфель с минимальным риском, дающий не менее 18% дохода.
d.Каков будет доход портфеля, если добиваться наименьшего возможного риска? Как возрастет риск, если потребовать не менее 25% дохода?
Решение задачи.
.
Из пояснений к методу Марковица в тексте задачи следует, что задача, вообще говоря, не является задачей линейной оптимизации. И все же характер нелинейности уравнений таков, что имеется достаточно эффективная методика решения систем подобных уравнений со многими неизвестными. В стандартной надстройке Поиск решения, поставляемой с MS Excel, для решения этой задачи следует отказаться от линейной модели и решать нелинейную задачу. При этом, судя по всему, Поиск решения сам опознает вид нелинейности и достаточно эффективно решает задачу.
Разумеется, в реальных условиях имело бы смысл выбирать не из десятка видов акций, а из тысяч, по крайней мере. И в этом случае стандартная надстройка к Excel не смогла бы помочь, так как допускает использование не более 200 переменных. Однако, кроме стандартного Поиска решения существует продвинутая программа под названием Premium Solver. Эту программу, также оформленную как надстройка к Excel с очень похожим интерфейсом, можно найти на сайте компании-создателя этого инструмента FrontLine System www.solver.com. Собственно, стандартная надстройка к Excel лицензирована компанией Майкрософт у этой же компании. Надстройку Premium Solver можно скачать бесплатно и пользоваться ею в течение двухнедельного пробного срока.
Главный модуль надстройки позволяет решать задачи с тысячами переменных и ограничений. Кроме этого, в коммерческой версии Поиска решения используется более совершенный алгоритм решения задач. Задачи, квадратичные по переменным, решаются одним модулем с задачами линейной оптимизации (Standard LP/Quadratic), в то время как все остальные нелинейные задачи решаются с помощью другого модуля - GRG Nonlinear Solver - менее эффективными по скорости и результатам методами.
Для решения задачи введем на страницу MS Excel заданную таблицу доходностей по годам (Рис. 53). Для удобства дальнейшей работы исходная таблица повернута (транспонирована). В строке B14:P14 с помощью функции Excel =СРЗНАЧ( ) сосчитана средняя доходность каждой акции за 11 лет в процентах. Эти данные необходимы для расчета ожидаемой доходности. Фактически мы при этом полагаем, что средняя доходность по акциям каждой компании не изменится в ближайшем будущем. Так как ожидаемая доходность – величина случайная, то мы можем утверждать, что для следующего года ожидаемую доходность можно рассчитать как случайную величину с нормальным распределением, с математическим ожиданием, равным среднему значению, и
Зайцев М.Г., Варюхин С.Е. |
81 |
стандартным отклонением, равным стандартному отклонению, рассчитанному по прошлым значениям доходности.
Чтобы сформировать портфель акций нужно решить, какую часть денег потратить на покупку пакетов каждой из акций. Если мы решим этот вопрос, то ожидаемая доходность портфеля в целом будет равна сумме произведений долей акций в портфеле на их доходность. Таким образом, максимально возможная доходность портфеля акций равна доходности самой прибыльной из акций (в нашем случае MS – 48%), а минимально возможная доходность портфеля – доходности самой непривлекательной акции (в данном случае FI). В этих крайних случаях портфель акций будет содержать акции только одной компании.
В этой задаче, поэтому, не имело бы смысла максимизировать доходность портфеля – она и так известна. Наша задача – составить портфель акций так, чтобы при заданной средней доходности портфеля ее стандартное отклонение для портфеля в целом (т.е. риск портфеля) было минимальным.
