Здесь мы снова хотели бы напомнить, что модели и методы расчета не принимают решений! Решения принимают менеджеры. Среди многих причин этого одна из важнейших состоит в том, что любая задача есть упрощение ситуации. За рамками поставленной и решенной задачи всегда остается некоторая

– большая или меньшая – совокупность обстоятельств, которые не удалось отразить в модели. Они тоже влияют на принятие решения и задача менеджера, принимающего решение в данной ситуации, учесть и их.

Значит ли, что владелец кафе, основываясь на максимуме прибыли, должен остановиться именно на 14-ти столиках? Наверное, не обязательно. Мы не знаем, например, не увеличится ли поток клиентов именно к этому кафе, если увеличить число столиков до 15-16, из-за того, что в нем с большей вероятностью можно найти свободный столик? В реальных условиях это нужно исследовать. И с этой точки зрения 15 столиков лучше, чем 14, т.к. прибыль практически не уменьшается, но зато собранная информация может помочь в принятии нового интересного, но неочевидного в исходной ситуации, решения.

9.П-3. Такси по телефону

Автоматическая телефонная система фирмы «Такси по телефону» может поставить в очередь максимум 3-х клиентов. Каждый из операторов, работающих

всистеме, тратит в среднем на принятие заказа такси 2 мин. Звонки же поступают

всреднем 1 раз в минуту. Распределение времени обслуживания и интервала времени между звонками – экспоненциальное. Один клиент в среднем приносит прибыль $5. Если клиент не дозванивается, он вызывает такси другой компании. Если в данный момент нет свободных такси, клиент также будет потерян. Данная компания имеет парк из 22 такси, среднее время обслуживания пассажира 20 мин (распределено экспоненциально). Водитель получает $6 в час, а оператор $4.

Внастоящий момент фирма имеет четырех операторов.

a.Какова упущенная выгода фирмы от потери не дозвонившихся или неудовлетворенных клиентов?

b.Каково оптимальное количество операторов?

Решение задачи.

С точки зрения теории очередей фирма представляет собой две системы массового обслуживания: телефонная система приема заказов и парк машин такси. Выходной поток обслуженных диспетчерской службой клиентов является входным потоком для второй системы – машин такси.

Разумеется, есть некоторые сомнения по поводу выходного потока первой системы – действительно ли он может рассматриваться, как пуассоновский? В реальной ситуации, когда мы можем поставить дополнительные вопросы по проблеме, параметры выходного потока следовало бы исследовать дополнительно. Но в данной задаче, очевидно, решение может быть найдено без моделирования обеих систем, только если считать поток пуассоновским. Из этого и следует исходить.

Рис. 318

Итак, первая система представляет собой СМО из четырех серверовдиспетчеров с неограниченной популяцией потенциальных клиентов и ограниченной очередью (не более трех ожидающих обслуживания). Так как серверов в системе 4, то максимальное число клиентов в системе 7 – четыре под обслуживанием и три ожидающих в очереди. Поток клиентов в расчете на 1 минуту равен λ=1, а интенсивность обслуживания клиентов каждым из серверов μ=0.5 (в среднем 2 минуты на каждого).

Характеристики этой системы, вычисленные надстройкой Расчет параметров СМО, представлены на Рис. 318. Можно отметить, что по причине отказа в обслуживании системой теряется всего около 1% клиентов (P07=0.011). Среднее время ожидания в очереди очень невелико и равно 0.122 минуты (около 7 секунд), таким образом, первая СМО по своему качеству выглядит неплохо.

Вторая система массового обслуживания – такси – тоже система с неограниченной популяцией клиентов и ограниченной очередью. Правда, длина очереди в ней нулевая, поэтому максимальное число клиентов в системе равно числу серверов, т.е. равно 22. В качестве серверов выступают машины такси.

Судя по всему ситуацию можно себе представить таким образом. Диспетчер разговаривает с клиентом даже в том случае, если свободных машин нет. Он уточняет все параметры вызова – по какому адресу нужно послать машину и в каком месте ей ожидать клиента, сколько человек поедет, место назначения, информирует о стоимости поездки и проч. Если к моменту окончания разговора имеется свободная машина, диспетчер информирует клиента, что машина вышла и будет у него через столько-то минут. Если же к этому моменту свободных машин нет, диспетчер говорит, что машина может выехать через такое-то время (скажем 15 минут) и спрашивает, будет ли клиент ждать. По условиям задачи в подавляющем большинстве случаев клиенты отказываются от ожидания и звонят в другую компанию.

