$333704 – так же очень хороший результат. Однако вариант 2 остался чуть более выгодным.

В результате получилось, что кроме очевидного варианта заказа 7 раз по 5000 кв. м. нашлось еще 3 возможных варианта, и все они выгоднее первого.

Снова отметим, что вполне возможно, что некоторые другие обстоятельства, не укладывающиеся в рамки модели, принудят нас к выбору системы заказов, отличной от оптимальной. Например, кто-то попросит использовать именно первый вариант системы. Допустим, что к этой просьбе желательно прислушаться, по каким-то обстоятельствам. Но мы будем знать, по крайней мере, что это решение стоит нам около $3800 и принимать окончательное решение, что называется, с открытыми глазами.

4.П-3. Лов рыбы

Фирма, занимающаяся промышленным ловом рыбы, нуждается в закупках горючего. Ежемесячные потребности рыболовецкой флотилии в дизельном топливе (в тоннах) представлены в таблице.

Стоимость тонны горючего - $200, а издержки хранения, рассчитанные по внутренней норме доходности фирмы, составляют $15 в месяц на каждую тонну.

Новый заказ на поставку горючего влечет за собой издержки в размере $20000, не зависящие, при тех масштабах закупок, которые осуществляет фирма, от объема поставки.

a.Сформулируйте задачу линейной оптимизации.

b.Составьте план закупок горючего на год так, чтобы минимизировать общие издержки хранения и запуска. Какова будет сумма издержек?

c.Сравните оптимальные издержки с вариантами закупки всего годового запаса горючего либо сразу (в январе), либо ежемесячно.

d.Финансовый отдел требует не производить закупки горючего в августе, в связи с приходящимися на этот месяц большими выплатами. Изменит ли это требование план закупок? Как изменятся общие издержки?

Указание: если при запуске «Поиска решения» появится сообщение «Условия линейной модели не удовлетворяются», ответьте ОК и запустите «Поиск решения» еще раз.

Решение задачи.

Эта задача принадлежит к типу задач о выборе размера лота, и относится, таким образом, к теме управление запасами. Более точно можно сказать, что это задача на управление запасами в условиях, когда спрос в предстоящий период времени является детерминированным (т.е. не случайным), но существенно

переменным. Как вы можете видеть из соответствующего раздела учебников [1- 4] и [11-15], методы решения подобных задач в теории управления запасами имеются, но, к сожалению, они не достаточно эффективны. В то же время по своей постановке задача выглядит как типичная задача линейной целочисленной оптимизации.

Для предварительного расчета издержек при различных вариантах времени и размеров заказов, о чем спрашивается в вопросе c, можно составить следующую таблицу (Рис. 182):

Рис. 182

Вэтой таблице в ячейках C8-C19 нужно записывать количества горючего, закупаемого в каждом из месяцев. Для начала в ячейке С8 проставлено число 7800, что соответствует покупке всего необходимого на год горючего в начале года. В ячейках B8-B19 содержатся значения спроса или расхода горючего. На основе этих данных в ячейках F8-F19 подсчитывается остаток на складе в конце каждого месяца. Сначала, для января, как разница между закупленным и израсходованным в этом месяце горючим, а в следующих ячейках – сумма с нарастающим итогом, учитывающая остаток горючего в предыдущем месяце. Таким образом, в ячейке F19 мы имеем остаток горючего на конец года.

Значения остатков горючего в ячейках F8-F19 нужны не только для того, чтобы отслеживать возникновение дефицита горючего (а его быть не должно), но

идля расчета издержек хранения. Издержки хранения горючего рассчитываются в ячейках G8-G19 как остаток горючего в конце месяца умноженный на стоимость его хранения ($15 в нашем случае) в течение месяца. Все эти издержки для лучшей ориентировки в результатах суммируются в G20.

Втех случаях, когда в текущем месяце закупается партия горючего, к общим издержкам следует добавить издержку заказа. Для этого в ячейках D8-D19 используются формулы вида =ЕСЛИ(C8>0;1;0). Эта формула дает следующий результат: если в ячейке С8 содержится число, большее 0 (т.е. закуплено горючее), значение ячейки D8 будет равно 1, если в ячейке C8 – 0, значение ячейки D8 будет равно 0. Следовательно, для всех месяцев, в которых закупалось горючее, в ячейках D8-D19 будут стоять 1, а для остальных - нули. Эти значения использованы в ячейках H8-H19 для подсчета издержек заказа по очевидной формуле.