|
A |
|
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
J |
K |
L |
M |
N |
O |
P |
1 |
Доход по |
акциям |
компании |
, % |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
AP |
BO |
BP |
DB |
DO |
DP |
EX |
FI |
FO |
GE |
GM |
IN |
LM |
MS |
PEP |
3 |
|
1990 |
13 |
10 |
20 |
-1 |
-24 |
1 |
8 |
-39 |
-36 |
-12 |
-7 |
-3 |
-21 |
58 |
34 |
4 |
|
1991 |
36 |
0 |
-12 |
68 |
14 |
30 |
16 |
-16 |
-11 |
21 |
-11 |
11 |
45 |
106 |
18 |
5 |
|
1992 |
13 |
-22 |
-28 |
-59 |
15 |
12 |
1 |
-23 |
75 |
25 |
9 |
74 |
17 |
38 |
33 |
6 |
|
1993 |
-46 |
8 |
40 |
64 |
13 |
1 |
5 |
24 |
47 |
20 |
68 |
72 |
35 |
-12 |
-2 |
7 |
|
1994 |
15 |
19 |
35 |
11 |
13 |
14 |
-4 |
62 |
-14 |
-7 |
-28 |
0 |
-2 |
54 |
-12 |
8 |
|
1995 |
4 |
63 |
30 |
33 |
16 |
32 |
28 |
-17 |
7 |
50 |
35 |
95 |
76 |
38 |
57 |
9 |
|
1996 |
-33 |
33 |
46 |
9 |
22 |
46 |
22 |
-5 |
13 |
50 |
21 |
108 |
22 |
83 |
9 |
10 |
|
1997 |
-29 |
11 |
23 |
-29 |
22 |
31 |
29 |
16 |
36 |
43 |
10 |
28 |
8 |
82 |
26 |
11 |
|
1998 |
92 |
-25 |
14 |
-26 |
0 |
-4 |
23 |
4 |
31 |
23 |
27 |
41 |
9 |
80 |
9 |
12 |
|
1999 |
202 |
4 |
40 |
83 |
30 |
6 |
7 |
-8 |
-13 |
48 |
25 |
33 |
-62 |
44 |
-16 |
13 |
|
2000 |
-67 |
61 |
-22 |
2 |
-15 |
-27 |
14 |
-10 |
-15 |
14 |
-28 |
-10 |
56 |
-39 |
23 |
|
Средняя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
доходность, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
% |
=СРЗНАЧ(B3:B13) |
14 |
10 |
13 |
14 |
-1 |
11 |
25 |
11 |
41 |
17 |
48 |
16 |
Рис. 53
Продолжим построение таблицы и для этого добавим в нее часть, позволяющую рассчитывать дисперсии доходности для каждой из акций и их взаимные дисперсии (так называемые ковариации). Чтобы подсчитать ковариации доходностей всех пар для 15 акций нужно, конечно, иметь таблицу размером 15х15 ячеек. Для удобства добавим вертикальный столбец с названиями компаний (A16:A30) (Рис. 54). В каждой из 225 ячеек должно содержаться значение ковариации доходностей соответствующей пары компаний. Скажем в ячейке B17, соответствующей паре компаний Apple-Boeing (столбец – строка), должна быть формула =КОВАР($C$3:$C$13;B$3:B$13), где столбец $C$3:$C$13 показывает доходность акций Boeing, а столбец B$3:B$13 – доходность акций Apple. Так как эту формулу нужно протягивать, то адреса ячеек частично фиксированы. При протягивании формулы вправо должны вычисляться ковариации доходностей всех других компаний с доходностью Boeing, поэтому столбец полностью фиксирован. Мы не будем отдельно вычислять дисперсию доходности Boeing, так как выражение вида =КОВАР($C$3:$C$13; C$3:C$13) и так вычисляет эту дисперсию.
К сожалению, протянуть введенную формулу вертикально так, чтобы сразу получились верные формулы нельзя, так как в первом столбце формулы для ковариации при протягивании будут меняться номера строк, а не имена столбцов.
Поэтому придется сначала протянуть формулу вверх и вниз на оставшиеся компании, потом скорректировать ссылки на столбец доходности для каждой компании, а после этого протягивать полученные формулы вправо.
