На Рис. 174 показан график зависимости этих издержек T от величины заказа Q (а также показано, как изменяются величины TH и TS) . Видно, что первое слагаемое в сумме T (издержки хранения за год) линейно растет с ростом величины заказа Q, в то время как второе слагаемое убывает обратно пропорционально Q. Понятно, что сумма T имеет минимум. Величину заказа, соответствующего этому минимуму обозначают как EOQ (сокращение от английского термина Economic Order Quantity). Это и есть оптимальный (или экономичный) размер заказа, обеспечивающий минимум полных складских издержек.

Читатель, знакомый с началами математического анализа наверняка вспомнит, что необходимое условие минимума функции в данной точке – это равенство нулю ее первой производной. В данном случае речь идет о функции T(Q). Если взять от нее производную и приравнять нулю, получим значение Q, соответствующее минимуму полных издержек T, т.е. значение EOQ. Нетрудно проверить (а для забывших таблицу производных - поверить), что

EOQ 2HDS

Подставив значение EOQ в выражение для годовых издержек хранения TH, оформления заказа TS и полных издержек Tmin, получим

хранения и оформления заказа равны друг другу, а полные издержки – в два раза больше.

Оптимальная частота заказа для группы товаров.

На оптовом складе обычно находятся товары многих тысяч наименований (артикулов). При этом от каждого из поставщиков фирма обычно получает много

десятков (если не сотен) различных наименований товаров. Поставщиков всегда, несомненно, меньше, чем разных типов товаров на складе.

Формула экономичного размера заказа требует оценить размер заказа (и, следовательно, оптимальный уровень запаса) каждого артикула отдельно. Однако, невозможно себе представить, что за каждым из нескольких десятков наименований товаров, которые фирма получает от данного поставщика, она будет посылать специальный транспорт. Да и поставщик, видимо, будет настаивать на том, чтобы в каждом заказе отгружать весь ассортимент товаров, которые фирма у него покупает.

Таким образом, возникает необходимость объединять товары в группы (группируя их, например, по поставщикам, которые эти товары поставляют) и определять оптимальную частоту заказа целой группы товаров. Это легко сделать, используя ту же идею, что и в исходной модели экономичного размера заказа.

Пусть имеется группа из k товаров от i=1 до i=k, которые мы

заказываем у данного поставщика. Пусть годовая потребность каждого из них Di, а стоимость - Ci. И пусть стоимость формирования, размещения и доставки

заказа для всей группы товаров равна S. Если мы предполагаем, что нужно делать n заказов в год, то количество каждого товара в каждом заказе должно

быть Di/n . Тогда издержки хранения и издержки заказа за год будут выражаться формулами:

Минимизируя сумму этих издержек TH+TS, легко получить, что оптимальная частота заказа группы товаров равна

Модель производства оптимальной партии продукции

Принципы, использованные в модели экономичного размера заказа, легко переносятся на оптимальный размер партии конкретной продукции, выпускаемой той или иной производственной линией, способной выпускать различные продукты.

Пусть некая универсальная линия производит ряд различных деталей (A,B,C,…) для конвейера. Пусть производительность линии при производстве деталей определенного типа (например, А) равна p, а скорость потребления конвейером этих деталей равна d, причем d < p.

Годовая потребность конвейера в этих деталях D=d T, где T – временной период в 1 год, равный количеству временных единиц, через которые определена скорость (365 дней, или 52 недели, или 12 месяцев и т.п.). Если d и p – это количества деталей потребляемых конвейером и выпускаемых линией за один месяц, Т=12, а если это количества деталей потребляемых конвейером и

выпускаемых линией за один день, то Т=365 и т.д. Чтобы удовлетворить годовую потребность конвейера можно запустить линию один раз в год на производство этих деталей. Линия воспроизведет годовую потребность конвейера за время, меньшее 1 года (т.к. d < p). При этом большая партия деталей ляжет на склад, что обусловит большую величину издержек хранения. Если запускать линию на производство этих деталей часто и выпускать малые партии, то издержки хранения можно уменьшить, но возрастут издержки, связанные с переналадкой линии.