И, наконец, в ячейках I8-I19 издержки хранения и издержки заказа из столбцов G и H суммируются с нарастающим итогом в результате чего в ячейке I21 мы имеем сумму всех этих издержек.

Вверху, в ячейке I3, общие издержки хранения и заказа складываются с постоянными издержками, равными стоимости горючего за год. В следующей таблице даны результаты расчетов в соответствии с изложенной схемой для заказа всего горючего в начале года (Рис. 183):

Рис. 183

Эти результаты потребуются для ответа на вопрос c. Если же записать в ячейки C8-C19, где выбираются размеры лотов (партий горючего), значения, равные спросу в каждом месяце, получим издержки при ежемесячном заказе. Эти издержки составят: $240000 – целевая функция и $1800000 – полные издержки. Таким образом, ежемесячный заказ дает экономию в $419 тыс.

Найдем теперь оптимальный план закупок, соответствующий минимальным возможным издержкам. Здесь следует отметить, что задача нами уже почти построена: целевая функция – общие издержки хранения и заказов, переменные – значения лотов для каждого месяца, ограничение – отсутствие дефицита. Одна неувязка – функцию =ЕСЛИ() в задаче линейной оптимизации использовать нельзя, она нелинейная (в математике ее график представляют прямоугольной ступенькой и называют функцией Хевисайда). Такая функция обычно заведет в тупик и алгоритм нелинейной оптимизации. Если в надстройке Поиск решения снять условие линейной модели и попробовать минимизировать целевую функцию в таблице 1.16 с отмеченными переменными решениями и ограничениями, программа не возразит, но и приемлемого результата не даст. Поэтому придется использовать прием, служащий в математике для замены функции =ЕСЛИ().

Для этого в тех ячейках, в которых были записаны эти функции, разместим дополнительные переменные двоичного типа. Теперь переменных у нас будет не 12, а 24 – 12 размеров лотов и 12 указателей на то, сделан заказ или нет. Так как схема расчета издержек, построенная нами ранее предполагает, что в ячейках D8-

D19 записаны нули и единицы, показывающие, был заказ или нет, то никаких исправлений в других формулах не потребуется (Рис. 184):

Рис. 184

Вызовем надстройку Поиск решения и зададим параметры задачи: целевая ячейка – I21, цель – минимум, переменные – C8-D19, ограничения – F8-F19>=0, D8-D19 = двоичные, линейная модель, неотрицательные значения переменных. Запуск Поиска решения на выполнение принесет неприятный результат – хотя заказы были сделаны, значения двоичных переменных остались равными 0. Этого и следовало ожидать, ведь никакой связи между заказами и двоичными переменными мы для Поиска решения не указали, поэтому он выбрал «наилучшие» значения.

Чтобы ввести такую связь запишем в ячейки E8-E19 линейные выражения вида = C8 - 100000*D8 (об использовании этого дополнительного условия, типичного для задач с целочисленными ограничениями, читайте в учебном пособии [1]). А затем добавим в параметрах поиска решения новое ограничение: E8-E19 <= 0. Теперь, после модификации, запуск поиска решения принесет долгожданный результат (Рис. 185):

Рис. 185

Введенные нами выражения работают следующим образом.

Если в ячейке C9, например, записано не нулевое количество горючего, то для выполнения условия E9 <= 0 , Поиск решения вынужден будет присвоить переменной D9 значение 1. При этом число 100000, являющееся множителем, выбрано из тех соображений, что оно должно быть на порядок больше любого возможного значения лота. Так как максимальный лот равен 7800, множителя 100000 достаточно. Если бы максимальное значение переменной не могло превышать 50, можно было бы взять множитель 1000.

Если же в ячейке C9 размер заказа 0, то условие C9 - 100000*D9 <= 0 будет выполнено и в случае, если D9 = 0, и в случае, если D9 = 1. Какое же значение выберет Поиск решения? Естественно D9 = 0! Ведь цель задачи – минимизировать издержки, и выбор нулевого значения экономит $20000.

Таким образом, ответы на вопросы a, b и с мы получили. Минимальные полные издержки составят $1740000, что на $60000 лучше, чем при ежемесячном плане заказов. При этом будет сделано 6 заказов.

Чтобы ответить на вопрос d, следует внести в условия поиска минимальные изменения – так как мы видим, что в полученном решении закупки горючего в августе действительно запланированы, внесем дополнительное ограничение: С15 = 0. При этом условии мы получим следующее решение (Рис. 186):

Рис. 186

По издержкам оно хуже предыдущего всего на $2000.