|
A |
B |
|
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
J |
K |
L |
M |
N |
O |
|
P |
15 |
|
Взаимная дисперсия (ковариация) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
16 |
APPLE |
=КОВАР($B$3:$B$13;B$3:B$13) |
-106 |
-208 |
-423 |
280 |
223 |
-277 |
-1773 |
968 |
|
-599 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
BOEING |
=КОВАР($C$3:$C$13;B$3:B$13) |
86 |
-13 |
-377 |
96 |
-119 |
60 |
501 |
-484 |
|
184 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
18 |
BP |
=КОВАР($D$3:$D$13;B$3:B$13) |
27 |
270 |
-132 |
131 |
334 |
327 |
-301 |
165 |
|
-208 |
||||||
19 |
DEBEERS |
999 |
|
=КОВАР($E$3:$E$13;C$3:C$13) |
76 |
-599 |
142 |
313 |
-35 |
-98 |
-150 |
|
-350 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
DOW CH |
347 |
|
-54 |
149 |
193 |
242 |
199 |
18 |
135 |
194 |
232 |
174 |
327 |
-70 |
202 |
|
-102 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
DU PONT |
-73 |
|
26 |
184 |
61 |
199 |
390 |
82 |
16 |
89 |
213 |
98 |
425 |
86 |
558 |
|
71 |
22 |
EXXON |
-106 |
|
86 |
27 |
-46 |
18 |
82 |
112 |
-71 |
20 |
134 |
66 |
126 |
152 |
144 |
|
106 |
23 |
FIAT |
-208 |
|
-13 |
270 |
76 |
135 |
16 |
-71 |
678 |
92 |
-86 |
-7 |
-114 |
-62 |
-53 |
|
-330 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
FORD |
-423 |
|
-377 |
-132 |
-599 |
194 |
89 |
20 |
92 |
1001 |
231 |
466 |
736 |
233 |
-67 |
|
70 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
GE |
280 |
|
96 |
131 |
142 |
232 |
213 |
134 |
-86 |
231 |
424 |
297 |
552 |
93 |
140 |
|
49 |
26 |
GM |
5095 |
|
-119 |
334 |
313 |
174 |
98 |
66 |
-7 |
466 |
297 |
748 |
783 |
50 |
-106 |
|
-24 |
27 |
INTEL |
-277 |
|
60 |
327 |
-35 |
327 |
425 |
126 |
-114 |
736 |
552 |
783 |
1528 |
404 |
111 |
|
165 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
LM |
-1773 |
|
501 |
-301 |
-98 |
-70 |
86 |
152 |
-62 |
233 |
93 |
50 |
404 |
1302 |
-364 |
|
430 |
29 |
MS |
968 |
|
-484 |
165 |
-150 |
202 |
558 |
144 |
-53 |
-67 |
140 |
-106 |
111 |
-364 |
1663 |
|
2 |
30 |
PEPSICO |
-599 |
|
184 |
-208 |
-350 |
-102 |
71 |
106 |
-330 |
70 |
49 |
-24 |
165 |
430 |
2 |
|
425 |
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
Инвестиц |
0.0% |
|
0.0% |
0.0% |
50% |
0.0% |
0.0% |
0.0% |
5.2% |
8.2% |
0.0% |
0.0% |
0.0% |
0.0% |
4.0% |
|
33% |
33 |
=СУММ( |
AP |
|
BO |
BP |
DB |
DO |
DP |
EX |
FI |
FO |
GE |
GM |
IN |
LM |
MS |
|
PEP |
34 |
|
=B32*B14/100 |
0.07 |
0 |
0 |
0 |
-0 |
0.01 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0.02 |
|
0.05 |
|||
35 |
Вариация |
=B32*СУММПРОИЗВ($B$32:$P$32;B16:P16) |
=J32*СУММПРОИЗВ($B$32:$P$32;B24: |
|||||||||||||||
36 |
Целевая функция |
|
|
|
|
|
|
Мин. допустимый средний доход |
|
|
|
|||||||
37 |
=СУММ |
(B35:P35) |
|
|
|
|
|
=СУММПРОИЗВ(B32:P32;B14:P14)/100 |
|
|||||||||
38 |
=A37^0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
15% |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 54
Таким образом, мы получим ковариации для всех возможных пар компаний. Таблица ковариаций должна получиться симметричной относительно диагонали B16:P30. Если бы мы знали не только ковариации доходностей, но и
доли капитала xi , вложенные в каждую акцию, то могли бы рассчитать дисперсию портфеля акций в целом по формуле
15 |
15 |
Dпортфеля xi xj Ковар(Ri , Rj ), где Ковар(Ri , Rj ) - рассчитанные нами |
|
i 1 |
j 1 |
ковариации доходности для всех пар компаний.
Ранее мы уже выяснили, что доли капитала, потраченные на покупку каждого из пакетов акций, должны быть переменными задачи. Выделим строку B32:P32 под такие переменные. Так как сумма всех переменных x1, x2, … x15 – должна равняться единице или 100% капитала (ячейка A33), то при постановке задачи потребуем, чтобы A33=1.