производстве она называется моделью экономичного размера партии продукции), за одним небольшим исключением. После завершения выпуска данной партии продукции Q, максимальный уровень запаса деталей на складе Qмакс будет меньше, чем размер произведенной партии продукции Q.

Предположим, что линии запускается в момент, когда запас деталей на складе исчерпан. Тогда конвейер начинает потреблять детали сразу же, по мере того как они выходят с производственной линии. Поскольку линия выпускает детали быстрее, чем их потребляет конвейер, запас постепенно растет, но медленнее, чем, если бы конвейер стоял, а все детали шли на склад.

Если обозначить время работы производственной линии по выпуску данной партии через tp, то можно записать, что размер выпущенной партии будет, очевидно,

Q p tp

количество использованных деталей

Qисп d tp

а величина созданного запаса за это время равна

Qмакс ( p d) tp Q ( p d)/ p ,

т.е. меньше, чем размер выпущенной партии Q (мы использовали соотношение tp=Q/p, чтобы исключить из формулы время производства).

Начиная с момента tp и до начала следующего запуска линии, этот запас будет уменьшаться до нуля. График изменения величины буферного запаса показан на Рис. 175

Поскольку максимальный уровень буферного запаса равен Qмакс, а не

размеру партии продукции Q, то именно Qмакс, фигурирует в выражении для издержек хранения за год. Подставляя Qмакс в выражения для издержек хранения TH и сохраняя Q в выражении для издержек, связанных с запуском новой партии TS (аналог издержек оформления заказа в модели EOQ), получим выражение для оптимального размера партии – EBQ (Economic Batch Quantity) в виде

Ограничения модели экономичного размера заказа (партии продукции) и возможность их преодоления.

Основным ограничением рассмотренных моделей является предположение о постоянстве спроса (производственных планов). При этом, фактически считается, что спрос всегда был такой же, как сейчас, и всегда будет такой же, как сейчас. Поэтому «горизонт планирования» в рассмотренных моделях бесконечен. Вычисленный размер оптимального заказа или партии продукции всегда должен был быть таким и никогда не должен меняться в будущем. Если, например модель рекомендует сделать не целое число заказов в год, это нельзя рассматривать как недостаток модели. Ведь следующий год не отличается от предыдущего, конец года не знаменует собой завершение какого-то этапа, с точки зрения модели.

На практике ситуация редко бывает подобна описанной. Нет ничего более непостоянного, чем спрос, а потому бессмысленно планировать на период больше, чем тот, на который мы стараемся спрос предсказать. Именно поэтому, формулы для EOQ и EBQ нельзя рассматривать как истины в последней инстанции, а только как полезные оценки и ориентиры.

В тех случаях, когда вариации спроса велики, но предсказуемы (например, сезонные колебания, повторяющиеся из года в год, накладывающиеся на устойчивый долговременный тренд, определяемый жизненным циклом продукта или фирмы), и горизонт планирования конечен, можно пытаться улучшить предсказания моделей EOQ и EBQ, используя методы линейной целочисленной оптимизации. Модель должна предсказать, в какой момент, и какого размера заказ следует сделать, чтобы минимизировать издержки за планируемый период. При этом, разумеется, никаких простых формул для размера заказа (партии продукции) не получится, и промежутки времени между последовательными заказами не будут постоянными. Существенно, однако, что принцип, лежащий в основе оптимизационной модели управления запасами, останется тот же, что и в исследованных моделях EOQ и EBQ. Издержки управления запасами представляются как сумма переменных издержек хранения (большая часть которых - это альтернативные издержки размещения капитала, вложенного в запас, неполученные проценты на «замороженный» в запасах капитал), и прямых издержек по осуществлению заказа, пополнению запаса (в которые включена и постоянная часть транспортных издержек).

Примеры такой оптимизации управления запасами представлены в настоящем разделе, а также в разделе «Комплексное и многопериодное планирование» настоящего сборника.

Ограничение модели EOQ, связанное с игнорированием зависимости стоимости единицы продукта от размера партии (оптовые скидки), не является существенным и легко преодолевается в рамках этой модели с использованием любого вычислительного инструмента, например, MS Excel. Подобные примеры рассмотрены в настоящем разделе.

Более подробно об основаниях и применениях теории управления запасами читайте в книгах [1-4, 6, 8, 11-13, 15,16].