Поток клиентов, входящий во вторую систему будет меньше потока, входящего в первую систему за счет клиентов, не дозвонившихся до диспетчера.

В настоящее время ввиду малых потерь эти потоки почти не отличаются, но все же используем для расчета точное значение выходящего потока клиентов. Так как теряется примерно 1.1% клиентов, то остается 98.9% из потока λ1=1 клиент в минуту, или, в штуках, λ2=0.989 клиента/минуту.

Поток обслуживания, соответствующий времени обслуживания 20 минут, составит μ2=1/20 клиента в минуту. Его можно ввести в окно надстройки и как 0.05, и как 1/20. Обыкновенная дробь при этом будет автоматически конвертирована в десятичную дробь (Рис. 319).

Рис. 319

Результат расчета показан на следующем рисунке (Рис. 320).

Как мы можем видеть, около 10% клиентов, прошедших через интервью с диспетчером, с неприятным удивлением обнаружат, что машин нет. Эти клиенты будут потеряны и не принесут прибыли компании.

Рассчитаем общую прибыль компании, скажем в расчете на один час рабочего времени, основываясь на полученных результатах. Сначала вычислим издержки. Это, очевидно, плата водителям и диспетчерам. Каждый из 22 водителей получает 6$ в час, а каждый из 4 диспетчеров – 4$. Итого 148$ в час.

А сколько мы выручим от обслуживания клиентов? Подойдем к вычислению выручки через коэффициент загрузки каждой машины. Полностью загруженная работой машина приносит 15$ за час, так как она может обслужить максимум 3 клиента в час (по 20 минут на каждого), а один клиент приносит 5$. Если машина загружена не полностью, то она принесет меньше денег. Коэффициент загрузки, умноженный на 15$, даст реальную среднюю выручку каждой машины.

Итого получаем 266.46 долларов выручки (0.80747*15*22). За вычетом издержек останется 118.46 долларов за час работы.

Это не обязательно, но все же покажем, что можно получить эти числа другим способом. Оттолкнемся от потока клиентов. Всего за один час в систему поступает 59.34 клиента (0.989клиентов/минуту*60 минут). Система обслуживает не всех, теряется P22=0.1019 часть клиентов. Оставшиеся 89.81% клиентов будут обслужены и принесут по 5$. Итого получим 59.34*89.81%*5=266.46 долларов выручки за час, как и при расчете по коэффициенту загрузки серверов-такси.

Если бы мы могли обслужить всех клиентов, которые решили позвонить в нашу компанию, то выручка составила бы 300 долларов (60 клиентов в час*5 долларов). Таким образом, наши потери составляют 300-266.46=33.54 доллара за час.

Эти деньги теряются и на стадии звонка в компанию, и на стадии оформления заказа. Стоит ли увеличивать число диспетчеров? Очевидно, нет, так как из-за диспетчерской службы теряется только около 1% клиентов. Один процент от 300 долларов – это три доллара, а плата диспетчеру равна 4 доллара,

поэтому найм еще одного диспетчера не может быть выгодным. При этом мы даже не учитываем, что вторая СМО – машины-такси – и так отказывает в обслуживании более чем 10% клиентов. В этих условиях увеличивать поток заявок на вторую систему массового обслуживания практически бессмысленно, потому что подавляющее большинство из добавочных клиентов все равно не будет обслужено.

В такой ситуации следовало бы наращивать количество такси. Но в условии задачи такая возможность не предусмотрена.

Остается только попробовать сократить количество диспетчеров. Если большая доля клиентов не сможет дозвониться до диспетчера, то поток клиентов на машины такси уменьшится. При этом ситуация, когда клиенту говорят, что машина выйдет к нему, но не сейчас, станет более редкой.

Проверим, как изменится прибыль при уменьшении числа диспетчеров до 3-х человек.

На рисунках Рис. 321 и Рис. 322 приведены результаты расчета характеристик первой и второй СМО компании при трех диспетчерах. Потери клиентов в первой СМО, равные 4.812%, приводят к уменьшению потока

клиентов на вторую СМО до 0.95188 в минуту. В результате снижения потока клиентов снижается и число отказов в обслуживании во второй СМО (до ~8.6%).

С практической точки зрения нас интересует в этих двух таблицах только одно число – процент загрузки сервера-такси. При загрузке около 79.1% выручка такси составит 260.99 доллара в час, т.е. упадет в сравнении с четырьмя диспетчерами на 5.48 доллара. При этом на зарплате диспетчера мы экономим 4 доллара в час, так что общий итог от сокращения числа диспетчеров отрицательный.

Получается, что сложившееся в кампании соотношение числа такси и диспетчеров оптимально.