Для расчета дисперсии портфеля удобно переписать формулу для Dпортфеля
|
15 |
15 |
|
|
в более удобном для расчетов виде |
Dпортфеля xi |
x j Ковар(Ri , R j ) |
. Часть |
|
i 1 |
j 1 |
|
||
формулы в фигурных скобках |
– это сумма |
произведений |
долей на |
Зайцев М.Г., Варюхин С.Е. |
83 |
соответствующие ковариации, значит ее можно записать с помощью функции =СУММПРОИЗВ( ). Тогда для Apple, например, можно вычислить значение
выражения |
x1 |
15 |
|
с |
помощью |
формулы |
x j Ковар(R1 |
, Rj ) |
|||||
|
|
j 1 |
|
|
|
|
=B32*СУММПРОИЗВ($B$32:$P$32;B16:P16). Запишем эту формулу в ячейку B35. К сожалению эту формулу так же неудобно протягивать. Поэтому после того, как вы все же протянете ее вправо до конца, исправьте в ней то, что необходимо. Для ориентира в ячейке J35 приведена правильная формула.
Суммирование всех ячеек строки B35:P35 соответствует первому символу
суммы в формуле для Dпортфеля. Таким образом в ячейке A37 (Рис. 54) мы вычисляем ту самую дисперсию портфеля, которая нам необходима для решения
задачи. Это и есть целевая ячейка.
Так как для сравнения удобнее использовать стандартное отклонение, вычислим в ячейке A38 корень из дисперсии (=КОРЕНЬ(A37)).
Мы уже обсуждали здесь, как вычислить ожидаемый доход портфеля. Для этого запишем в ячейке I37 формулу =СУММПРОИЗВ(B32:P32;B14:P14). Вычисляемую тут доходность портфеля при минимизации следует удерживать на уровне не ниже заданного. Зададим минимально допустимый доход в ячейке I38.
Теперь можно ставить задачу надстройке Поиск решения. Пройдемся еще раз по необходимым установкам. Целевая функция в ячейке A37, цель – поиск минимума функции. Изменяемые ячейки B32:P32. Вид модуля для решения задачи - Standard LP/Quadratic (для продвинутого Solver’а) . Опции – подразумеваются неотрицательные значения переменных (Assume Non-Negative) и не следует отмечать, что задача линейная, если используется встроенный «Поиск решения» . Ограничений всего два – сумма долей капитала, вложенных во все пакеты, равна 100% (A33=1) и средний ожидаемый доход должен быть не менее заданного I37>=I38.
Запускаем задачу на решение и получаем результат (Рис. 55).
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
J |
K |
L |
M |
N |
O |
P |
32 |
Инвестиция |
0.0% |
0.0% |
0.0% |
50.4% |
0.0% |
0.0% |
0.0% |
0.0% |
8.5% |
0.0% |
0.0% |
0.0% |
0.0% |
10.2% |
30.9% |
33 |
100.00% |
AP |
BO |
BP |
DB |
DO |
DP |
EX |
FI |
FO |
GE |
GM |
IN |
LM |
MS |
PEP |
34 |
|
0 |
0 |
0 |
0.071 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0.009 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0.049 |
0.05 |
35 |
Вариация |
0 |
0 |
0 |
51.89 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-17.2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
9.15 |
-12 |
36 |
Целевая функция |
|
|
|
|
|
|
Мин. допустимый средний доход |
|
|
|
|||||
37 |
31.83 |
|
|
|
|
|
|
|
18% |
|
|
|
|
|
|
|
38 |
5.64 |
|
|
|
|
|
|
|
18% |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 55
Оказывается, что деньги будут вложены в 4 пакета акций. При этом ожидается доход 18%, а риск портфеля составит 5.64%. Учитывая, что речь идет о нормальном распределении для такой случайной величины, как доход, можно сказать, что с вероятностью 95% реальная величина дохода составит от ~7% (18%-1.96*5.64%) до ~29% (18%+1.96*5.64%).
Что изменится, если мы попытаемся составить более доходный портфель акций? Зададим минимальный доход на уровне 25% и снова найдем минимум дисперсии.
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
J |
K |
L |
M |
N |
O |
P |
32 |
Инвестиция |
0.0% |
19.2% |
0.0% |
25.2% |
0.0% |
0.0% |
0.0% |
0.0% |
8.6% |
0.0% |
0.0% |
7.4% |
0.0% |
25.6% |
14.0% |
33 |
100.00% |
AP |
BO |
BP |
DB |
DO |
DP |
EX |
FI |
FO |
GE |
GM |
IN |
LM |
MS |
PEP |
34 |
|
0 |
0.0283 |
0 |
0.036 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0.009 |
0 |
0 |
0.03 |
0 |
0.124 |
0.023 |
35 |
Вариация |
0 |
15.922 |
0 |
29.31 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-7.79 |
0 |
0 |
16.88 |
0 |
76.39 |
3.547 |
36 |
Целевая функция |
|
|
|
|
|
|
Мин. допустимый средний доход |
|
|
|
|||||
37 |
134.26 |
|
|
|
|
|
|
|
25% |
|
|
|
|
|
|
|
38 |
11.59 |
|
|
|
|
|
|
|
25% |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 56
В этом случае получается, что наименьшее стандартное отклонение портфеля составляет 11.6%. Поэтому с вероятностью 95% реальная величина дохода составит от 2.3% (25%-1.96*11.6%) до 47.7% (25%+1.96*11.6%). С точки зрения минимальной прибыли разницы практически нет, но средняя прибыль существенно выше. Так что более правильным будет выбрать второй портфель. В нем, как вы видите, содержится 6 пакетов акций.
Если у вас есть настроение, попробуйте определить при каком уровне дохода нижняя граница 95%-ного доверительного интервала станет отрицательной.
Разумеется, сами по себе полученные числа мало что значат. Все дело в том, на каких условиях вы готовы вложить капитал. Если, например, вы хотите, чтобы нижняя граница не опускалась ниже 8%, то из предложенных акций вообще невозможно составить нужный пакет. Придется расширить область поиска. Убедиться в этом можно заменив условие на минимальный доход условием на нижнюю границу доходности (например I37-1.96*D38/100>=8%).
Если вообще снять условие на доход и оставить только требование A33=1, то мы найдем минимально возможный риск для портфеля, состоящего из предложенных акций. Он равен 3.78%, как несложно убедиться.
Мы пропустили вопрос о равном распределении денег по всем пакетам акций. Давайте запишем в ячейке B32 выражение =1/15 и протянем его на все остальные переменные. Получим следующий результат (Рис. 57)
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
J |
K |
L |
M |
N |
O |
P |
32 |
Инвестиция |
6.7% |
6.7% |
6.7% |
6.7% |
6.7% |
6.7% |
6.7% |
6.7% |
6.7% |
6.7% |
6.7% |
6.7% |
6.7% |
6.7% |
6.7% |
33 |
100.00% |
AP |
BO |
BP |
DB |
DO |
DP |
EX |
FI |
FO |
GE |
GM |
IN |
LM |
MS |
PEP |
34 |
|
0.012 |
0.0098 |
0.011 |
0.009 |
0.006 |
0.009 |
0.009 |
-0 |
0.007 |
0.017 |
0.007 |
0.027 |
0.011 |
0.032 |
0.011 |
35 |
Вариация |
17.21 |
0.5106 |
10.82 |
9.717 |
9.717 |
10.78 |
3.772 |
1.445 |
6.815 |
13.01 |
36.3 |
22.74 |
2.601 |
12.13 |
-0.49 |
36 |
Целевая функция |
|
|
|
|
|
|
Мин. допустимый средний доход |
|
|
|
|||||
37 |
157.08 |
|
|
|
|
|
|
|
18% |
|
|
|
|
|
|
|
38 |
12.53 |
|
|
|
|
|
|
|
18% |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 57
Как мы видим, средний ожидаемый доход в этом случае равен 18%, как при первом расчете портфеля! Если у вас возникло впечатление, что, может быть, никакой минимизации и не требовалось, попробуйте оценить доверительный интервал для полученного значения риска. Вы убедитесь, что нижняя граница интервала достигла значения -6.7%, при верхней границе + 42.4%. Таким образом, этот портфель акций является довольно рискованным вложением! Во всяком случае, если вам вдруг понадобится крупная сумма наличных и вы вынуждены будете продавать акции в неблагоприятной ситуации, то ваши инвестиции принесут немалый убыток.
Зайцев М.Г., Варюхин С.Е. |
85 |
В заключение сделаем одно замечание, относительно приведенных данных по доходностям. Хотя приведенные величины рассчитаны на основе данных о реальных курсах акций (NYSE), но в них недостает сведений о выплаченных в эти годы дивидендах. Дивиденды могут не выплачиваться вообще, либо выплачиваться раз в несколько лет, либо несколько раз в год – это зависит от политики компаний. Поэтому реальная доходность акций может быть выше.